Возникновение ситуации (например, в точке xh+2 ), при которой дальнейшему увеличению предсказываемого, значения yˆ(xh+2 ) соответствует уменьшение значения выходной переменной y(xh+2 ) на объекте, будет указывать на прекращение движения в этом направлении градиента.

Координаты точки xh с наилучшим значением выходной переменной y(xh ) принимаются за новые нулевые входные переменные. Вновь про-

водится ПФЭ (ДФЭ) и определяется новое линейное приближение y =b0′ +b1′x1 +b2′x2 в направлении градиента и цикл крутого восхождения

повторяется.

В связи с тем, что каждый цикл крутого восхождения приближает значения y(x) к области экстремума с существенной крутизной поверх-

ности отклика, то для каждого последующего цикла λв выбирается равным или меньшим предыдущего.

При достижении области, близкой к экстремуму, линейное приближение становится непригодным и исследование на этом может быть закончено, если ставилась задача достижения области оптимума. Исследование может быть расширено с целью описания области, близкой к экстремуму. Решение такой задачи проводится с реализацией планов 2-го порядка.

Ортогональное композиционное планирование второго порядка

Построение статистических планов второго порядка – задача в математическом отношении значительно более сложная, чем в случае построения планов первого порядка. При построении планов второго порядка оказалось невозможным совмещение различных положительных свойств в одном плане. Например, не удается совместить ротатабельность с диагональностью информационной матрицы.

Осуществив процедуру крутого восхождения для достижения области функции отклика, близкой к экстремуму, исследователь может поставить задачу получения более точного описания этой области. Описание локальных областей поверхности отклика, имеющих существенную крутизну, может быть получено в виде полиномиальных моделей второго порядка:

Для оценивания коэффициентов вида βjj – независимая переменная в плане должна принимать, по крайней мере, три различных значения.

Применение полного факторного эксперимента типа 3k – для получения раздельных оценок коэффициентов полинома (42) не является рациональным, так как планирование на трех уровнях характеризуется резким уве-

61

личением объема эксперимента. Целесообразнее для этой цели использовать композиционный план, образованный путем добавления некоторого количества специальных точек к «ядру», состоящему из планов 2k или 2k–ι. Если к «ядру» добавить точку в центре плана с координатами (0, 0, ..., 0) и 2k такназываемых, «звездных» точекскоординатами(±α, 0, ..., 0), (0, ±α, ..., 0), ...

(0, 0, …, ±α), то получим центральный композиционный план.

Матрица планирования для задачи с тремя независимыми переменными приведена в табл. 9.

где mс – число точек полного факторного эксперимента или дробной реплики.

будет выполнено.

62

С учетом введенного преобразования модель второго порядка (42) примет следующий вид:

где

В общем случае матрица планирования будет содержать столбцы всех функций независимых переменных (табл. 10).

10. Центральный композиционный план

63

Нетрудно проверить, что благодаря введенному преобразованию в матрице планирования выполняется условие ортогональности для любых

двух столбцов, кроме столбцов при квадратичных функциях вида x2j − a .

Выполнение условия ортогональности для этих столбцов достигается выбором а – плеча звездных точек плана. Из условия ортогональности

∑N (xij2 −a)(xiu2 −a)=0,

При выборе планов можно пользоваться заранее вычисленными значениями α и a, которые приведены в табл. 11 для mc = 2k. Здесь k – число входных переменных; mc – количество точек в ядре плана; mα – количестве звездных точек; N – общее число точек плана для размещения опытов.

11. Вычисленные значения коэффициентов a и α

Реализация эксперимента по выбранной матрице планирования проводится с дублированием опытов в каждой точке плана аналогично ПФЭ 2k. Упростить запись формул вычисления оценок коэффициентов квадратичной модели можно путем перехода к линейной записи полинома (44).

n

y = ∑βquq , q = 0, 1, 2, …, n,

q=0

где n – общее число коэффициентов полинома второго порядка:

n = (k +2)(k +1); 2

u – обозначение функции в q-м столбце матрицы; βq – коэффициент при функции независимых переменных, указанной в q-м столбце матрицы.

По результатам эксперимента с m параллельными опытами вычисляются построчные средние значения yi и оценки дисперсий si2 . В случае однородности дисперсий в точках плана эксперимента по (35) оценивается дисперсия ошибки опыта se2 с числом степеней свободы N (m – 1).

Оценка коэффициентов для всех функций независимых переменных, входящих в полином 2-го порядка, производится по общей формуле:

64

N

∑uiq yi

i=1

так как матрица в общем случае не обладает свойством нормировки

N

∑uiq2 ≠ N, кроме столбца x0 = u0. Отсутствие этого свойства приводит к

i =1

тому, что оценки коэффициентов bq имеют различные дисперсии. Оценки дисперсий s2(~bq) вычисляются с числом степеней свободы νb = N (m −1).

Оценка b0 , вычисленная по формуле (47), имеет вид:

проверяется их значимость по критерию tкр.

Незначимые коэффициенты могут быть исключены из модели без пересчета остальных в силу их раздельного оценивания. Для модели со значимыми коэффициентами проводится проверка пригодности полученного полинома для описания локальной области, близкой к экстремуму или области с существенной кривизной поверхности отклика.

Адекватный полином второго порядка

может быть использован для предсказания точки экстремума в локальной области эксперимента. Для нахождения экстремальной точки приравнивают к нулю значения составляющих градиента по соответствующим координатам, получая при этом систему k-уравнений:

65

Решая систему линейных уравнений (48), получим координаты экстремальной точки в кодированных значениях (начало координат в центре эксперимента).

При оценивании точности предсказания точки экстремума следует помнить, что свойство ротатабельности не выполняется, т.е. имеет место неравномерность распределения дисперсии у в изученной области факторного пространства.

Порядок выполнения работы

1.Составить план эксперимента первого порядка по снятию статической характеристики объекта с заданным центром плана.

2.Произвести определение значений выходной переменной. Для этого на компьютере использовать оболочку лабораторной работы № 6 и руководство к пользованию.

3.Произвести обработку результатов измерения в соответствии с приведеннымпорядкомрасчетаиполучитьматематическуюмодельсистемы.

4.По математической модели рассчитать новый центр плана методом Бокса-Вильсона и произвести действия в соответствии с пп. 1 – 3.

5.В окрестности оптимума составить план эксперимента второго порядка, провести «компьютерные» эксперименты, рассчитать значения коэффициентов математической модели системы второго порядка.

6.По математической модели системы второго порядка рассчитать координаты экстремальной точки в кодированных значениях.

7.Пересчитать координаты экстремальной точки в исходный масштаб факторов и сообщить преподавателю результат для контроля правильности нахождения оптимума.

Содержание отчета

1.Наименование, цель и задание на работу.

2.Планы и результаты всех экспериментов.

3.Результаты обработки статистических данных.

4.Расчет координат экстремальной точки.

Контрольные вопросы

1.В каком случае следует использовать планы второго порядка?

2.В чём суть метода крутого восхождения?

3.Что такое свойство ротатабельности?

Список литературы

1.Мартемьянов, Ю. Ф. Статистические методы моделирования систем. 2-е изд. / Ю. Ф. Мартемьянов Тамбов : Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2003.

2.Плескунин, В. И. Теоретические основы организации и анализа выборочных данных в эксперименте / В. И. Плескунин, Е. Д. Воронина. – Изд-во ЛГУ, 1979.

66

ПРИЛОЖЕНИЯ

(статистические таблицы)

П1. Проверка статистических гипотез

67