Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теоретический курс механики анизотропного тела. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

875 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

β0	= d 2 [π		+ ∑	(−1)				] ,
		2	∞				m
	12		m=1 m2		ch		mπ
	= d 2 [π		m=1 m2		ch
β0			− ∑		1		d	] .
β0			− ∑		1			] .
		2	∞

	6		m=1 m2		ch	mπ
			m=1 m2		ch
							d

Значения коэффициентов β0			и β A для четырех отношений d, полученных Сен-
Венаном, приведены в таблице.
						Таблица
		Коэффициенты β0 и β A

	d	β0	β A	d	β0	β A
	0,25	0,98	4,94	1	0,30	0,63
	0,5	0,72	1,98	2	0,09	0,17

Путем линейной интерполяции можно определить значения коэффициентов при различных d.

Наибольшее касательное напряжение получится в точках A и A1 .

4. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ В БЕСКОНЕЧНОЙ УПРУГОЙ СРЕДЕ

4.1. Действие распределенных сил на границу полуплоскости

Рассматривается упругая анизотропная пластинка с прямолинейным краем, по которому распределены усилия, действующие в плоскости упругой симметрии. Если длина нагруженного участка пластинки сравнимо мала по сравнению с геометрическими размерами пластики, то можно поставить задачу о действии распределенных сил на упругую полуплоскость.

Используется метод решения задачи, основанный на интегралах Фурье. Для простоты решения задачи, принимаются следующие ограничения:

1. Среда ортотропна, причем главные направления ортотропии совпадают с направлениями границы.

2. Распределенные силы, приложенные к границе, конечны и распределены симметрично относительно середины нагруженного участка и приводятся (по правилам теоретической механики) к сосредоточенной силе.

Середина нагруженного участка поверхности совмещена с началом координат, ось y направлена вдоль границы участка, а ось х – внутрь полуплоскости (рис. 24).

N(y)

T(y)

y O

Рис. 24. Граничные условия к полуплоскости

Нормальная составляющая нагрузки обозначена через N , а касательная составляющая нагрузки – через T , обе приходятся на единицу длины. N ( y) – будет четной функцией переменной у, а T ( y) – нечетной функцией.

В обозначенной системе координат искомая функция напряжений при отсутствии объемных сил удовлетворяет уравнению:

∂ 4 F		1		2v	∂4 F
	+		−	1
∂x4	+		−	E	∂ 2 x∂2 y
∂x4	G			E	∂ 2 x∂2 y
				1

+ 1 ∂ 4 F = 0 .

E1 ∂4 y

Требуется представить функции, описывающие распределение нагрузок N и T в виде интегралов Фурье. В силу того, что N четная функция, а Т нечетная,

N ( y) =	2	∞ψ (α )ydx , T ( y) =		2	∞	χ (α ) sin αydy ,
N ( y) =		∞ψ (α )ydx , T ( y) =		π	∫	χ (α ) sin αydy ,
π		∫		π	∫
		0			0
∞			∞
где ψ (α ) = ∫ N (η) cosαη dη , χ (α ) = ∫T (η)sinαη dη .
0			0

По мере удаления от границы плоскости напряжения должны стремиться к нулю, а на самой границе, т.е. при x = 0 :

σ		= −	1	N ( y) , τ		= −	1	N ( y) .
	x		h		xy		h

Решение редуцируется с помощью функции напряжений в виде

∞

F = ∫ Φ(α , x)cosαy dα .

Вид функцииΦ(α , x) зависит от корней характеристического уравнения:

u 4		1		2v			1
	−		−	1	u 2	+		= 0 .
	−		−		u 2	+		= 0 .
E2				E1			E1
E2	G			E1			E1

В зависимости от корней уравнения, возможны три случая:

1.Корни уравнения вещественные, неравные:

±u1 , ± u2 ( u1 > 0 , u2 > 0 ).

2.Корни уравнения вещественные, попарно равные между собой:

±u ( u > 0 ).

3.Корни уравнения комплексные:

u ± iv , − u ± iv .

В первом случае

Φ(α , x) = Ae−u1αx + Be−u2αx .

Во втором случае

Φ(α , x) = ( A + Bx)e−uαx .

В третьем случае

Φ(α , x) = [A cos(vαx) + B sin(vαx)]e−uαx .

Постоянные А и В зависят от параметра α .

Первый случай (остальные два можно получить путем предельного перехода). Напряжения имеют вид:

σ		=	2			∞	[ψ (α )(u	e−u1αx		− u e−u2αx )− χ (α )(e−u1αx − e−u2αx )]cosαydα ,
			2			∫
			πh(u − u		)
	x		πh(u − u	2	)		2			1
			1	2		0
σ		=	2			∞	[ψ (α )u u		(− u e−u1αx + u		e−u2αx )+
			2			∫
			πh(u − u		)
	y		πh(u − u	2	)		1 2		1	2
			1	2		0

+ χ (α )(u 2e	−u1αx − u 2e−u 2αx )]cosαydα ,	(4.1)
1	2
	53

τ		=		2			∞	[ψ (α )u u	(e−u1αx − e−u2αx )−χ (α )(u e−u1αx − u		e−u2αx )]sinαydα .
							∫
			πh(u − u			)
	xy				2			1 2	1	2
			1				0

Для того чтобы определить данные напряжения, сначала необходимо вычислить интегралы ψ (α ) и χ (α ) и подставить результаты в эти формулы.

Если нагрузка является антисимметричной, при которой функция N ( y) –

нечетная, а T ( y) – четная, то напряжения определяются аналогичным путем с помощью функции напряжений следующего вида:

∞

F = ∫ Ψ(α , x)sinαy dα .

Функция Ψ по своей структуре одинакова, как и функция Φ и в зависимости от того, какой случай корней векового уравнения имеет место, определяется по соответствующим каждому случаю формулам.

4.2. Действие сосредоточенной силы на границу полуплоскости

Пусть к границе участка приложена некоторая сосредоточенная нагрузка, от действия которой нетрудно перейти к сосредоточенной силе, приложенной к точке границы.

Требуется исследовать распределение напряжений от нормальной силы Р, приложенной в точке О (рис. 25).

	P
	N = P	y
	2ε	y
O	r
ε	r
ε	θ
	θ
x	σ r
x

Рис. 25. Действие сосредоточенной силы на полуплоскость

Для начала необходимо рассмотреть действие нагрузки, распределенной равномерно по малому участку в окрестности точки О, длиной 2ε , равнодействующая которой равна силе Р.

Вычисление интегралов (4.1) для распределенной силы не представляет труда, результат будет зависеть от величины ε . Далее, устремляя ε к нулю, можно получить в пределе соотношения для компонент тензора напряжений (первый случай корней векового уравнения):

σ x	= −	Pu u (u + u )						x3	,
σ x	= −	1	2	1	2				,
		1	2	1	2
				πh			( y 2 + u 2 x2 ) ( y 2		+ u 2 x2 )
						1			2
σ y	= −	Pu u (u + u )						xy 2	,
σ y	= −	1	2	1	2				,
		1	2	1	2
				πh			( y 2 + u 2 x2 ) ( y 2		+ u 2 x2 )
						1			2
τ xy	= −	Pu u (u + u )						x2 y	.
τ xy	= −	1	2	1	2				.
		1	2	1	2
				πh				( y 2 + u 2 x2 ) ( y 2	+ u 2 x2 )
						1			2

Чтобы получить напряжения для второго случая, в данных формулах необходимо принять u1 = u2 = u и для третьего случая u1 = u + iv , u2 = u − iv .

Перейдя к полярным координатам, выразив u1 и u2 через упругие константы, можно получить:

σ r = −

P(u1

+ u2 ) cosθ

σθ = 0 , τ rθ = 0 ,

πh E1E2 rL(θ )

sin 4

cos4

где L(θ ) =

−

sin

2 θ cos2 θ +

Как и ранее, функция

L(θ )

имеет следующий физический смысл: это

величина, обратная модулю упругости при растяжении-сжатии по радиальному направлению, под углом θ к линии действия сосредоточенной силы.

Распределение напряжений является «лучеобразным». Компонента σ r ,

являющаяся главной, убывает обратно пропорционально расстоянию r, а при заданном r, меняется с изменением угла θ по определенному закону (довольно сложному).

Точки, в которых напряжение σ r имеет одну и ту же величину σ 0 ,

находятся на кривых четвертого порядка; эти кривые описываются следующим уравнением:

	4											4				+ u2 )			x(x				)= 0 .
x		1			2v1		2		2		y			P(u1		+ u2 )				2		2
		+		-		x		y		+			+								+ y			(4.2)
E			G		E						E			πhσ
E			G		E						E	2		πhσ	0		E E	2
	1				1							2			0	1		2

Эти кривые, определяющие линии одинаковых напряжений, все замкнуты, симметричны относительно оси x (линии действия силы) и проходят

через точку приложения силы.

Исследование

компоненты

тензора

напряжений

σ r

и уравнения (4.2)

приводит к следующим результатам.

Напряжение

σ r достигает максимального

по

абсолютной величине

значения на линии действия силы

θ = 0 ,

если

выполняется следующее

неравенство:

2v1

(4.3)

2E1

или

2v1

³ 0 .

(4.4)

2E1

Если кроме вышеуказанных условий, постоянные среды удовлетворяют еще двум условиям:

1 2v			4			1		2v + 4	2	4	2		4v + 3
		1						2					1
	-		>		,		−		−			−		> 0 ,	(4.5)
				E1				E2					E1
G E1					G					E2 G

то, кроме направления действия силы, существуют еще два направления, для которых σ r достигает максимальных значений. Углы, определяющие эти максимальные напряжения, определяются из соотношения

		1 2v2 + 4					1		2v2 + 4	2		4	2		4v1 + 3
tgθ = ±	E2
			-		-			-			-			-		. (4.6).

	2 G			E2					E2						E1
						G						E2 G

Если постоянные среды удовлетворяют неравенству

1	-	2v1	<	3	(4.7)
				2E1
G E1

или одновременно двум условиям:

1	−	2v1	=	3	и	8	−	3	< 0 ,	(4.8)
				2E1
G E1						E2		E1

то компонента σ r на линии действия силы будет иметь не максимальное, а

минимальное по абсолютной величине значение. В этом случае существуют два угла, отвечающие максимуму σ r ; найдутся они из уравнения (4.6).

В результате можно отметить три вида линий одинаковых напряжений, которые могут возникнуть в ортотропной среде:

– кривые первого типа имеют место при выполнении условия (4.3) или (4.4), но условия (4.5) не выполняются (рис. 26);

O P

Рис. 26. Первый тип линий одинаковых напряжений

– кривые второго типа получаются при выполнении одновременно условия (4.3) или (4.4) и (4.5). Они изображены на рис. 27. Боковые ответвления

соответствуют опасным направлениям, по	которым	σ r	приобретает

добавочные максимальные напряжения;
O P	y

Рис. 27. Второй тип линий одинаковых напряжений

– третий лип линий получается при выполнении условий (4.7) или (4.8), изображены на рис. 28.

O	P
	y

Рис. 28. Третий тип линий одинаковых напряжений

В случае, если сосредоточенная сила приложена под углом к вертикальной оси, то общий характер распределения напряжений остается прежним, а компонента σ r определяется зависимостью:

		P(u1 + u2 ) cosθ cosω +			sin ω sinθ
σ r	= −	P(u1 + u2 ) cosθ cosω +		E1 / E2	sin ω sinθ
						,
			rL(θ )
		πh E1E2
		πh E1E2

где ω – угол, образованный линией действия силы с нормалью к границе полуплоскости (рис. 29).

Е1 < Е2	90O
Е1 = Е2	ω
Е1 = Е2
Е1 > Е2	x
Е1 > Е2

Рис. 29. Расположение нейтральной линии

В этом случае внутри полуплоскости образуется нейтральная линия, на которой напряжения равны нулю. Уравнение этой нейтральной линии имеет вид

tgθ = −E2 / E1 ctgω .

Нейтральная линия в общем случае не ортогональна к линии действия силы, образуя с ней острый угол, если E1 > E2 , и тупой, если E1 > E2 . По одну сторону нейтральной линии «волокна» сжаты, по другую растянуты. Аналогично, что и в случае с силой, приложенной ортогонально к плоскости, линии одинаковых напряжений представляют собой кривые четвертого

порядка.
Если среда изотропна, то	u1 =u 2 = 1 и			получится известное решение
Фламана (рис. 30):
σ r = −	2P cosθ		, σθ	= 0 , τ rθ = 0 .

	πh	r

O	P	y

Рис. 30. Тип линий одинаковых напряжений для изотропной среды И линии уровня напряжений имеют вид окружностей.

4.3. Действие сосредоточенной силы внутри неограниченной среды

Рассмотрим бесконечную упругую пластинку толщиной h, к одной из внутренних точек которой, достаточно удаленной от краев пластинки, приложена сосредоточенная сила Р. Сосредоточенную силу можно рассматривать как некоторую непрерывную нагрузку, распределенную какимлибо образом по краю бесконечно малого отверстия, приводящуюся к равнодействующий силе Р.

Точка О приложения силы Р принимается за начало координат, оси x и y направлены произвольно (рис. 31).

y	τ rθ	σ r

		r	τ rθ
P sinω		r	σθ
P sinω			σθ
	ω		θ
	ω		x
			x

P cosω

Рис. 31. Задача о действии сосредоточенной силы внутри упругой среды

Рассматривается анизотропия общего вида и известны упругие константы среды, отнесенные к введенной системе координат.

Для решения задачи используется две функции Φ1 (z1 ) и Φ 2 (z2 ) , которые в силу того, что около точки О предполагается отверстие, хоть и бесконечно малое, будут многозначными.

Составляющие напряжений по мере удаления от точки приложения силы, должны стремиться к нулю.

Φ1 (z1 ) = Аln z1 ,

где А, В – комплексные константы.

постоянные, сопряженные с А

и B , для определения всех

четырех постоянных, будем иметь систему уравнений:

A + B −

−

P sinω

2πhi

Aμ + Bμ

−

μ −

= −

P cosω

2πhi

Aμ 2

+ Bμ 2

−

= −

a16

P cosω

−

a12

P sinω

a11

2πhi a11

2πhi

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]