Статистическое моделирование систем. Лабораторный практикум. Учебное пособие

Рис. 2.6. Коэффициент асимметрии

Коэффициент асимметрии положителен, если более пологая часть функции плотности распределения расположена справа от математического ожидания, SK − отрицателен, если более пологая часть плотности распределения расположена слева от x (рис. 6, а, б).

7) коэффициент эксцесса эмпирического распределения определяется равенством

N(x,σ)

N(x,σ)

EK > 0

Рис. 2.7. Коэффициент эксцесса

Эта характеристика используется для оценки крутости функции плотности распределения по сравнению с функцией плотности нормального распределения N (x,σ) (рис 7, а, б).

Расчет доверительного интервала

Выше отмечалось, что для оценки x и s2 , как функции случайной величины, тоже случайные величины. Это значит, что для нескольких

21

x −δ x xo x +δ x

Рис. 2.8. Доверительный интервал

выборок из одной и той же генеральной совокупности мы получим различные оценки x i и si2 , поэтому для каждого случая оценивания возни-

интервальной оценки, характеризующейся двумя числами − концами интервала, между которыми с заданной доверительной вероятностью γ находится оцениваемая величина xo , либо σ2 (рис. 2.8).

Доверительным называют интервал (x −δ; x +δ ), который покры-

вает оцениваемую величину с заданной доверительной вероятностью γ. Естественно, что увеличивая надежность оценки, мы расширяем доверительный интервал и наоборот.

Доверительный интервал для x .

При практическом определении доверительных интервалов для x принормальномраспределениислучайнойвеличинывозможныдваслучая:

а) генеральная дисперсия σ2 случайной величины известна.

В этом случае доверительный интервал (x −δ; x +δ ) определяется по формуле

где Т* − значение аргумента функции Лапласа, при котором Φ(T * ) = 2γ

(находятся из таблиц); γ − доверительная вероятность; n − количество опытов (объем выборки); σ2 − генеральная дисперсия.

б) генеральная дисперсия неизвестна.

Доверительный интервал для x при неизвестной σ2 определяется следующим образом:

где tγ,f – значение распределения Стьюдента для доверительной вероятности γ и числа степеней свободы f (находятся из таблицы); s2 – оценка генеральной дисперсии; n – объем выборки.

22

Доверительный интервал для s.

При нормальном распределении случайной величины X по выборке объемом n можно определить доверительный интервал с вероятностью γ покрывающий σ, а именно [3]

s(1− qn,γ )< σ < s(1+ qn,γ ),

s – оценка среднеквадратичного отклонения; qn,γ – множитель, определяемый по известным γ и n из таблиц [3] (см. приложение).

Порядок выполнения работы

1.Провести экспериментальные исследования. Для этого на компьютере использовать оболочку лабораторной работы и руководство к пользованию.

2.Снять показания о результатах 50 испытаний.

3.Приступить к обработке результатов эксперимента, используя основные положения к данной работе.

Содержание отчета

Отчет о работе должен содержать:

1.Наименование, цель и задание на работу.

2.Результаты испытаний.

3.Выполненные на миллиметровой бумаге и аккуратно подклеенные графики эмпирической функции распределения, полигона и гистограммы накопленных частот.

4.Используемые расчетные формулы и результаты расчета x , s, Mo,

Me, kν, Sk, Ek, δx , δs.

Контрольные вопросы

1. Почему ордината гистограммы определяется как ni ? nli

2. Является ли доверительный интервал случайной величиной?

Список литературы

1.Смирнов, Н. В. Краткий курс математической статистики для технически приложений / Н. В. Смирнов, Н. В. Дунин-Барковский. – М. : Физматгиз, 1959.

2.Венцель, Е. С. Теория вероятностей / Е. С. Венцель. – М. : Наука,

1969.

3.Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика / В. Е. Гмурман. – М. : Высшая школа, 1972.

23

Лабораторная работа 3

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ПРОВЕРКИ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ ОБЪЕКТОВ

Цель: знакомство и освоение методов проверки статистических гипотез, приобретение практических навыков обработки экспериментальных данных при исследовании стохастических объектов автоматизации с применением методов проверки статистических гипотез.

Задание:

1.Проверить однородность выборки.

2.Проверить существенность различия средних двух выборок.

3.Проверить существенность различия дисперсий двух выборок.

Основные положения

В большинстве случаев при экспериментальном исследовании объектов автоматизации между выходными и входными координатами имеет место вероятная или стохастическая зависимость. Определение характеристик таких объектов связано с решением ряда статических задач, например, проверка однородности выборки, проверка значимости коэффициентов модели объекта, проверка адекватности модели объекта, проверка существенности связи между входными и выходными координатами

ит.д. Наиболее развитым и широко распространённым математическим аппаратом решения подобных вопросов являются методы проверки стати-

стических гипотез.

Статистические гипотезы1 представляют собой некоторые предположения, подлежащие проверке, относительно изучаемого объекта по данным, подтвержденным случайным изменениям. Различают нулевые H0

иальтернативные H1 гипотезы.

Кнулевым гипотезам относятся предложения о равенстве нулю статистических показателей или отсутствие различия между сравниваемыми параметрами. Например, нулевыми являются следующие гипотезы: выборка однородна, исследуемые моменты распределения случайных величин равны между собой, коэффициент регрессии равен нулю и т.д.

Альтернативными гипотезами называются все остальные гипотезы,

отличающиеся от нулевой. Например, нулевой гипотезе (H0) о равенстве нулю коэффициента регрессии (b = 0) можно сопоставить две альтернативные гипотезы:

H1′ : b > 0 и H1′′: b < 0.

1 Гипотеза – это высказываемое предположение, которое в последующем надо проверить.

24

Процедура обоснованного сопоставления гипотезы H0 имеющимся выборочным данным осуществляется с помощью какого-либо статистического критерия и называется статистической проверкой гипотез. Для осуществления проверки вводится некоторая случайная величина λ, связанная с проверяемым параметром и закон распределения которой, при условии правильности H0, известен (плотность вероятности ϕ(λ/ H0)). Величина λ называется критической статистикой, а статистические критерии носят названия законов распределения λ. Например, проверка значимости коэффициента регрессии, т.е. H0: – (b = 0) осуществляется с помощью λ, подчиняющейся t – распределению Стьюдента, а соответствующий критерий носит название t-критерия.

На рисунке 3.1 показаны возможные расположения плотностей рас-

пределения ϕ(λ/ H0) и ϕ(λ/ H1).

Для формализации процедуры проверки H0 все пространство значений делят на две области: допустимую Λ, внутри которой наиболее вероятны значения λ при условии правильности гипотезы H0, и критическую – Λкр, внутри которой появление значений λ при условии правильности гипотезы H0 маловероятно. Эти две области разделяются граничными зна-

чениями λгр или λНгр , λВгр (рис. 3.1).

Λ′кр Λ Λ"кр

Рис. 3.1. Плотность распределения критической статистики λ:

а, б – одна альтернативная гипотеза, λгр – граничное значение между допустимой областью Λ и критической Λкр; в – две альтернативные гипотезы, λнгр, λвгр – нижнее и верхнее граничные значения соответственно

25

По результатам экспериментальных данных рассчитывается оценка

критической статистики λˆ . Если λˆ Λ, то принимается гипотеза Н0, и исследуемый показатель считается незначимым, например, коэффициент регрессии. В противном случае, т.е. когда λ Λкр, гипотеза Н0 отвергается, а изучаемый показатель считается значимым или существенно отличающимся от нуля.

При такой проверке возможны два рода ошибок. Ошибка первого

рода возникает, когда при λˆ Λ будет отброшена нулевая гипотеза Н0, которая в действительности справедлива. Максимальное значение вероятности ошибки первого рода α равно площади под кривой ϕ(λ/ Н0 ) в кри-

тической области Λкр (рис. 3.1). Величина 100α % называется уровнем значимости.

Ошибка второго рода появляется, когда при ^λ Λ принимается гипотеза Н0, которая не соответствует действительности, т.е. ошибочно отвергается гипотеза Н1. Наибольшая вероятность ошибки второго рода β равна площади под кривой ϕ(λ/ H ) (или под двумя кривыми ϕ(λ/ Н1′),

ϕ(λ/ Н1′′)) в допустимой области Λ (рис. 3.1). Величина (1 − β) называется

мощностью статистического критерия.

Определение граничного значения λгр, а, следовательно, и областей Λ, Λгр, связано с выбором значений α и β. Рекомендуется принимать одно из следующих стандартных значений: 0,2; 0,15; 0,1; 0,05; 0,025; 0,01; 0,005; 0,001. В инженерных расчетах обычно берут α = 0,05.

Граничные значения λгр находятся для выбранного уровня значимости 100α % и объема выборки (число экспериментальных данных) n по таблицам q-квантилей или 100α-процентных точек соответствующих распределений λ.

Для случайной величины λ q-квантилем является такое значение λq

(рис. 3.2), что

λq

Вер{λ < λq }= ∫ϕ(λ)dλ = q ,

−∞

где Вер { } − вероятность события { }.

Значение λQ (рис. 3.2) случайной величины λ называется 100Q-

процентной точкой, если

∞

Вер{λ ≥ λQ }= ∫ϕ(λ)dλ = Q .

λQ

Заметим, что

λq = λ1−q , λQ =λ1−Q .

26

Контрольные вопросы

1.Как задается допустимая область при односторонних и двусторонних критериях?

2.Как выбирать α?

3.Что такое квантиль?

Порядок выполнения работы

1. Провести экспериментальные исследования. Для этого на компьютере использовать оболочку лабораторной работы и руководство к поль-

зованию. Произвести замеры параметров x и y (количество замеров nx и ny указываются преподавателем), занося результаты измерений в табл. 1.

Таблица 1

1

…

10

2. Произвести статистическую обработку данных: а) проверить однородность выборок;

б) проверить существенность различия средних в выборках; в) проверить существенность различия дисперсий выборок.

Содержание отчета

1.Наименование, цель и задание на работу.

2.Схема объекта исследований.

3.Описание последовательности проверки статистических гипотез.

4.Результаты измерений, занесенные в табл. 1, и вычисления по следующей форме:

а) Результаты проверки на однородность

Н0:

Критическая статистика: α, n:

λср:

λˆ :

Вывод:

28

б) Сравнение средних:

Н0:

Критическая статистика: α, ν:

λср:

λˆ :

Вывод:

в) Сравнение дисперсий

Н0:

Критическая статистика: α, ν:

λср:

λˆ :

Вывод:

Список литературы

1.Пустыльник, Е. И. Статистические методы в обработке наблюдений / Е. И. Пустыльник. − М. : Наука, 1968.

2.Шторм, Р. Теория вероятностей. Математическая статистика.

Статистический контроль качества / Р. Шторм. − М. : Мир, 1970.

Лабораторная работа 4

ПОЛУЧЕНИЕ СТАТИЧЕСКОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНОГО ОДНОМЕРНОГО ОБЪЕКТА

Цель: знакомство и освоение методов регрессионного анализа, приобретение практических навыков экспериментального определения статической характеристики одномерного объекта при наличии помех.

Задание:

1.Проверить выполнение предпосылок регрессионного анализа.

2.Вычислить оценки коэффициентов уравнения регрессии.

3.Проверить значимость коэффициентов регрессии, адекватность модели.

4.Построить доверительную область для положения линии регрессии.

29

Основные положения

Статическая характеристика объекта, схематично изображенного на рис. 4.1, представляет собой зависимость выходной координаты y от входных x в установившемся режиме.

δ– возмущение

Вданной лабораторной работе рассматриваются статические характеристики одномерного объекта, которые могут быть выражены конечными уравнениями

либо

y =ϕ2 (x2 ) и т.д.,

т.е. выходная координата является функцией одной из входных координат.

Однако, в результате воздействия на выходную координату возмущения δ, связь между y и x является статистической, т.е. изменение х влечет за собой изменение распределения y.

В связи с этим опытные значения образуют корреляционное поле (рис. 4.2) и их обработку для получения искомой статической характеристики проводят методом регрессионного анализа.

Под обработкой результатов методом регрессионного анализа обычно понимают решение следующих вопросов:

1.Выбор формы функций ϕ.

2.Определение неизвестных параметров этой функции.

3.Оценка точности найденных параметров.

4.Проверка адекватности полученной математической модели статики объекта.

На практике нередко ограничиваются линейной зависимостью y от x,

т.е. оценкой yˆ =b0 +b1x истинной модели y =β0 +β1x .

Перед ознакомлением с основными расчетными соотношениями регрессионного анализа определим условные обозначения (рис. 4.3).

30