Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Тамбовский государственный технический университет»

Ю. Ф. МАРТЕМЬЯНОВ, Д. Ю. МУРОМЦЕВ, П. А. ЩЕРБИНИН

СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ

ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ

Утверждено Учёным советом университета в качестве учебного пособия для студентов 3, 4 курсов

направлений подготовки 11.03.02, 11.03.03 всех форм обучения

Учебное электронное издание

Тамбов Издательский центр ФГБОУ ВО «ТГТУ»

2019

1

УДК 519.24:51.001.57

ББК В1я73

М34

Р е ц е н з е н т ы :

Доктор технических наук, профессор ФГБОУ ВО «ТГУ им. Г. Р. Державина»

В. А. Федоров

Доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Уголовное право и прикладная информатика

в юриспруденции» ФГБОУ ВО «ТГТУ»

В. Н. Чернышов

Мартемьянов, Ю. Ф.

М34 Статистическое моделирование систем. Лабораторный практикум [Электронный ресурс] : учебное пособие / Ю. Ф. Мартемьянов, Д. Ю. Муромцев, П. А. Щербинин. – Тамбов : Издательский центр ФГБОУ ВО «ТГТУ», 2019. – 1 электрон. опт. диск (CD-ROM). – Системные требования : ПК не ниже класса Pentium II ; CD-ROM-

дисковод ; 28,2 Mb ; RAM ; Windows 95/98/XP ; мышь. – Загл. с эк-

рана.

ISBN 978-5-8265-2072-7

Представлены лабораторные работы, закрепляющие основные принципы и методы статистического моделирования систем: построение регрессионных и корреляционных зависимостей, проверку статистических гипотез, определение точечных и интервальных оценок параметров математической модели, проверку адекватности математической модели, а также основы математического планирования экспериментов при моделировании статики многомерных систем.

Предназначен для студентов 3, 4 курсов направлений подготовки

11.03.02, 11.03.03 всех форм обучения.

УДК 519.24:51.001.57

ББК В1я73

Все права на размножение и распространение в любой форме остаются за разработчиком. Нелегальное копирование и использование данного продукта запрещено.

ISBN 978-5-8265-2072-7 © Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Тамбовский государственный технический университет» (ФГБОУ ВО «ТГТУ»), 2019

2

ВВЕДЕНИЕ

Повышение экономической эффективности технологических производств, их интенсификация и повышение качества продукции связаны, прежде всего, с детальным анализом производственных процессов и поиском оптимальных условий их проведения. Решение указанных вопросов ведется, как правило, с использованием математической модели процессов и систем.

Экспериментальный и экспериментально-аналитический методы получения математического описания позволяют получить математическую модель конкретного процесса, реально используемую для целей управления. Получение математической модели или идентификация возможны как в режиме нормального функционирования объекта, так и с помощью специально спланированного активного воздействия.

Планирование эксперимента возникло в 30-х годах прошлого века идеями Р. Фишера и получило развитие в 1950-х годах Дж. Боксом, К. Уилсоном, Дж. Хантером и др. Значительные результаты, полученные Кифером, Вольфовицем, которые оформили четкие теоретические основы (были определены понятия плана экспериментов, критерии оптимальности плана, исследованы свойства информационной матрицы Фишера и т. д.), обеспечили возникновение теории оптимального эксперимента.

Предлагаемое издание по статистическим методам моделирования объектов и систем включает в себя методы статистической обработки результатов пассивного эксперимента – дисперсионный и регрессионный анализы, а так же основы методики планирования экспериментов при построении линейных моделей статики сложных систем.

Статическая характеристика исследуемого объекта представляет собой зависимость выходной величины Y от управляемого входного воздействия X и неуправляемых воздействий (помех) z1, z2, …, zm в установившемся режиме, т.е. зависимость

где a0 , a1, ..., an – параметры зависимости.

По степени определенности связи между величинами Y и X различают следующие виды зависимостей.

1. Функциональная зависимость. Данная зависимость имеет место, когда X и Y являются неслучайными (детерминированными) величинами

Рис. В1. Исследуемый объект

3

и выходная величина Y целиком определяется значением входной переменной Х. Графически функциональная зависимость изображается линией

(см. рис. В2).

При снятии статической характеристики объекта функциональная зависимость имеет место, если все параметры, влияющие на выходную величину Y стабилизированы (меняется только входная переменная X) и значения величин Y и X измеряются с высокой точностью (погрешность измерения пренебрежимо мала).

2. Вероятностная или «стохастическая» зависимость. Эта зависи-

мость имеет место, когда условия, необходимые для функциональной зависимости, не выполняются. На практике вероятностная зависимость часто имеет место в следующих случаях.

а) Между Y и X существует обычная функциональная зависимость (1.1), и значение X измеряется точно, а Y – с некоторой ошибкой δ, т.е.

Ошибка измерения δ является случайной величиной, поэтому и выходная переменная Y является случайной величиной. Одному определенному значению Х = Х1 при нескольких измерениях будут соответствовать различные значения величины Y. Например, значительные погрешности имеют место при измерении таких качественных параметров, как концентрация, прозрачность, вязкость и т.д.

б) Значение выходной переменной Y зависит не только от Х, но и ряда других, не подлежащих стабилизации параметров z1, z2, …, zm как контролируемых, так и неконтролируемых. В этом случае зависимость Y от Х может быть представлена как

Если параметры z1, z2, …, zm меняются во времени случайным образом, то и выходная переменная Y будет случайной величиной.

4

Исследование зависимостей вида (1.2) и (1.3) производится методом регрессионного анализа.

в) Переменные Х и Y являются случайными величинами по своей физической природе вследствие зависимости от большого числа неконтролируемых факторов, либо как результат измерения со значительными ошибками. В первом случае исследование степени тесноты связи между Х

иY производится методом корреляционного анализа, а во втором случае вид и степень связи определяются методом конфлюэнтного анализа.

Графически вероятностная зависимость между двумя переменными Y

иХ может быть представлена, так называемым, корреляционным полем (см. рис. В3), т.е. полемточек, представляющихсобойзамерыХиY.

Таким образом, если величина Y связана с величиной Х вероятностной зависимостью, то, зная значение Х нельзя указать точно какое значение примет переменная Y, можно лишь указать ее закон распределения.

Если с изменением Х меняется закон распределения Y, то такая зависимость называется стохастической.

Наличие стохастической зависимости проявляется в том, что с изменением Х величина Y имеет тенденцию также изменяться, например, «в среднем» возрастать, однако в каждом отдельном случае от этой тенденции возможны отступления.

Вероятностная зависимость характеризуется различной степенью тесноты связи между Y и Х. По мере увеличения тесноты связи вероятностная зависимость приближается к функциональной, которую можно рассматривать как один предельный вид вероятностной зависимости. Вторым предельным видом является полное отсутствие зависимости между Y и Х.

Различие между функциональной зависимостью (1.1), вероятностными зависимостями (1.2) и (1.3), а также зависимостью, рассмотренной в пункте 2в, представлено на рис. В4, где по третьей оси отложены плотно-

сти вероятности случайных величин ϕ.

X

Рис. В3. Корреляционное поле

5

Рис. В4. Виды зависимостей двух переменных

а – функциональная зависимость Y = f(Х), плотность вероятности ϕ(Y) представляет собой дельта-функцию; б – стохастическая зависимость случайной величины Y от неслучайного аргумента Х, ϕ(Y/Х2) – условная плотность распределения Y при Х = Х1, М[Y/Х1] – условное математическое ожидание Y при Х = Х1,

в – стохастическая зависимость между двумя случайными величинами Y и Х, ϕ(Y1Х) – плотность вероятности двумерной случайной величины

6

Лабораторная работа 1

МЕТОДЫ СГЛАЖИВАНИЯ И ПРИБЛИЖЕНИЯ ЭСПЕРИМЕНТАЛЬНО ПОЛУЧЕННОЙ ЗАВИСИМОСТИ АНАЛИТИЧЕСКИМ ВЫРАЖЕНИЕМ

Цель работы: приобретение практических навыков по применению методов сглаживания и приближения функции одной и нескольких переменных. Знакомство с наиболее распространенными методами интерполяции и аппроксимации.

Задание:

1.Произвести сглаживание экспериментальных данных методом скользящего среднего и методом четвертых разностей.

2.Произвести параболическую интерполяцию экспериментальных

данных.

3.Произвести аппроксимацию экспериментальных данных:

а) методом наименьших квадратов; б) ортогональными многочленами Чебышева.

4. Сравнить качество аппроксимации примененными методами.

Основные положения

1. Сглаживание экспериментальных данных

Проведение эксперимента на реальном объекте (рис. 1.1) связано, как правило, с наличием погрешности δ в измерении выходной координаты y. Кроме того, в ходе эксперимента на объект действуют стабилизированные возмущения z. Результатом является то, что для каждого фиксированного значения входной величины x может быть получена совокупность отличающихся по величине замеров выходной переменной y (рис. 1.2).

Это искажение затрудняет или делает вообще невозможным анализ статической характеристики

В случае, когда требуется лишь графическая форма представления статической характеристики, например, перед графическим дифференцированиемf(x), экспериментальныеданныенередкопредварительносглаживают.

7

Сглаживание методом скользящего среднего

Этот метод используют при условии x = xi − xi−1 = const.. Суть ме-

тода заключается в усреднении всех значений y, попадающих в некоторый заранее заданный интервал δx, во всем диапазоне изменения х. Тогда сглаженные значения функции y* = f(x) находятся так:

где z − четное число, определяющее величину интервала усреднения δx; обычно z берут равным 2, 4, 6, 8.

Очевидно, что использование этого метода ведет к потере z экспериментальных данных, необходимых для накопления в «памяти», т.е. в интервале δx = xz, однако, в случае зависимости f(x) близкой к линейной, метод обеспечивает хорошее качество сглаживания.

Сглаживание методом четвертых разностей

Для применения метода четвертых разностей также требуется условие x = xi − xi−1 = const . Метод четвертых разностей основан на аппрок-

симации во всем диапазоне изменения каждых пяти соседних значений параболой второго порядка (рис. 1.3).

y

Рис. 1.3. К методу четвертых разностей

Целью аппроксимации является вычисление средней из пяти ординат, вычисленное значение которой является усредненным. Затем осуществляется сдвиг на величину x и опять производится аппроксимация.

Окончательная формула для вычисления сглаженного значения средней ординаты представляется в виде:

8

где 4 − четвертая центральная разность функции y при i-м значении аргумента, вычисляемая как

Необходимо отметить, что и в этом методе имеется потеря при сглаживании четырех значений y (два в начале и два в конце интервала сглаживания).

Метод четвертых разностей предполагает близость статической характеристики на интервале 4 x к параболе, и также, как метод скользящего среднего, легко алгоритмизуется для расчетов на ЭВМ.

2. Приближение экспериментальных данных аналитическим путем

В задачах приближения экспериментально полученных данных аналитическим выражением возможны две постановки. Первая заключается в построении некоторой функции y* = f(x), значения которой в точках x1, x2, …, xn точно совпадают с y1, y2,…, yn (рис. 1.4).

Данная задача решается методом интерполяции. Интерполяция используется для получения статических характеристик при отсутствии случайной помехи или ее устранении путем сглаживания.

При наличии помехи часто используется другой подход, при котором от аналитического выражения y* = f(x) требуется лишь, чтобы оно как-то приближало данные эксперимента и не обязательно совпадало с экспериментальными данными (рис. 1.5).

Такие задачи называются задачами приближения аппроксимацией и решаются, какправило, путемминимизации значения некоторогокритерия.

Интерполяция

Очевидно, что через заданные точки (экспериментальные данные) можно провести бесконечно много кривых. В связи с этим для определенности потребуем, чтобы искомая функция y = f(x) была многочленом степени, на единицу меньшей, чем количество экспериментальных данных.

Такая задача называется задачей параболического интерполирования, ко-

9

торая сводится к отысканию интерполяционного многочлена, принимающего в заданных точках заданные значения.

Пусть заданы значения y1, y2, …, yn в точках x1, x2,…, xn, причем xi ≠ xj; i, j = 1, 2, …, n. Простой подстановкой можно доказать, что многочлен fj(x) вовсехточках xi равен нулю, кромеx = xj, гдеонпринимаетзначенияyj.

Тогда интерполяционный многочлен можно представить в форме:

j=1

Эта формула называется интерполяционной формулой Лагранжа.

Аппроксимация

Взадаче интерполяции порядок интерполяционного многочлена связан

сколичеством экспериментальных данных. При большом количестве данных экспериментаиспользуют, какправило, аппроксимациюмногочленом

i=0

где m << n.

Здесь требуется найти также коэффициенты b1, b2, …, bn и функции ϕi (x) , чтобы функция f(x) наилучшим образом соответствовала наблю-

даемым данным x1, x2, …, xn (m << n), например, минимизируя критерий качества приближения F

F = ∑n G(xi )[yi2 − f (xi )]2 ,

i=1

где G(xi) − весовая функция, характеризующая желаемую точность приближения при различных значениях xi. Некоторые виды функции представлены на рис. 1.6.

В случае «а» приближение осуществляется равномерно во всех точках xi; в случае «б» − предпочтение в точности приближения отдается значениям y при малых значениях x. Следует отметить, что при одной и той же точности в измерениях всех xi (i = 1, 2, …, n) принимают G(xi) = 1.

10