Теоретический курс механики анизотропного тела. Учебное пособие

Относительно x и y сила Р приведет к моментам mx и my :

Тогда поправка σ z , , учитывающая условия на торцах цилиндра, которую нужно прибавить к основному напряжению σ z , рассчитывается так:

где I x и I y – моменты инерции сечения относительно осей x и y.

Задачи плоского напряженного состояния и плоского деформированного состояния схожи и различаются только коэффициентами в обобщенном законе Гука.

2.3. Общее решение плоской задачи теории упругости с помощью функций комплексного переменного

Решение задачи об обобщенном плоском напряженном состоянии при отсутствии массовых сил сводится к определению в области S на плоскости xy функции напряжений F (x, y) , удовлетворяющей дифференциальному уравнению четвертого порядка (2.2) с правой частью, равной нулю и граничным условиям на контурах, ограничивающих область.

Уравнение (2.2) интегрируется в общем виде при последовательном решении дифференциальных уравнений первого порядка:

где μk – корни векового уравнения

Из анализа корней уравнения в зависимости от соотношения упругих констант известно, что для упругой анизотропной среды в общем случае корни всегда комплексные и различные:

21

μ1 = α + β i , μ2 = γ + δ i , μ1 = α − β i , μ2 = γ − δ i ,

где α , β , γ , δ – вещественные числа, β > 0 , δ > 0 .

Окончательно для функции напряжений, учитывая что она должна быть вещественной, можно записать:

F = 2 Re[F1 (z1 ) + F2 (z2 )],

где z1 и z2 – усложненные комплексные переменные, z1 = x + μ1 y , z2 = x + μ2 y , z1 = x − μ1 y , z2 = x − μ2 y .

Имея выражения для функции напряжений F, легко найти выражения для компонент тензора напряжений, как производные по своим переменным, а выражения для перемещений получаются путем интегрирования деформаций:

u= 2 Re[ p1 Φ1 (z1 ) + p2 Φ2 (z2 )] − ωy + u0 , v = 2 Re[q1 Φ1 (z1 ) + q2 Φ2 (z2 )] + ωx + v0 ,

σn = σ x cos2 (n, x) + σ y cos2 (n, y) + 2τ xy cos(n, x) cos(n, y) ,

τn = (σ y − σ x ) cos(n, x) cos(n, y) + τ xy [cos2 (n, x) − cos2 (n, y)].

Функции Φ1 и Φ2 при заданных внешних усилиях X n , Yn должны удовлетворять граничным условиям:

22

s

2 Re[Φ1 (z1 ) + Φ2 (z2 )] = −∫ Yn ds + c1 ,

0

s

2 Re[μ1 Φ1 (z1 ) + μ2 Φ2 (z2 )] = ∫ X n ds + c2 .

0

В зависимости от решаемой задачи, например для односвязной или многосвязной области, функции Φ1 и Φ 2 имеют различный вид и будут рассмотрены ниже.

2.4. Простейшие случаи упругого равновесия анизотропной пластинки

Рассматривается равновесие однородной сплошной ортотропной пластинки толщиной h. Пластинка находится в обобщенном плоском напряженном состоянии под действием усилий, распределенных по краям. Плоскость xy совпадает с одной из трех плоскостей упругой симметрии.

Упругие константы в (2.1) выражаются через технические константы для материала:

1. Растяжение пластинки. Прямоугольная пластинка растягивается нормальными к граням равномерными усилиями интенсивностью р (рис. 5).

Рис. 5. Растяжение прямоугольной пластинки

В силу однородности внешних усилий, напряжения тоже будут однородными:

23

Распределение напряжений зависит только от внешних усилий, поэтому если граница пластинки свободна, то такое же распределение будет и, например, в изотропной пластинке. Однако деформации будут отличаться:

ε x = a11 p , ε y = a12 p , γ xy = a16 p .

Если пластинка будет неортотропной ( a16 ¹ 0 ), то она будет перекашиваться в плоскости xy (штриховая линия на рис. 5); ортотроная же пластинка сохраняет прямые углы.

2. Сдвиг. По граням пластинки приложены касательные усилия t,

ε x = a16t , ε y = a26t , γ xy = a66t .

Ортотропная пластинка испытывает только сдвиговые деформации, зависящие от a66 . Неортотропная пластинка в результате действия касательных усилий будет растягиваться и укорачиваться, в зависимости от знаков a16 и a26 .

3. Чистый изгиб. По двум граням пластинки распределены усилия, приводящие к изгибающим моментам М (рис. 7).

24

b

y

Рис. 7. Изгиб анизотропной пластинки Напряжения и функция напряжений имеют вид:

жесткого тела. Как видно из выражения для u , сечения неортотропной пластинки не остаются плоскими, искривление зависит от a16 . Сечения ортотропной балки не искривляются.

Уравнение изогнутой оси y, при неподвижных концах пластинки x = 0 , x = l имеет вид

y, = Ma11 (lx − x2 ) .

2I z

Кривизна изогнутой оси

Зависимость между кривизной изогнутой оси пластинки такая же, что и у изотропной, различие заключается только в модуле упругости.

25

4. Изгиб сосредоточенной силой консольно закрепленной пластинки.

Рассматривается консольно закрепленная с одной грани пластинка и с приложенной сосредоточенной силой Р к другой (рис. 8).

Рис. 8. Изгиб пластинки сосредоточенной силой Функция напряжений представляет собой полином четвертой степени:

нормальных напряжений в сечении пластинки происходит по параболическому закону.

Например, распределение напряжений в сечениях, расположенных близко к месту приложения силы и в середине пластинки при a16 > 0 , представлено (в

произвольном масштабе) на рис. 9.

26

y

Рис. 9. Распределение нормальных напряжений в сечениях пластинки Наибольшее нормальное напряжение будет в месте заделки, когда

учитывается координата y = b / 2 :

Форма изогнутой оси пластинки как ортотропной, так и для неортотропной имеет одинаковый вид, что и в случае чистого изгиба:

только изгибающий момент является функцией переменной x и имеет вид

M = −P(l − x) .

Уравнение изогнутой оси ничем не отличается от такового в изотропном случае и не зависит от формы распределения нормальных напряжений в сечении балки:

5. Изгиб двухопорной пластинки распределенной нагрузкой.

Прямоугольная пластинка опирается на две опоры, приложенные к краям пластинки, и изгибается нормальной нагрузкой интенсивностью q, приходящейся на единицу площади (рис. 10).

27

Перемещения определяются путем интегрирования деформаций, которые

всвою очередь, вычисляются по соотношениям Коши.

6.Изгиб консольно закрепленной пластинки распределенной нагрузкой.

Рассматривается та же пластинка, что и предыдущем случае, только пластинка закреплена консольно одной гранью (рис. 11).

28