Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теоретический курс механики анизотропного тела. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

875 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

a12 P cosω

a26

P sinω

+ B

- A

- B

μ 2

2πhi

где μ1 и μ2 – различные комплексные корни характеристического уравнения

(2.3).

Компоненты тензора напряжений вычисляются по следующим соотношениям:

Aμ 2

Bμ 2

σ x

2 Re

= 2 Re

Aμ

Bμ

= -2 Re

, z = x + μ y , z

= x + μ

y .

В общем случае эти выражения получаются очень сложными. Однако в случае ортотропной среды, для которой главные направления совпадают с геометрическими осями x и y, а сила действует в направлении оси x, в полярных координатах напряжения имеют вид:

σ r =

cosθ

2πh(μ12 - μ22 ) r

iμ

(1 - v

μ 2 )

(1 + μ12 )sin 2 θ + μ12

- iμ

(1 -ν

μ 2 )

(1 + μ22 )sin 2 θ + μ22

cos2 θ

- μ 2 sin 2

2 1

cos2 θ - μ 2 sin 2

σθ

= -

1 + v2 μ1μ2

cosθ

(4.4)

2πh i(μ1 + μ2 )

τ rθ

= -

1 + v2 μ1μ2

sinθ

2πh i(μ1 + μ2 )

В данном случае комплексные параметры

μ1 и μ2

являются корнями

следующего уравнения в технических константах для ортотропной среды:

μ 4	1	-	2v			+	1	= 0 .
	+	-	1	μ	2	+		= 0 .

E1	G		E1				E2

Не смотря на то, что в выражения (4.4) входит мнимая единица i = − 1 , все три выражения – вещественные, т.к. μ2 μ2 и i(μ2 + μ2 ) всегда вещественные числа.

Следует отметить сложность зависимости выражения для напряжения σ r

от угла θ и сравнительно простой закон распределения для σθ и τ rθ . От расстояния r все напряжения зависят так же, как и в случае силы, приложенной к границе полуплоскости.

Для изотропной пластинки, путем предельного перехода при μ1 = μ2 = i ,

напряжения имеют довольно простой вид:

σ r

= -

3 + v

P cosθ

4πh

σθ

= -

1 − v

P cosθ

4πh

τ rθ =

1 − v

P sinθ

4πh

где v – коэффициент Пуассона.

5. КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ ОКОЛО ОТВЕРСТИЙ В БЕСКОНЕЧНОЙ СРЕДЕ

5.1. Определение напряжений в пластинке с эллиптическим отверстием

Рассматривается анизотропная пластинка произвольной формы, в общем случае не ортотропная, ослабленная эллиптическим отверстием. Пластинка деформируется усилиями, которые распределены по краю отверстия и действуют в срединной плоскости. Если размеры отверстия малы по сравнению с размерами пластинки, и оно не находится вблизи края пластинки, то можно считать пластинку бесконечной и пренебречь влиянием на напряженнодеформированное состояние внешних краев пластинки.

Оси координат x и y расположены по главным осям эллипса. Постоянные упругости аij отнесены к данной системе координат и считаются известными.

X n , Yn – компоненты усилий, действующих на границе отверстия и приходящихся на единицу площади; Px , Py – проекции главного вектора этих

усилий (рис. 32). Контур отверстия задан в параметрическом виде: x = a cosϑ , y = b sin ϑ . Заданные усилия считаются функциями параметра ϑ , который при

обходе по контуру отверстия, изменяется от 0 до 2π .

σ	y	Yn
σ	θ

	Рy	X n
a	Рy	n
a		x
	b	Рx

Рис. 32. Бесконечная пластинка с эллиптическим отверстием Имеется комплексное представление напряжений (2.4) через две функции

комплексных переменных Φ1 (z1 ) и Φ 2 (z2 ) . Заданные проекции усилий X n и

Yn необходимо разложить в ряды Фурье по параметру ϑ ; выражая интегралы

∫ X n ds и ∫Yn ds через ϑ , можно записать следующие условия:


	Py					∞
2 Re[Φ1 (z1 ) + Φ2 (z2 )] =	Py		ϑ + α		0 + ∑(α k ekϑ i +		α		k e−kϑi ) ,
2 Re[Φ1 (z1 ) + Φ2 (z2 )] =			ϑ + α		0 + ∑(α k ekϑ i +		α		k e−kϑi ) ,
	2πh					k =1
		Px				∞
2 Re[μ1Φ1 (z1 ) +2 Φ2 (z2 )] = −		Px		ϑ + β		0 + ∑(βk ekϑ i		+		βk e−kϑi ) ,
2 Re[μ1Φ1 (z1 ) +2 Φ2 (z2 )] = −		2πh		ϑ + β		0 + ∑(βk ekϑ i		+		βk e−kϑi ) ,
		2πh				k =1
где α k , βk – известные комплексные коэффициенты, α0 , β0								–		произвольные

постоянные.

По мере удаления от отверстия напряжения должны стремиться к нулю. Решение редуцируется из функций:

	∞			− μ		α
	∞	β	k	− μ		α		1−k ,
Φ1 (z1 ) = A0 + Alnζ	1 + ∑		k		2	k	ζ
Φ1 (z1 ) = A0 + Alnζ	1 + ∑		μ		− μ		ζ
	n=1		μ		− μ	2
	n=1			1		2
63

∞

− μ

ζ 2−k

Φ2 (z2 ) =B0 +B lnζ

2 − ∑

1 k

n=1

− μ

где

z +

ζ =

z 2

− a2 − μ bb2

, ζ =

z 2

− a2

− μ bb2

a − iμ1b

a − iμ2b

суть функции, которые на контуре отверстия принимают значение eϑ i ; A ,

B0 – произвольные постоянные; A, B – константы, вычисляемые из выражений:

A + B −

−

2πhi

Aμ

+ Bμ

−

= −

2πhi

Aμ 2

+ Bμ 2 − Aμ

− Bμ

= −

−

a11 2πhi

2πhi

a11

+ B

− A

− B

2πhi

Явные выражения для A, B являются довольно громоздкими.

Производные от Φ1 (z1 ) и Φ 2 (z2 ) равны:

∞

− μ

ζ −k

Φ'

(z ) =

A −

∑

z12

− a2 −

μ1

− μ2

μ1bb2

k =1

∞

− μ

ζ −k

Φ'

) =

B +

∑

z22

μ1 − μ2

− a2 − μ2bb2

k =1

Составляющие тензора напряжений и вектора перемещений

определяются по соотношениям (2.4).

Интересно

для

рассмотрения

напряжение

на

площадках,

перпендикулярных к краю отверстия, у самого края оно равно:

σϑ =

i(μ a sinϑ

+ b cosϑ)2

Re[

a2 sin 2 ϑ + b2 cos2 ϑ

a sinϑ + μ b cosϑ

∞

− μ

i(μ

a sinϑ + b cosϑ)2

− A +

∑

−kϑ i

−

μ1 − μ2

a sinϑ − μ2b cosϑ

k =1

	∞					− μ	α
	∞		β		k	− μ	α	k
× B +	∑	k			k	1		k	e	−kϑ i ].
× B +		k							e	−kϑ i ].
				μ1 − μ2
	k =1			μ1 − μ2

Здесь будут полезными формулы определения направляющих косинусов нормали к контуру эллиптического отверстия:

cos(n, x) =	a sinϑ	, cos(n, x) =	− b cosϑ
				.

	a2 sin 2 ϑ + b2 cos2 ϑ		a2 sin 2 ϑ + b2 cos2 ϑ

Приведенные выше формулы соответствуют самому общему случаю распределения усилий, приложенных к контуру отверстия. Однако задача упрощается, если характер распределения усилий будет частным.

5.2.Частные случаи распределения усилий по контуру отверстия

1.Нормальное распределение. К контуру отверстия приложены нормальные усилия интенсивностью q распределенные равномерно и приходящиеся на единицу площади (рис. 33).

	σθ	y
	σθ	В
		В
А	a	q	x
А	a	А	x
1

В1

Рис. 33. Равномерное нормальное распределение усилий

Комплексные параметры предполагаются неравными: μ1 = α + β i , μ2 = γ + δ i ( β > 0,δ > 0 ).

Функции Φ1 (z1 ) и Φ2 (z2 ) имеют следующий вид:

										1	,
F (z ) =		β1 - μ2α1 ×	1	, F (z			) = -	β1 -	μ1α1 ×			(5.1)

1	1	μ1 - μ2	ζ1		2	2		μ1 - μ2		ζ 2

			65

= −

, β = −

qbi

−ϑ i

σϑ =

Re[

a2 sin2

ϑ + b2 cos2 ϑ

(a sinϑ − μ1b cosϑ)(a sin ϑ − μ2b cosϑ)

×{(aμ1μ2 − iμ1b − iμ2b)a3 sin 3 ϑ + i(μ1μ2 − 2)a2b2 sin 2 ϑ cosϑ +

+(2μ1μ2 − 1)a2b2 sinϑ cos2 ϑ + (aμ1 + aμ2 − ib)b3 cos3 ϑ}].

Включевых точках A и A1 на концах большой оси, где ϑ = 0 , ϑ = π

(рис. 33):

= q[

αγ

− βδ

] .

(α

+ β

)(γ

+ δ

)

+ β

+ δ

В точках B и B на концах малой оси, где ϑ = π , ϑ =

π :

σϑ = q[αγ − βδ +

(β + δ )] .

В изотропной пластинке :

σϑ = q

− 1 +

–

в точках A и A1

σϑ = q

− 1 +

–

в точках B и B1 .

Распределение напряжений σϑ по контуру отверстия получается в общем случае анизотропии симметричным относительно центра отверстия О. Если пластинка ортотропна, и главные направления анизотропии совпадают с геометрическими, то распределение σϑ будет симметричным и относительно главных осей.

2. Касательные усилия, равномерно распределенные по контуру. К

контуру отверстия приложены равномерно распределенные усилия t, действующие по касательной (рис. 34).

	σθ	y
		В
	a	t
А	a	А x
1
		b
		В1

Рис. 34. Равномерное касательное распределение усилий

Функции Φ1 (z1 ) и Φ 2 (z2 ) имеют вид (5.1), однако в данном случае:

tbi

= −

где t – интенсивность усилий.

σϑ = −

te−ϑ i

Re[

a2 sin 2 ϑ + b2 cos2 ϑ

(a sinϑ − μ b cosϑ)(a sinϑ − μ

b cosϑ)

×{(aμ1 + aμ2 + ibμ2 μ1 )a3 sin 3 ϑ + (2 − μ1μ2 )a3bsin 2 ϑ cosϑ + + (2μ1μ2 − 1)ab3i sinϑ cos2 ϑ + (a + ibμ1 + ibμ2 )b3 cos3 ϑ}] .

3.Растяжение силами, приложенными на удаленных краях пластины.

Пластинка растягивается силами p, приложенными на достаточно далеком расстоянии от отверстия (в теории – на бесконечности), для того чтобы имел место принцип Сен-Венана. Усилия действуют под углом ϕ к большой оси а;

контур отверстия свободен от усилий (рис. 35).

σθ	y
σθ	В
	В
a	ϕ	x
А1	b	А
	b
	В1

Рис. 35. Растяжение бесконечной пластинки с отверстием

Компоненты тензора напряжений найдутся путем суммирования напряжений в сплошной пластинке, растянутой равномерными силами:

σ x0 = p cos2 ϕ , σ 0y = p sin2 ϕ , τ xy0 = p sin ϕ cosϕ

и напряжений, получаемых с помощью Φ1 (z1 ) и Φ 2 (z2 ) вида (5.1), где нужно принять:

α1 = − p sin ϕ (a sin ϕ − ib cosϕ ) , 2

β1 = p cosϕ (a sin ϕ − ib cosϕ ) . 2

В случае, если угол ϕ = 0 , напряжение σϑ имеет вид (в противном случае выражения очень громоздки)

	σϑ = p	a2 sin 2 ϑ	+		pb			×
	σϑ = p	a2 sin 2 ϑ + b2 cos2 ϑ	+	a2 sin 2 ϑ + b2 cos2 ϑ				×
× Re[		e−ϑ i			×{(μ + μ		)a3 sin3		ϑ +
× Re[	(a sin ϑ − μ1b cosϑ)(a sin ϑ − μ2b cosϑ)				×{(μ + μ	2	)a3 sin3		ϑ +
					1	2

+(2 − μ1μ2 )a2bsin 2 ϑ cosϑ + b3 cos3 ϑ}].

Вточках A и A1 при ϕ = 0

σϑ = p	αγ − βδ
		.
	(α 2 + β 2 )(γ 2 + δ 2 )

В точках B и B1

σϑ = p[1 + b (β + δ )] . a

Визотропной пластинке

σϑ = − p – в точках A и A1 ,

σϑ = p 1 + 2b – в точках B и B1 .

4.Сдвиг. Прямоугольная пластинка с эллиптическим отверстием по центу деформируется касательными усилиями с интенсивностью s, равномерно распределенными по сторонам. Большая ось отверстия образует с одной из

сторон угол ϕ . С учетом геометрии пластинки, можно считать усилия s,

действующими на бесконечности (рис. 36).

σθ y

А1

b	ϕ	А


		x
В1

Рис. 36. Сдвиг бесконечной пластинки с отверстием

Распределение напряжений получается путем суммирования напряжений, возникающих в сплошной пластинке от действия той же нагрузки:

σ x0 = −s sin 2ϕ , σ 0y = s sin 2ϕ , τ xy0 = s cos 2ϕ

и напряжений (2.4), получаемых с помощью представлений для функций

Φ1 (z1 ) и Φ 2 (z2 ) вида (5.1), в которых:

α1 =

(−a sin 2ϕ + ib cos 2ϕ) ,

(a cos 2ϕ + ibsin 2ϕ) .

В частном случае для ϕ = 0 напряжение σϑ имеет вид

σϑ = −s

absin 2ϑ

a2 sin 2 ϑ + b2 cos2 ϑ

× Re[

ie−ϑ i

×{(aμ + aμ

− ibμ μ

)a3 sin3 ϑ +

(a sin ϑ − μ1b cosϑ)(a sinϑ − μ2b cosϑ)

+(2 − μ1μ2 )a2bsin 2 ϑ cosϑ + i(1 − 2μ1μ2 )ab2 sinϑ cos2 ϑ + .

+(a − iμ1b − iμ2b)b3 cos3 ϑ}] .

5.Изгиб. Прямоугольная пластинка с удаленными гранями (бесконечная)

сэллиптическим отверстием по центру изгибается моментами М (рис. 37).

				y

М		А1			b		М
		А1	В		b		x'
	а	В1	А			ϕ	x'
	а					ϕ
						x
						x

Рис. 37. Изгиб бесконечной пластинки с отверстием

Аналогично, напряжения получаются суммированием напряжений в сплошной пластинке ( I – момент инерции сплошной пластинки):

σ x0 = M ( y cosϕ - x sinϕ)cos2 ϕ ,

σ y0 = M ( y cosϕ - x sinϕ)sin 2 ϕ ,

τ xy0 = M ( y cosϕ - x sin ϕ) sin ϕ cosϕ

и напряжений (2.4) в полой пластинке, получаемых с помощью функций вида:

F (z ) = β2 - μ2α 2 ×

F (z ) = - β2 -

μ1α2

μ - μ

ζ 2

μ - μ

ζ 2

α1 = -

M sin ϕ

(b2 cos2 ϕ - a2 sin 2 ϕ + iab sin 2ϕ) ,

β2

M cosϕ

(b2 cos2 ϕ - a2 sin 2 ϕ + iabsin 2ϕ ) .

В частном случае для ϕ = 0 напряжение σϑ

имеет вид

σϑ =

a2 sin 2 ϑ

Mb2

a2 sin 2 ϑ + b2 cos2 ϑ

´ Re[

ie−2ϑ i

´{(μ + μ

)a3 sin3 ϑ +

(a sinϑ - μ1b cosϑ)(a sinϑ - μ2b cosϑ)

+ (2 - μ μ

)a2b sin 2

ϑ cosϑ + b3 cos3 ϑ}].

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]