Теоретический курс механики анизотропного тела. Учебное пособие

Функция напряжений, соответствующая постоянному члену разложения нагрузки, неизвестна, а функция, определяющая распределение напряжений от

нагрузки qk cos kπx , имеет вид l

Подставляя формулу (2.8) в уравнение (2.6), получается обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) четвертого порядка для функции fk ( y) :

При решении данного уравнения четвертой степени могут встретиться

где Ak , Bk , Ck , Dk – постоянные, подлежащие определению.

Во втором случае

31

Функцию напряжений, определенную по одной из формул (2.9) – (2.11), необходимо объединить с функцией напряжений, найденной по формуле (2.5) и определить напряжения как частные производные. Далее, в полученные напряжения подставить условия (2.7) и определить константы Ak , Bk , Ck и Dk ,

и выписать окончательные выражения для напряжений, которые для анизотропной пластинки имеют громоздкий вид.

2.6. Изгиб клинообразной консоли силой, приложенной к его вершине

Рассматривается клинообразная пластинка, находящаяся в равновесии под действием сосредоточенной силы Р, приложенной к вершине. Широкий конец пластинки находится в бесконечности и жестко закреплен (рис. 13). Материал анизотропен, но имеет в каждой точке одну плоскость упругой симметрии, параллельную плоскости клина.

Сила Р приложена под произвольным углом к образующей клина. Поместим систему координат с началом в вершине клина и направим произвольно ось х в плоскости клина.

Р

Оψ1 ψ 2 θ

Рис. 13. Клинообразная консоль

32

Используется полярная система координат, угол θ отсчитывается от оси х. Углы раствора клина относительно оси х обозначаются как ψ1 и ψ 2 ,

очевидно, что угол при вершине ψ1 +ψ 2 , а угол наклона заданной силы Р к оси

х как ω .

Требуется отыскать такое решение, чтобы оно удовлетворяло дифференциальному уравнению (2.2), краевым условиям:

при θ = −ψ1 и θ = ψ 2 напряжения σθ = τ rθ = 0 ,

и уравнениям равновесия части клина под действием приложенной силы. Искомые компоненты напряжения должны стремиться к нулю по мере удаления от вершины.

Функция напряжений в цилиндрической системе координат, удовлетворяющая вышесказанным условиям, определится в виде

F (r,θ ) = r Φ1 (θ ) ,

где Φ1(θ ) – функция одной переменной, определяемая из уравнения (2.2).

Напряжения определяются через F (r,θ ) согласно

Корни уравнения могут быть как комплексными, так и вещественными. Функция Φ1 определится в четыре действия: последовательного

интегрирования четырех дифференциальных уравнений первого порядка. Учитывая равенства (2.12), окончательно для напряжений:

33

Произвольные А и В определяются из условий равновесия части клинообразной пластинки, вырезанной круговым сечением радиуса r, описанным из вершины, как из центра (штриховая линия на рис. 13). Эти условия имеют вид

где L(θ ) – величина, обратная модулю Юнга в обратном направлении.

Относительно общего распределения напряжений в упругом теле, следует отметить следующую особенность в случае приложенной сосредоточенной силы к вершине клина. Распределение напряжений является радиальным, напряжение σ r в любой точке является главным и направлено вдоль луча,

проведенного из вершины к исследуемой точке.

В зависимости от соотношения между упругими постоянными и углом наклона ω , возможны три случая: все части клина сжаты (рис. 14, а); все части клина растянуты (рис. 14, б); в области клина имеется нейтральная линия, вдоль которой напряжения равны нулю, по разные стороны от нейтральной линии материал испытывает сжимающие и растянутые напряжения (рис. 14, в).

34

Рис. 15. Изгиб клинообразной консоли моментом На сторонах клина должны выполняться условия:

при θ = ±ψ , σθ = τ rθ = 0 ;

так же напряжения должны стремиться к нулю при удалении от вершины клина. Функция напряжений, дающая возможность удовлетворить этим условиям и уравнениям равновесия, выглядит так:

F = Φ0 (θ ) ,

зависит только от одной переменной θ (а не от двух, как в случае изгиба силой). Применяя формулу (2.13), эту функцию можно определить путем последовательного интегрирования уравнений первого порядка.

Окончательно для компонент тензора напряжений в цилиндрических координатах можно записать:

, θ = dL L ( ) dθ .

36

Константа А определяется из условия равновесия части клина, вырезанного круговым сечением (штриховая линия на рис. 15):

Относительно общего характера распределения напряжений в упругом клине следует отметить, что в случае изгиба моментом, распределения напряжений не будет только в радиальном направлении. И, в отличие от изгиба сосредоточенной силой, напряжения убывают обратно пропорционально квадрату расстояния от вершины клина до исследуемой точки.

2.8. Изгиб клинообразной консоли распределенной нагрузкой

Рассматривается клинообразная пластинка, находящаяся в равновесии под действием равномерно распределенной нагрузки, действующей на одну ее грань по всей длине (рис. 16). Материал предполагается прямолинейно анизотропным, плоскость упругой симметрии имеется и параллельна плоскости клина.

q

Рис. 16. Изгиб клинообразной консоли распределенными силами

Решение следует искать с помощью функции напряжений следующего

вида:

F = r 2F2 (θ ) .

Система координат совмещена с началом в вершине клина и ось х направлена произвольным образом внутри области клина (рис. 16). Углы наклона сторон клина к оси х – ψ1 и ψ 2 . Условия на границе имеют вид:

37

переменной θ .

В общем случае неортотропной пластинки (плоскость упругой симметрии имеется), когда корни уравнения

+ β{4(α - γ )δ 2 (sin θ + γ cosθ ) cosθ - [(α - γ )2 + β 2 - δ 2 ] ´

´[sin 2 θ + 2γ sinθ cosθ + (γ 2 - δ 2 ) cos2 θ ]} × arctg δ cosθ . sinθ + γ cosθ

Компоненты тензора напряжений в цилиндрических координатах имеют вид

σ r = −2 Acos 2θ − 2B sin 2θ + C(2ϕ + ϕ ') + D , σθ = 2( A cos 2θ + B sin 2θ + Cϕ + D) ,

τ rθ = 2 Asin 2θ − 2B cos 2θ − Cϕ '.

38

Постоянные A, B, C, D определяются из граничных условий. Следует отметить, что напряжения не зависят от радиуса r.

Если нагрузка q распределена по всей длине грани согласно алгебраическому закону

N

q = q + ∑ qk r k ,

k =1

то решение можно получить, комбинируя функции напряжений вида

F = r mΦm (θ ) , m = 2,3,....

Из этой формулы следует частный случай равномерной нагрузки, описанный выше.

3. РАВНОВЕСИЕ АНИЗОТРОПНЫХ СТЕРЖНЕЙ

3.1.Определение упругого состояния простейших тел

1.Задача о растяжении цилиндрического стержня. Один конец стержня закреплен, на другом конце действуют равномерно распределенные силы, приводящие к силе P (рис. 17). Длина стержня l и площадь поперечного сечения S. Материал однороден и обладает анизотропией общего вида. Упругие константы (коэффициенты деформации) в безразмерном виде aij . Необходимо

определить компоненты вектора перемещения и удлинение оси стержня.

x

y

О

l

О1 P

z

Рис. 17. Растяжение анизотропного стержня

39

Если допустить, что реактивные усилия по верхнему концу стержня закреплены равномерно, напряжения равны:

Путем непосредственного интегрирования деформаций можно получить компоненты перемещения:

u= P (a13 x + a36 y + a35 z) + ω2 z − ω3 y + u0 , S

v= P (a23 y + a34 z) + ω3 x − ω1z + v0 ,

S

w = P a33 z + ω1 y − ω2 x + w0 , S

где ω1 , ω2 , ω3 , u0 , v0 , w0 – константы, характеризующие перемещение стержня как жесткого, первые три отвечают за «жесткий» поворот, вторые три за поступательное движение вдоль координатных осей. Последние определяются из граничных кинематических условий. Поместив начало

наклоняются к линии действия силы, стержень становится косоугольным

(рис. 18).

40