Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Статистическое моделирование систем. Лабораторный практикум. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

y		yip
		–
		yi
		yij
–		yi2
–
y
корреля-		yi1
ционное
поле
–	xi	x
x	xi	x
Рис. 4.3. Условные обозначения

yi , j − j-е измерение y в серии при x = xi ; j = 1, 2, …, pi; i = 1, 2, …, n; yi − выборочное среднее серии при x = xi ;

y− среднее y по всем измерениям;

x− среднее x по всем измерениям; b0 − оценка коэффициента β0 ;

b1 − оценка коэффициента β1 ;

se2 − оценка дисперсии воспроизводимости; sост2 − остаточная дисперсия;

sr2 − оценка дисперсии неадекватности; sb20 − оценка дисперсии b0 ;

Sb21 − оценка дисперсии b1 ;

sei2 − дисперсия ошибки измерения внутри i-й серии; Gкрит − критическое значение критерия Кохрена; Fкрит − критическое значение критерия Фишера; tкрит − критическое значение критерия Стьюдента.

yˆi − вычисленное по формуле yˆ =b0 +b1x значение y при x = xi .

Наконец, отметим, что для удобства расчетов лучше сместить ось ординат на величину x , т.е. эмпирическую модель, коэффициенты которой будут в дальнейшем оцениваться, запишем в виде

yˆ =b0 +b1 (x − x) .

Последовательность расчета

1. Проверить однородность дисперсии ошибки измерения в серии по критерию Кохрена (если p1 = p2 =... pn ).

			1			p
	sei2 =		1			∑i (yij − yi ).
	sei2 =		p −1			∑i (yij − yi ).
				i		j=1
Дисперсии однородны, если
		(s2		)
G	=	ei		max	<G		(γ, f , f		) ,
G	=				<G		(γ, f , f		) ,
расч		∑se2i				крит	1	2

где γ − доверительная вероятность; f1 − число степеней свободы числите-

ля, равное р

−1; f2 – число серий, равное n

(sei )max

Вычислить оценки b0

и b1

∑pi

i=1

;

∑pi

i=1

∑pi

i (xi −

)

i=1

∑pi (xi − x )2

i=1

где yi

− выборочное среднее серии при x = xi ,

j=рi

∑yij

i =

j=1

;

x − среднее x по всем измерениям:

∑xi

x = in=1 .

∑pi

i=1

3. Определить дисперсию неадекватности


sr2 =	1 ∑pi [yi −b0 −b1 (xi − x )]2
		n
	n −2	i=1
и дисперсию воспроизводимости
	n pi				n
se2 = ∑∑(yij −				i )2	(∑pi −n) .
			y
	i=1 j=1				i=1

4. Проверить адекватность уравнения регрессии по F-критерию. Математическая модель адекватна, если

	s2
F =	r	< F	(α, f	, f	2	)

расч	se2	крит	1			,

где α − уровень значимости; f1 − число степеней свободы числителя, равное (n − 2); f2 − число степеней свободы знаменателя, равное:

f2 = ∑pi −n

i=1

Найти оценку остаточной дисперсии

∑∑( yij −b0 −b1 (xi − x))2

= i=1

j=1

ост

∑pi −2

i=1

Определить оценку дисперсии коэффициентов

sb2

sост2

sb2

sост2

;

∑pi

∑pi (xi − x )2

i=1

Проверить значимость коэффициентов

и b1

по t-критерию

Стьюдента.

Коэффициент

незначим, если

≤ t

кр

(γ, ν ) .

Коэффициент

незначим, если

≤ t

кр

(γ, ν

) , где

ν ,ν

– число

sb2

степеней свободы sост2

, равное ∑pi −2 .

i=1

Вычислить оценку дисперсии линии регрессии в 5 – 8 точках

(j = 1, 2, …, 8)

(x j

−

= s2

y j

ост

∑pi

∑pi (xi − x)

i=1

yˆ = b0 + b1 (x − x )

x	x
Рис. 4.4. Доверительный коридор линии регресии
9. Определить доверительный интервал для математического ожи-
дания величины yi при заданном xi	, используя t критерий

b0 +b1(xi − x) −t(γ, ν)sy ≤ yi ≤b0 +b1(xi − x) +t(γ, ν)sy .

Здесь ν = ∑pi −2 .

i=1

Фактически мы определили коридор, который с вероятностью γ накрывает истинное расположение линии регрессии модели (рис. 4.4).

Порядок выполнения работы

1. Составить план предстоящих экспериментов согласно прилагаемой табл. 1.

Таким образом, для каждого фиксированного значения xi проводится серия из 5-и измерений. Отметим, что вид входной переменной (x1, x2 , x3 , x4 либоx5 ) и диапазон ее изменения (5 значений) определяется

преподавателем.

2. Провести экспериментальные исследования. Для этого на компьютере использовать оболочку лабораторной работы и руководство к пользованию.

Таблица 1

№

(y − y)2

s 2

x −

−

)

−

− ˆ

y1i

y2i

y3i

(xi

опыта

∑ i

x )

yi )

i=1

Сумма

3. Приступить к обработке результатов эксперимента. Здесь рекомендуется использовать при расчетах продолжение указанной выше таблицы с графами.

Содержание отчета

1.Наименование, цель и задание на работу.

2.Предпосылки и основные формулы регрессионного анализа.

3.Результаты эксперимента, оформленные в виде таблицы.

4.Вычисленные значения оценок коэффициентов b0, b1, дисперсий, результаты проверки исходных предпосылок, значимости коэффициен-

тов b0, b1 модели, расчет доверительной области для положения линии регрессии. (Графический материал может быть оформлен на миллиметровке).

5.Статическую характеристику объекта в аналитической и графической формах с нанесенными на график экспериментальными данными и «доверительным коридором» для линии регрессии.

Контрольные вопросы

1.Какие критерии согласия могут быть использованы для проверки гипотезы об однородности многих дисперсий и в каких случаях?

2.Что понимается под числом степеней свободы?

3.Каковы области применения t и F-критериев?

Список литературы

1.Химмельблау, Д. Анализ процессов статистическими методами / Д. Химмельблау. – М. : «Мир», 1973.

2.Рузинов, Л. П. Статистические методы оптимизации химических процессов / Л. П. Рузинов. – М. : Химия, 1972.

Лабораторная работа 5

ПОЛУЧЕНИЕ СТАТИЧЕСКОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕЛИНЕЙНОГО ОДНОМЕРНОГО ОБЪЕКТА

Цель: Приобретение практических навыков по применению метода регрессионного анализа при обработке экспериментальных данных для получения статической характеристики нелинейного одномерного объекта в случае стохастической зависимости между выходной и входной переменными.

Задание:

1. Проверить выполнение предпосылок регрессионного анализа.

2.Выбрать возможные формы зависимости между выходной и входной переменными.

3.Вычислить оценки коэффициентов уравнения регрессии.

4.Выбратьуравнениястатикинаиболееадекватныхреальномуобъекту.

Основные положения

В подавляющем большинстве случаев статические характеристики реальных объектов y =ϕ(x) (рис. 5.1) имеют нелинейный характер. Это

может быть обусловлено	как	физико-химическими закономерностями,
	dy
протекающими в объекте		≠ const	, так и конструкцией аппаратов

	dx

(ограничение диапазона изменения переменных).

Некоторые виды статических характеристик нелинейных объектов представлены на рис. 5. 1.

Исходным статистическим материалом для получения уравнения статики одномерного объекта является n пар наблюдений выходной y и входной x переменных, т.е. (xˆi , yi ), i = 1, 2, …, n. Для сокращения записи

исходные данные удобно записывать n-мерными векторами.

Значения x) и y могут быть получены в результате активного или

пассивного эксперимента, графическим изображением их является корреляционное поле (рис. 5. 2).

При выборе вида аналитической зависимости y =ϕ(x) необходимо

учитывать следующие обстоятельства.

Во-первых, математическим аппаратом нелинейного регрессионного анализа при оценке параметров статической характеристики, так же как и

y		3	y yx
1	2	3
1
			yx = ϕ(x)
		x	x
Рис. 5.1. Статические характеристики			Рис. 5.2. Корреляционное поле и
нелинейных объектов:			линия условного математического
1 – гиперболическая; 2 – экстремальная;			ожидания yx
3 – с нелинейностями на границах

линейного, является метод наименьших квадратов, поэтому выбранная зависимость должна сводиться при помощи каких-либо преобразований и замены переменныхклинейной. Например, нелинейнаястепеннаязависимость

y = a0 xa1

сводится к линейной путем логарифмирования lg y =lga0 +a1 lg x

и введения новых обозначений

v =lg x , w=lg y , b0 =lga0 .

В результате получаем

w =b0 +a1v .

Во-вторых, выбранная аналитическая зависимость y =ϕ(x) не долж-

на содержать излишне большого числа оцениваемых параметров, а именно, больше того, что требует конфигурация корреляционного поля или,

точнее, сглаженная линия условного математического ожидания yx . На-

пример, корреляционное поле, изображенное на рис. 5.2, не имеет точки перегиба и не следует в качестве аналитического выражения статической характеристики брать параболу высокого порядка, т.е.

y= b0 +b1x +b2 x2 +b3 x3 +... .

Втаблице 5 приложения приведены некоторые часто встречающиеся нелинейные зависимости, их графическое представление, приведение зависимостей к линейному виду и системы нормальных уравнений для оценивания коэффициентов.

Вместо большого числа различных типов нелинейных зависимостей важным моментом при получении статической характеристики является выбор наиболее адекватной модели. В остальном порядок проведения расчетов методом нелинейного регрессионного анализа во многом совпадает с расчетами методом линейного регрессионного анализа.

Последовательность расчета

1. Производится предварительная обработка статистических данных: проверка статистической однородности совокупности и выполнения исходных предпосылок регрессионного анализа.

а) Проверка статистической однородности совокупности.

Если данные для расчета статической характеристики собраны в различное время или с использованием различной измерительной аппаратуры, то возникает необходимость в проверке гипотезы, принадлежат ли частные

Проверка статистической однородности может производиться различными способами. В ряде случаев отрицательный результат проверки не может служить препятствием к объединению выборок, например, когда выборки получены для отличающихся интервалов наблюдений x.

выборки к единой генеральной совокупности. Эта проверка сводится к

следующему.

Пусть имеются две выборки

′

(x1, y1 ), (x2 , y2 ), ..., (xn1, yn1 )

′′

(x1, y1 ), (x2 , y2 ), ..., (xn2

, yn2 ).

По данным выборок вычисляются оценки средних значений

′ =

∑yi′ ,

′′ =

∑yi′′

и дисперсий

i=1

s12 =

∑1 (yi′ −

′)2 , s22 =

∑2 (yi′′− y′′).

n −1

−1

i=1

Если значения

′

и s12 выборки объемом n1 отличаются несущест-

венно в статистическом смысле от

′′ и s22

выборки объемом n2 , то их

можно объединить в одну совокупность.

Сравнение средних

′

′′ производится по t-критерию Стьюдента.

Для этого оценивается критическая статистика по формуле

t =

′

− y

′′

где

(n −1)s2

+(n

−1)s2

s =

n1 +n2 −2

Для выбранного уровня значимости α (α = 0,05) и числа степеней

свободы Ψ = n1 +n2 −2 по таблице квантилей t-распределения находим табличноезначениекритическойстатистики tт (α, Ψ) (табл. 3 приложения).

Если	tˆ	< tт (α, Ψ) , то расхождение средних считается незначимым.

Сравнение дисперсий s2			и s2 производится по F-критерию Фишера;
1				2
для этого оценивается отношение большей дисперсии к меньшей, т.е.
			ˆ		sбольш2 .
			F	=			>1 .
					sменьш2	.

Значение	ˆ	сравнивается с табличным Fт (α, Ψ1 ,Ψ2 ) (здесь Ψ1 −
	F

число степеней свободы числителя; Ψ2 − число степеней свободы знаменателя отношения дисперсий равные n – 1) – (табл. 4 приложения).

Если F < Fт (α, Ψ1 ,Ψ2 ) , то расхождение дисперсий незначимо.

При несущественном расхождении средних и дисперсий выборки можно объединять в общую совокупность.

б) Проверкастохастическойнезависимостирезультатовнаблюдения.

Пусть имеется серия замеров y при постоянном значении x: y1 , y2 , ..., yn .

Значения yi располагаются в вариационный ряд (по возрастанию или убыванию y)

y(1) , y(2) ,..., y(n)

и определяется значение медианы

y n+1 , еслиn нечетно,

yˆ

med

y n

+ y n

, еслиn четно.

Путем сравнения исходной серии замеров с yˆmed составляется ряд плюсов и минусов; плюс пишется, если yi > yˆmed , минус – если yi < yˆmed (значения yi = yˆmed из рассмотрения исключаются). Полученная последо-

вательность знаков состоит из серий, подряд идущих плюсов и подряд идущих минусов (серия, в частности, может состоять и из одного знака). Определяется общее число серий μ и протяженность (в знаках) самой длинной серии τ.

Результаты наблюдений считаются стохастически независимыми (при уровне значимости α = 0,05), если выполняются неравенства

μ > E	1	(n +1−1,96	n −1) ;
	2

τ< E[3,3(lgn +1)],

где E[z] − целая часть числа z.

в) Проверка постоянства условной дисперсии.

Пусть для l различных значений входного параметра x1 , x2 , ..., xl (или l интервалов разбиения диапазона изменения х с серединами интервалов x1 , x2 ,..., xl ) имеются соответствующие l выборок значения выходного параметра:

y11 , y12 , ..., y1n1 ; y21 , y22 , ..., y2n2 ;

...........................

yl1 , yl 2 , ..., yl nl .

Для каждой выборки оцениваются средние значения и дисперсии (условные, так как они соответствуют определенным значениям x)

				1		ni
				yi =		∑yij ;
				yi =	n	∑yij ;
					i	j=1
			1	n
s2y xi	=		1	∑i (yij − yi )2 ; (i =1,2, ..., l) .
s2y xi	=	n	−1	∑i (yij − yi )2 ; (i =1,2, ..., l) .
		i		j=1

Проверка постоянства условной дисперсии D[y/ x] может быть про-

ведена по критерию χ2 . Оценка критической статистики проводится по формуле

s 2y

χ2

= −

∑ni ln

где

i=1

c =1+ 3(l −1)

∑n

− n

i=1

s 2 =	1 ∑(ni −1)s 2y xi ,
	l

n −l i=1

n = ∑ni .

i=1

Значение χˆ 2 сравнивается с табличным χ2т (α,l −1) , которое опреде-

ляется по таблице квантилей χ2 распределения для выбранного уровня значимости α и ν = l −1 числа степеней свободы.

Если χ2 < χ2т (α, l −1) , то условную дисперсию можно считать неза-

висящей от х. В противном случае условная дисперсия неоднородна и для корректного применения аппарата регрессионного анализа необходимо

подобрать некоторую функцию h2 (x) , чтобы условную дисперсию можно было представить в виде

D[y x]= D h2 (x) .

г) Проверка нормальности условного распределения выходной переменной.

Данная проверка производится по критерию χ2 . Порядок вычислений приведен в лабораторной работе 2.

д) Отсев отдельных значений, резко отличных от основной массы наблюдений.

В предположении нормальности условного распределения y из дальнейшей обработки необходимо исключить значения наблюдений, для кото-

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]