Статистическое моделирование систем. Лабораторный практикум. Учебное пособие

Рис. 5.3. Корреляционная таблица и корреляционное поле:

xi (i = 1, 2,..., lx ); yi (i = 1, 2,..., l y ) – середины значений интервалов разбиения

41

1 n

y = n ∑i=1 yi .

При большом числе наблюдений n проверка существенности связи производится по t-критерию Стьюдента. Оценка критической статистики

n − 2 tˆ = ηˆ y x 1 − ηˆ 2y

x

сравнивается с табличным значением tт(α, n −2) .

Если tˆ > tт (α, n −2) , то связь между y и x статистически значима. Для

α = 0,05 и n >100 tт(α, n −2) =1,96 .

5. Проверяется линейность связи между y и x . Оценивается значение коэффициента корреляции:

y = b0 +b1x .

При проверке гипотезы линейности обычно берут α = 0,1 или

α= 0,2. В этом случае при большом n tт (α=0,1) =1,64 ; tт (α=0,2) =1,28 .

6.Если неравенство не выполняется, то выбираются виды зависимостей, которые могут быть использованы в качестве статической характеристики исследуемого объекта.

Учитывая физико-химические процессы, протекающие в объекте, а также сопоставляя вид эмпирической линии регрессии с формами различных кривых, приведенных в табл. 5 приложения, выбираются ряд зависимостей ϕ1(x), ϕ2 (x), ..., ϕk (x) для использования в качестве статиче-

ской характеристики объекта.

42

При выборе зависимостей ϕ1(x), ϕ2 (x), ..., ϕk (x) можно пользоваться

различными искусственными приемами для приближения оценки близости их к эмпирической. Один такой прием заключается в проверке постоянства отношения входной и выходной переменных. Например, для зави-

7. Оцениваются параметры зависимостей. Выбранные зависимости с использованием формул табл. 5 приложения путем элементарных преобразований и заменой переменных приводятся к линейным относительно оцениваемых параметров функциям.

Параметры a1 , a2 , ..., ak оцениваются методом наименьших квадра-

тов в обычном порядке.

8. Проверяется адекватность полученных моделей.

Проверка производится по критерию Фишера. Для каждой модели

s2

ˆ = 2

оценивается дисперсионное отношение F , где

s12

s12 = n1−1∑∑l ni (yxij − yi )2 , i=1 j=1

p – число параметров зависимости ϕ(x) . Заметим, что при s2 < s1 берется

s2

ˆ = 1

отношение F .

s22

адекватна. В противном случае модель неадекватна. Неадекватные модели исключаются из рассмотрения.

9. Определяется статическая характеристика объекта.

Из числа адекватных моделей, с учетом сказанного в п. 6, выбирается зависимость, которая в последующем будет использоваться в качестве статической характеристики объекта.

При окончательном выборе зависимости следует учитывать значение остаточной дисперсии:

43

Выбранная зависимость представляется графически вместе с эмпирической линией регрессии.

10. Проверяется значимость параметров, определяются доверительные границы для линии регрессии.

Данные расчеты аналогичны расчетам при линейном регрессионном анализе.

Порядок выполнения работы

1. Составить план эксперимента по снятию статической характеристики объекта. План должен содержать значения входной переменной х, прикоторыхбудутпроизводитьсязамерыуичислазамеровуприкаждом х.

2.Произвести определение значения входной и выходной переменных. Для этого на компьютере использовать оболочку лабораторной работы № 5 и руководство к пользованию.

3.Произвести обработку результатов измерения в соответствии с приведенным порядком расчета статической характеристики. Если расчет производится вручную, то промежуточные вычисления следует выполнять

ввиде заполнения таблиц, по типу приведенных в лабораторной работе 4.

Содержание отчета

1.Наименование, цель и задание на работу.

2.Основные формулы нелинейного регрессионного анализа.

3.Результаты эксперимента, оформленные в виде таблиц.

4.Результаты предварительной обработки статистических данных. Выводыовыполненииисходных предпосылокрегрессионногоанализа.

5.Корреляционная таблица, корреляционное поле, эмпирическая линия регрессии и статическая характеристика объекта.

6.Результаты промежуточных вычислений, оформленные в виде таблиц и содержащие оценки параметров зависимостей, оценки математических ожиданий, дисперсий, корреляционных отношений, коэффици-

44

ентов корреляции, табличные и расчетные значения критических статистик при проверке гипотез.

7.Аналитическое выражение статической характеристики.

8.Выводыпообоснованиюполученнойстатическойхарактеристики.

Контрольные вопросы

1.Какие соображения лежат в основе выбора зависимостей для получения статической характеристики нелинейного объекта методом регрессионного анализа?

2.Что требуется учитывать при выборе статической характеристики из нескольких адекватных моделей?

3.Для чего требуется выполнение условия линейности по параметрам при расчете статической характеристики методом регрессионного анализа?

Список литературы

1. Айвазян, С. А. Статистическое исследование зависимостей / С. А. Айвазян. – М. : «Металлургия», 1968.

2. Нелинейная корреляция и регрессия / С. Н. Воловельский, А. И. Жилин, С. А. Кулиш, В. Б. Сивый. – Киев : «Техника», 1971.

Лабораторная работа 6

СТАТИСТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

Цель работы: приобретение практических навыков по применению методов статистического планирования экспериментов для обработки экспериментальных данных, идентификации объектов и определения оптимума.

Основные положения

В основе методов статистического планирования экспериментов лежит использование упорядоченного плана расположения точек в факторном пространстве и переход к новой системе координат. Использование статистических планов дает возможность исследователю значительно повысить эффективность эксперимента.

Полный факторный эксперимент

Полный факторный эксперимент (ПФЭ) может быть предложен как один из способов построения математической модели (идентификации) недетерминированного объекта. Этот способ оказывается наиболее предпочтительным в тех случаях, когда отсутствует априорная информация

45

для обоснования структуры модели с позиций физико-химических представлений процессов, происходящих в объекте, отсутствует количественная оценка степени влияния изучаемых факторов на выходную переменную объекта, его выходной показатель.

Математическая модель объекта в этих условиях может быть получена в виде уравнения связи выходной зависимой переменной η и входных независимых переменных (факторов) z1, z2, …, zj, …, zk. В пространстве k факторов уравнение связи является описанием некоторой поверхности отклика и может быть задано функцией отклика η= f (z1, z2 , ..., zk ).

Все возможные значения функции отклика рассматриваются внутри области определения факторов, ограниченной z jmin , z jmax ( j =1, 2, ..., k ).

Эта область определяет все возможные состояния при функционировании объекта.

Если есть основания считать функцию отклика гладкой и непрерывной, то в качестве модели могут быть приняты различные отрезки ряда Тейлора, получаемого при разложении функции отклика в окрестности

выбранной базовой точки z0 . Так, например, для функции отклика двух факторов может быть принят следующий отрезок ряда:

где ε – случайная величина (ошибка измерения) с известной дисперсией и нулевым математическим ожиданием.

В рамках выбранной структуры модели в виде алгебраических полиномов производится выбор плана ПФЭ, который задает область экспериментирования и размещения опытов в этой области.

План эксперимента может быть образован путем варьирования каждого из факторов на нескольких уровнях относительно базовой точки, представляющей центр эксперимента. Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом.

Выбор области экспериментирования связан с детальным анализом априорной информации, на основании которого принимаются решения относительноосновногоуровня(центраэксперимента), интерваловварьирования.

Интервалом варьирования факторов называется некоторое число j (свое для каждого фактора), прибавление которого к основному уровню дает верхний и вычитание – нижний уровни фактора.

Для упрощения записи условий каждого опыта и обработки выборочных данных эксперимента масштабы по осям факторов выбираются так, чтобыверхнийуровеньсоответствовал+1, нижний–1, аосновной– нулю.

Обозначим через z1 j , z2 j нижнюю и верхнюю границы изменения

факторов. Тогда для двухфакторной задачи область факторного пространства, подлежащая изучению, будет иметь вид прямоугольника (рис. 6.1, а) с координатами угловых точек: 1) (z21, z12), 2) (z11, z12), 3) (z21, z22), 4) (z11, z12).

46

Рис. 6.1. Области факторного пространства

а – в натуральной, б – в кодированной системах координат

Координату центра изучаемой области обозначим через z0j, а координаты любой точки – через zij. Закодируем значения переменных по формуле:

где xij – кодированное значение фактора. Это действие соответствует переходу к новой безразмерной системе координат с началом в центре исследуемой области. Подставив в формулу (2) zij координаты .точек

1:2:3:4, получим координаты этих точек в новой системе (рис. 6.1, б). Координаты точек 1:2:3:4 записывают в виде таблицы, называемой

матрицей планирования эксперимента. Матрица планирования вместе с результатами экспериментов имеет вид, представленный в табл. 1.

Таблица 1

Построенный таким способом план экспериментов обладает рядом весьма ценных свойств:

а) содержит все комбинации двух значений переменной (+ 1) и (–1);

i=1

где m – число точек плана;

47

Свойство (5) носит название «ортогональности». Отсюда такие планы называют ортогональными. Их называют также планами полного факторного эксперимента первого порядка. Второе название вытекает из первого свойства (а).

Свойство ортогональности дает возможность избавиться от недостатков классического регрессионного анализа и значительно снизить вычислительные трудности, возникающие при расчете коэффициентов регрессии. Кроме того, переход к безразмерным переменным по формуле (2) делает все факторы равноправными внутри изучаемой области, т.е. дает возможность на основании величин и знаков коэффициентов судить об их роли в процессе.

До сих пор мы рассматривали случай двух факторов. Однако, все свойства двухфакторных планов могут быть перенесены на многофакторную задачу.

Из правила построения плана полного факторного эксперимента следует, что при последовательном увеличении числа переменных на единицу количество точек удваивается, т.е. число точек, содержащихся в k- факторном плане, составляет

Учитывая то обстоятельство, что многофакторные планы обладают свойствами ортогональных планов первого порядка, запишем формулы для вычисления коэффициентов регрессии по плану, приведенному в табл. 2.

Таблица 2

Все коэффициенты оказываются независимыми, так как в формулы

(7) для расчета коэффициентов входят только «свои» переменные. Поэтому каждый коэффициент характеризует роль соответствующей переменной в процессе. Факторы, имеющие коэффициенты, незначимо отличающиеся от нуля, могут быть выведены из состава уравнения: их влияние на параметр оптимизации будет отнесено к ошибке эксперимента. При этом отпадает необходимость рассчитывать заново коэффициенты регрессии.

Рассмотрим в матричной форме регрессионный анализ при использовании ортогонального плана первого порядка. Перепишем еще раз об-

48

щий вид зависимости для вычисления коэффициентов, представленный формулой:

Из (11) вытекает, что общий вид формулы для вычисления коэффициентов регрессии по ортогональным планам имеет вид:

49

Поскольку все ненулевые члены ковариационной матрицы равны

1

Σxi2 и расположены на главной диагонали, то дисперсии коэффициентов также равны и могут быть вычислены по следующей формуле:

i=1

Рассмотрим еще одно очень важное свойство ортогональных планов первого порядка. С этой целью найдем зависимость для расчета дисперсий, вычисленных (предсказанных) по уравнению регрессии значений выходного параметра. В соответствии с правилом сложения дисперсий имеем:

i=1

Поскольку дисперсии коэффициентов равны, их можно вынести за знак суммы:

Учитывая, что Σx2j =ρ2 (ρ – радиус сферы), получим окончательно:

Из формулы (17) следует, что дисперсия предсказанного значения выходного параметра зависит только от радиуса сферы.

Планы, для которых имеет место свойство (17), называют ротатабельными.

Наличие ротатабельности устраняет второй недостаток классического регрессионного анализа – неравномерность распределения дисперсии в изученной области факторного пространства. Дисперсии предсказанных значений выходного параметра оказываются одинаковыми для всех точек, расположенных на сфере с радиусом ρ.

При варьировании факторами на двух уровнях можно получить полином первого и неполного высшего порядка.

В зависимости от числа факторов в полином неполного высшего порядка кроме линейных членов входят выражения, характеризующие эффекты взаимодействия. Например, при трех факторах может быть три двойных и один тройной эффект:

b12 x1 x2; b13 x1 x3; b23 x2 x3; b123 x1 x2 x3.

Возможность получать уравнения, содержащие нелинейные члены при варьировании переменными на двух уровнях, может показаться неестественной, так как через две точки можно провести только прямую. Од-

50