Статистическое моделирование систем. Лабораторный практикум. Учебное пособие

нако, при переходе в многомерное пространство (число факторов больше единицы) при постановке полного факторного эксперимента появляется избыток числа степеней свободы.

Избыток числа степеней свободы растет быстрее, чем число факторов, поэтому уже в случае трех факторов появляется возможность рассчитать двойныеэффектывзаимодействияипроверитьадекватностьуравнения.

Рассмотрим ситуации, могущие возникнуть при варьировании пере-

При наличии этих сведений мы вправе ставить полный факторный эксперимент для изучения рассматриваемой системы (табл. 1).

После постановки экспериментов на основании данных точек 1, 2 и 3, 4 получим линейные зависимости для двух фиксированных значений фактора x2. Уравнения, описывающие эти зависимости, имеют вид:

y =b01 +b11x1, x2 = +1; (20) y =b02 +b12 x1, x2 = −1.

Рассмотрим следующие ситуации:

1)b01 = b02 и b11 = b12 – при этом обе линии сливаются в одну, следовательно, фактор x2 не влияет на процесс:

2)b01 = b0 + b2 x2 иb11 = b12 = b1 – подставивв(20) значенияb01, получим:

На координатной плоскости у – х1 будем иметь параллельные прямые, в трехмерном пространстве – плоскость.

3)b01 = b0 + b2 x2 и b11 = b1 + b12 x2 – после подстановки значений b01

иb11 в (20) имеем:

Поверхность, описываемая уравнением такого типа, называется гиперболическим параболоидом. Линии на этой поверхности представляют собой пересекающиеся прямые. Если выбрать в факторном пространстве четыре точки и через них провести поверхность второго порядка, то это будет гиперболический параболоид, если выбранные точки лежат на двух пересекающихся прямых. Значит, при k = 2 полный факторный эксперимент дает возможность получить уравнение нелинейной поверхности, которая будет точно проходить через опытные точки.

Эффекты взаимодействия характеризуют взаимосвязь факторов в процессе, т.е. влияние i-го фактора на связь j-го фактора с выходным параметром. Часто эффекту взаимодействия удается приписать самостоятельный смысл. Например, эффект взаимодействия концентрации вещества в растворе и количество раствора характеризует общее количество вещества в реакционной массе и т.д. Иногда на базе теоретических представлений о химизме процесса удается заранее, еще до постановки экспериментов, предсказать

51

наличие эффектов взаимодействия. Например, при добавлении комплексообразователя в реакционную массу может возникнуть эффект взаимодействия между переменной, характеризующей его концентрацию, и другими факторами. Аналогичное влияние возможно при каталитических процессах и т.д. Эффекты взаимодействия играют очень большую роль в биологических процессах, а также в медицине в тех случаях, когда добавление одних веществ стимулируетвлияниедругихнаобъектисследования.

Вычисление коэффициентов, характеризующих роль эффектов взаимодействия, не вызывает трудностей, так как соответствующие колонки в матрице планирования ортогональны колонкам остальных факторов.

Дробные реплики

Очень часто исследователю заранее известно, что процесс описывается линейным уравнением (предполагается, что эффект взаимодействия отсутствует) или его интересуют только линейные члены.

При увеличении количества факторов число степеней свободы резко возрастает и полный факторный эксперимент требуют постановки большого числа опытов.

Возникает вопрос: как сократить число опытов, чтобы сохранить все или хотя бы большую часть выгод, получаемых от ортогонального планирования? Иначе говоря, как построить ортогональный план, содержащий меньшее число опытов, чем полный факторный эксперимент?

Попробуем построить такой план для случая k = 4. План полного факторного эксперимента состоит из 16 точек. Для получения линейной зависимости требуется, как минимум, 6 точек. Посмотрим, существует ли ортогональный план, для которого число точек 6 ≤ m ≤ 16. Такой план существует – это план для случая k = 3, представленный в табл. 3.

В связи с тем. что эффекты взаимодействия принимаются равными нулю, можно воспользоваться любой из колонок, характеризующих эффекты взаимодействия для четвертой переменной, например, колонкой x1

x2 x3 (или – x1 x2 x3). Приняв для фактора х4. колонку x1 x2 x3, получим план, приведенный в табл. 4.

3. Полный факторный эксперимент для 3 факторов

52

4. Полуреплики от полного 4-факторного эксперимента

Этот план содержит половину опытов полного факторного эксперимента и носит название полуреплики. Используют также 1/4 реплики, 1/8 реплики и т.д.

Символически дробные реплики записывают следующим образом:

где k – общее число факторов, (k – l) – число факторов в плане полного факторного эксперимента, к которому приравнивается дробная реплика.

Перед постановкой экспериментов по дробным репликам необходимо решить, каким эффектом взаимодействия можно пренебречь и к какому это приведет риску.

Поставив x4 в рассмотренном примере на место тройного эффекта взаимодействия, получим:

Соотношение (25) называют генерирующим соотношением, так как оно генерирует, или создает дробную реплику. Умножив обе части генерирующего соотношения на x4, получим в левой части единичный столбец, который обозначим через

Это произведение называют определяющим контрастом. Определяющий контраст дает возможность установить разрешаю-

щую способность дробной реплики, иначе говоря, найти, какие из коэффициентов являются несмешанными оценками роли факторов в процессе.

Произведем последовательное умножение определяющего контраста на xj (j = 1; 2; 3; 4), имея в виду, что колонка x2j содержит только + 1:

Эти соотношения указывают на равенство колонок в матрице планирования, например, колонки для x1 и x2 x3 x4 одинаковы. Поэтому коэффициент b1, будет оценивать сумму β1 +β234 и записывается следующим об-

разом:

53

где βj – математические ожидания соответствующих коэффициентов. Поскольку тройные взаимодействия были приняты равными нулю,

то можно считать, что линейные коэффициенты являются несмешанными оценками. Умножив соотношение (26) на xi xj получим:

Из соотношений (29) следует, что коэффициенты при двойных взаимодействиях являются смешанными оценками. Это значит, что, например, коэффициент b12 может входить в уравнение регрессии совместно с эффектом x1 x2 или с эффектом x3 x4. Оба эффекта взаимодействия имеют равное влияние на параметр выхода в изученной области факторного пространства. В этом случае выбор того или иного эффекта зависит от соображений физико-химического или технологического характера. Если исследователя интересуют оценки только двойных эффектов взаимодействия, то для x4 выбирают колонку двойного эффекта взаимодействия, например, x4 = x1 x2, откуда определяющий контраст равен: 1 = x1 x2 x4.

Как видно из зависимости (30) половина коэффициентов, характеризующих двойные эффекты взаимодействия, оказывается смешанной с тройными эффектами, которые по условию были приняты равными нулю. Таким способомможноподобратьтукомбинацию, котораяинтересуетэкспериментатора.

При разработке технологических процессов дробные реплики очень широко используются на стадии крутого восхождения, а также при математическом описании локальной области факторного пространства с узким интервалом изменения переменных.

Ортогональные планы часто представляют в сокращенной форме.

Обозначим переменные буквами латинского алфавита: x1 x2 x3 x4 ...

a b c d ...

При значении (+1) будем ставить в плане букву, а при (–1) – пропускать. Тогда план для трех факторов будет выглядеть так, как показано в табл. 5. Если теперь обозначить строку, содержащую все факторы на нижнем уровне, через (1) и выписать только буквы, то получится сокращенная запись: (1), b, a, ab, с, bc, ас, abc.

54

Порядок составления плана и обработка результатов

Перед проведением опытов необходимо на основании априорной информации о процессе, возможностей аппаратуры и целей, преследуемых постановкой данного эксперимента, установить граничные значения

каждого фактора: z1j и z2j.

Средняя точка между граничными значениями z0j является центром плана. Ее часто называют основным уровнем. Интервал варьирования обозначают через j. Основной уровень и интервал варьирования рассчитывают по следующим формулам:

j

которую обычно применяют для кодирования факторов и проведения расчетов по уравнениям регрессии.

Все сведения, необходимые для постановки экспериментов по статистическому плану, заносят в специальную таблицу (табл. 6).

После заполнения табл. 6 составляют план экспериментов (табл. 7), в который вносят также результаты опытов. На практике обычно оказывается достаточной постановка трех параллельных опытов, так как для проверки адекватности уравнения регрессии используют среднюю дисперсию воспроизводимости. Статистическую обработку результатов эксперимента начинают с расчета дисперсии воспроизводимости по данным параллельных опытов. С этой целью вычисляются дисперсии воспроизводимости в точках плана по формуле:

где ν – число параллельных опытов.

55

6. Натуральные значения факторов

с числом степеней свободы, равным

fe = m (n – 1). (36)

После вычисления средней дисперсии воспроизводимости составляют таблицу для расчета коэффициентов регрессии (табл. 8). В нее кроме

8. Итоговая таблица эксперимента

56

колонок линейных эффектов включают колонки эффектов взаимодействия. В последнюю колонку вносят средние значения параметра y .

Вычисление коэффициентов регрессии и их дисперсии осуществляют по формулам (13) и (14). Затем проверяют значимость коэффициентов регрессии по t-критерию:

Величину tкр находят по таблицам из приложения в соответствии с выбранным уровнем значимости и числом степеней свободы для средней дисперсии воспроизводимости.

Коэффициенты, для которых выполняется зависимость (37) считаются незначимыми и вместе с соответствующими факторами могут быть выведены из состава уравнения. При этом следует помнить, что неравенство (37) характеризует роль факторов только внутри изученной области факторногопространства. Напрактикечастопользуютсядругимнеравенством:

где

δ = s(b)tкр.

Проверку адекватности уравнения осуществляют аналогично тому, как это делают в случае классического регрессионного анализа.

Модель адекватна если однородны дисперсия воспроизводимости se2

f = m – q, а q – число коэффициентов уравнения регрессии, т.е. модель

s2

адекватна, если F = ост ≤ Fкр . se2

На практике часто оказывается, что линейное уравнение регрессии, адекватно описывающее опытные данные, поставленные в точках плана, неудовлетворительно характеризует внутреннюю часть изученной области факторного пространства. Поэтому имеет смысл поставить опыты в центре плана. Значение параметра y в центре плана должно быть соизме-

римо (в пределах ошибки воспроизводимости) со свободным членом уравнения регрессии, т.е.

В случае нарушения неравенства (39) для математического описания рассматриваемой области факторного пространства потребуется уравнение более высокого порядка.

57

При использовании статистических планов получения математических моделей процессов следует помнить, что и в этом случае выполнение требований регрессионного анализа к постановке экспериментов является обязательным. Кроме того, необходимо иметь в виду, что уравнение регрессии, полученное по статистическому плану, не инвариантно к изменению интервала варьирования. Поэтому при проведении систематических исследований для получения математических моделей однотипных процессов целесообразно (с точки зрения обобщения полученных результатов) выбирать единые интервалы варьирования и проводить все исследования по одному плану. Иногда при постановке экспериментов с использованием статистического планирования технолог сталкивается с тем, что некоторые из интересующих его факторов спонтанно меняются при переходе от одной точки плана к другой, фиксировать их на заранее заданных уровнях невозможно. В подобных ситуациях можно получать смешанные «активно-пассивные» уравнения регрессии или строить зависимости изменения коэффициентов от изменения неконтролируемых факторов.

Организация эксперимента для поиска оптимальных условий

Метод крутого восхождения

Полный и дробный факторные эксперименты представляют возможность исследователю подбирать полиноминальные модели для описания локальных областей поверхности отклика, отражающей функциональную структуру объекта. Изменяя координаты базовой точки (основного уровня факторов), можно изучать весь рельеф поверхности отклика в области определения входных переменных объекта. Цели такого изучения могут быть различными. Так, например, может быть поставлена цель определения состояний объекта при различных значениях входных переменных (например, параметров настройки динамической системы или процесса). Однако, в подавляющем большинстве цель исследования в той или иной мере связывается с оптимизацией, т.е. поиском таких значений входных переменных, при которых достигается экстремальное значение выходной переменной, показателя оптимизации.

Рассматривая задачу оптимизации с позиции экспериментального изучения поверхности отклика, можно говорить об организации некоторой целенаправленной стратегии эксперимента, позволяющей выйти по поверхности отклика в область экстремума, например, ymax(X).

Весь класс подобных задач характерен тем, что экспериментатора интересует уже не модель изучаемого объекта, а сама процедура поиска области пространства входных переменных, где достигается наилучший выход с объекта.

Далеко не всегда можно построить математическую модель для стратегии поиска. Во многих случаях приходится просто ограничиваться описанием логических действий в эксперименте, чтобы лучше вести поиск.

58

Так обстоит дело с шаговой процедурой метода крутого восхождения, предложенного Боксом и Уилсоном в 1951 году.

Логика организации эксперимента с использованием этого метода заключается в следующем. Сначала выбирается некая область в пространстве независимых переменных, где ставится эксперимент, по результатам которого делается линейное приближение этой локальной окрестности поверхности отклика. Далее осуществляется движение по поверхности отклика в направлении градиента линейного приближения. Если необходимо, делается еще одно линейное приближение, и так продолжается до тех пор, пока исследователь не попадает в область, где линейное приближение поверхности отклика оказывается непригодным. В этой области независимых переменных ставится эксперимент для описания локальной области, близкой к экстремуму, как правило, оценивается квадратичная модель поверхности отклика в виде полинома второго порядка.

Рассмотрим подробнее вычислительный аспект шаговой процедуры крутого восхождения. Известно, что наиболее короткий путь к экстремуму – в направлении градиента функции отклика у = η (x1, x2, …, xk). Градиент непрерывной гладкой функции η есть вектор:

фактору, I, J, ..., К – единичные векторы в направлении координатных осей факторного пространства.

Оценками частных производных функций отклика являются соответствующие коэффициенты bj полиномиальной модели. Следовательно, если изменить независимые переменные пропорционально величинам коэффициентов bj, то возможно движение в направлении градиента функции отклика по одному крутому пути (крутое восхождение). Шаговая процедура крутого восхождения практически выполняется в несколько циклов.

Последовательность проведения каждого цикла такова:

1. С центром в исходной точке X1(x11, x21, ..., x j1, ..., xk1 )проводится

полный факторный эксперимент 2k для определения составляющих вектора y(X1 ) в виде оценок коэффициентов линейной полиномиальной модели:

ходной точки x1 .

59

Прежде, чем использовать линейную модель для задания направления градиента, следует учесть тот факт, что движение по градиенту (в задаче максимизации у) будет эффективным, если значения коэффициентов bj, примерно одного порядка. Линейная модель должна быть симметричной относительно коэффициентов. Если полученные коэффициенты bj различаются на порядок, то выгоднее вновь поставить эксперимент, изменив интервалы варьирования, а не начинать движение по градиенту. Возможность такого пути симметрирования коэффициентов обоснована тем, что составляющие градиента не инвариантны к метрике пространства независимых переменных. Изменяя масштаб единичного интервала варьирования по одной из координатных осей, можно увеличить или уменьшить крутизну поверхности в направлении этой оси, иными словами, можно увеличить или уменьшить соответствующий коэффициент bj.

2. Траектория крутого восхождения представляется в натуральных значениях переменных. Координаты точек в направлении градиента рассчитываются по каждой входной переменной последовательным прибавлением к основным уровням xj1 величин, равных шагам движения λj. Выбор λj целесообразно сделать сначала для некоторой базовой переменной, создающей максимальное приращение в направлении градиента, т.е. max (bj xj) = bв xв, где xв – интервал варьирования для выбранной базовой переменной. Для базовой переменной при крутом восхождении выбирается шаг движения λв.

Размер и знак шагов движения λj для всех входных переменных могут быть вычислены по общей формуле:

где λв и xj подставляются всегда положительными, а bj берется со своим знаком (в том числе и для базовой переменной).

3. С выбранными размерами и знаками шагов рассчитываются координаты точек xh факторного пространства. Очевидно, что j-я координата

h-й точки траектории равна:

xjh = xj1 + hλ, j = 1, 2, …, k: h = 0, 1, 2, 3, …

Для некоторых точек xh , вычисляются предсказываемые значения yˆh(xh) по линейной модели (40). Вычисляя значения yˆh (xh ), следует пом-

нить, что в линейную модель можно подставлять только кодированные значения xjh Поэтому натуральные значения zij должны быть переведены в кодированные согласно преобразованию, примененному в ПФЭ:

4. Координаты точек на траектории реализуются на объекте для экспериментальнойпроверкиизмерений y(x) ввыбранномнаправленииградиента.

60