Статистическое моделирование систем. Лабораторный практикум. Учебное пособие

Применяя метод наименьших квадратов, предполагают, что зависимость y от x имеет вид многочлена:

y= b0 + b1 x + b2 x2 + …+bm xm

снеизвестными коэффициентами bi (i = 0, 1, 2, …, m).

Коэффициенты bi определяют из условия минимума суммы квадра-

тов отклонений экспериментальных данных от значений, вычисленных по аналитическому выражению, т.е.

y = f(x) определяется величиной F (остаточная сумма квадратов) из выражения (8). Средством улучшения качества аппроксимации в методе наименьших квадратов является только увеличение порядка аппроксимирующего полинома m. Так, например, если значения функции y = b0 + b1x + b2x2

сильно отличаются от полученных экспериментальных данных, то следует повысить порядок многочлена, т.е. принять y = b0 + b1x + b2x2 + b3x3 .

Однако, здесь требуется не только определение коэффициента b3, но и пересчет значений b0, b1 и b2, так как система нормальных уравнений, по которой они определялись, изменилась.

Отмеченного недостатка лишен способ ортогональных многочленов П. Л. Чебышева, в котором добавление новых слагаемых не изменяет коэффициентов при предыдущих.

Особенность этого способа состоит в том, что приближающий многочлен ищется в виде линейной комбинации многочленов (9), к которым

11

Пусть даны n пар экспериментально полученных значений yiэ в точ-

ках xi. Коэффициенты bi определяются из условия минимума функции F, зависящей только от bi

тогда условия стационарности функции F выражаются, как

Для того, чтобы коэффициенты bj определялись независимо один от другого, нужно потребовать выполнения условия

i=1

Функции ϕi (xi ) , удовлетворяющие условию (10), называются орто-

гональными, а коэффициенты bj при использовании ортогональных функций определяются по формуле:

i=1

Как же выбрать функции, удовлетворяющие условию ортогонально-

сти (10)?

По условию, аппроксимирующий многочлен представляется в форме

m

y = ∑bk ϕk (x) .

k =0

Чебышев доказал, что систему ортогональных функций можно выбрать в виде многочленов следующего вида:

ϕ0(x) = 1, ϕ1(x) = x + C11.

12

В общем виде ϕk (x) есть многочлен степени k со старшим коэффициентом, равным единице:

ϕk(x) = xk + C1k xk−1 + C2k xk−2+…+Ckk.

Зная два предшествующих многочлена Чебышева, можно получить последующий многочлен по рекуррентной формуле:

ϕk +1 (x) = (x +βk +1 )ϕk (x) + γk +1ϕk −1 (x) ,

где

Здесь уместно ввести геометрическую интерпретацию процесса аппроксимации экспериментальных значений.

Набор взаимоортогональных функций ϕi2, изображаемых в m-мерном пространстве, является геометрическими ортами (рис. 1.7). Полученная экспериментальная зависимость также представляется вектором в этом пространстве. Улучшая качество аппроксимации, мы вводим новый орт, увеличивая размерность пространства, учитывая тем самым только дополнительную координату вектора экспериментальных данных.

ϕ1

y

b1

ϕ1

Рис. 1.7. Геометрическая интерпретация аппроксимации ортогональными функциями

13

Рис. 1.10. График изменения коэффициентов bi (x2)

14

Следующий этап заключается в определении функции значений коэффициентов bk в зависимости от x2.

Представим

bk = ∑bνk Ψνk (x2 ) ,

ν=0

и, найдя по указанным выше формулам bνk и Ψνk (x2 ) , получим аналитическое выражение функции двух переменных

Порядок выполнения работы

1. Составить план проведения экспериментальных исследований в виде таблиц следующей формы (табл. 1 – 4).

1. Сглаживание

2. Провести экспериментальные исследования. Для этого на компьютере использовать оболочку лабораторной работы и руководство к пользованию. Снять экспериментальные данные в соответствии с инструкцией по выполнению работы.

15

3. Произвести обработку результатов эксперимента в соответствии с рекомендациями, изложенными в «Основных положениях». При проведении расчетов вручную целесообразно пользоваться таблицами для промежуточных данных.

Содержание отчета

1.Основные формулы интерполяции и аппроксимации, а также результаты расчета.

2.Результаты эксперимента в виде оформленных таблиц.

3.Графики сглаженных экспериментальных данных.

4.Выражение интерполяционного многочлена.

5.Форма аппроксимирующих зависимостей, полученных по методу наименьших квадратов и ортогональными многочленами Чебышева.

6.Вывод о качестве аппроксимации различными методами (по остаточной сумме квадратов).

7.Аналитическое выражение формулы для функции двух переменных. Результаты проверки в двух точках.

Список литературы

1.Гутер, Р. С. «Элементы численного анализа и математической обработки результатов опыта» / Р. С. Гутер, Б. В. Овчинский. – М. : Наука, 1970.

2.Демидович, Б. П. Численные методы анализа / Б. П. Демидович,

И. А. Марон, Э. Э. Шувалова. − Гос. изд-во физ. мат. литературы, М., 1962.

3. Дудников, Е. Г. и др. Методы построения математических моделей /

Е. Г. Дудников и др. – М. : Химия, 1972.

Лабораторная работа 2

ИССЛЕДОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ДАТЧИКА ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Цель: освоение методов статистического исследования. Овладение практическими навыками построения графических характеристик и определения числовых характеристик случайной величины.

Задание:

1.Построить эмпирическую функцию распределения, гистограмму и полигон относительных частот случайной величины X.

2.Определить числовые характеристики распределения случайной

величины: x,s, Mo, Me, kν, Eк .

3. Найти доверительные интервалы для x и s.

16

Основные положения

Исходными понятиями математической статистики являются понятия

генеральной совокупности и случайной выборки из этой совокупности.

Множество всех значений, которое может принять случайная величина Х в процессе эксперимента, называется генеральной совокупностью, а испытание, в результате которого случайная величина Х принимает значение х, является случайным выбором одного из значений генеральной совокупности. Если производится n независимых выборок, то совокупность их результатов x1, x2, …, xn называется выборкой из данной генеральной совокупности, а число n называется объемом этой выборки.

Основной задачей математической статистики является получение обоснованных выводов о свойствах генеральной совокупности, используя данные конечного объема: x1, x2, …, xn.

Статистическое распределение выборки

Понятие распределения выборки вводится для удобства систематизации и описания полученных экспериментальных значений. Если в полученной выборке значение x, наблюдалось n1 раз, x2 – n2 раза и т. д., то объ-

ем выборки n =∑ni . Наблюдаемые значения xi называют вариантами,

i

числа наблюдений ni называют частотами, а их отношение к объему вы-

борки nni =Wi − относительными частотами.

Вариационный ряд – это есть последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке.

Статистическим распределением выборки называется соответствие между наблюдаемыми значениями случайной величины и их относительными частотами.

Если число членов выборки x1, x2, …, xn, значения которых меньше х обо-

График этой функции представляет собой кусочно-постоянную зависимость с разрывами в точках xi (рис. 2.1).

F n (x)

Рис. 2.1. Эмпирическая функция распределения

17

Необходимо отметить, что эмпирическую функцию распределения называют также кривой накопленных частот, так как в точке х ордината

Fn(x) равна частоте Wx = nnx значений выборки, меньших х.

Если допустить, что объем выборки можно увеличить до бесконечности, то кривая накопленных частот преобразуется в интегральную функцию распределения данной генеральной совокупности. В связи с этим, кривая накопленных частот Fn(x) является приближением теоретической интегральной функции распределения случайной величины.

Гораздо большее практическое распространение получило другое графическое представление выборки − приближение графика плотности распределения случайной величины х. Для этого предварительная выборка подвергается группировке, для чего интервал числовой оси, в который попадают значения выборки x1, x2,…, xn делят на 10 − 20 частей (разрядов) длиной li, а через ni обозначают число членов выборки, попадающих в i-й разряд. Ступенчатый график (рис. 2.2), образованный построением

вании, называется гистограммой. Отметим, что в общем случае длины разрядов могут быть различными. Такой подход используется в случае достаточно неравномерно распределенной выборки. Здесь удобнее выбирать в области малой плотности распределения разряды более широкими, чем в области наибольшей плотности.

Полигоном относительных частот называют кусочно-линейную зависимость, образованную отрезками прямых, соединяющих точки, соответствующие относительной частоте на середине каждого из разрядов (рис. 2.3).

Очевидно, что при n → ∞ и li → 0 гистограмма и полигон представляют график плотности распределения случайной величины х.

18

Числовые характеристики выборки

Случайная выборка х из генеральной совокупности X обладает, как и любая величина, своими числовыми характеристиками: математическим ожиданием, дисперсией и т.д. Однако, вследствие того, что выборка слу-

чайна, выборочное среднее x , выборочная дисперсия sв2 и другие число-

вые характеристики, являются в отличие от генеральных xo и σ2 и т. д. случайными величинами, как функции совокупности случайных величин.

1) выборочное среднее x по данным выборки определятся следующим образом:

x = 1 ∑n xi . n i=1

2) выборочная дисперсия sв2 есть среднее арифметическое квадрата отклонения выборочных значений xi от их выборочного среднего x :

n

∑(xi − x)2

Если использовать выборочную дисперсию sв2 для оценки (прибли-

женного определения) генеральной дисперсии σ2, то для исключения систематической ошибки следует помнить, что соотношение между выборочной и генеральной дисперсией выражается как:

М[sв2 ]= nn−1σ2 = nn−1М[s2 ],

где М − символ математического ожидания.

Оценка генеральной дисперсии s2, таким образом, может быть вычис-

лена так:

n

∑(xi − x )2

При практическом вычислении x и s2 могут оказаться полезными следующие формулы:

Если xi = xi* +a , то

x = a + 1 ∑n xi* ; n i=1

s2 = n1−1∑(xi* )2 −(x −a)2 .

19

Здесь число а нужно выбирать таким, чтобы вычисления оказались максимально простыми.

На практике нередко находят применение некоторые другие числовые характеристики случайной величины, в частности мода, медиана, коэффициенты вариации, асимметрии, эксцесса.

3) модой (Мo) называют значение случайной величины Х, при котором функция плотности распределения достигает своего максимального значения (рис. 2.4)

Таким образом, мода характеризует наиболее вероятное значение случайной величины Х, и может быть принята за оценку ее математического ожидания. Исключение здесь составляют различные случаи полимодальных распределений (имеющие несколько максимумов) (рис. 2.5), для которых моду за оценку математического ожидания принимать нельзя.

4)Медиана (Ме) представляет собой такое значение случайной величины Х, при котором равновероятно получение значений Х, как больших,

так и меньших Мe, т.е. P(x < Me) = P(x > Me). Геометрически это означает, что x = Me делит площадь под кривой функции плотности распределения пополам (рис. 2.5).

Медиана, так же как и мода, в определенных случаях может служить оценкой математического ожидания.

5)коэффициент вариации (kν) характеризует относительную характеристику рассеяния и показывает, насколько велико рассеяние случайной величины по сравнению с ее средним значением

kν = xs 100 % .

6) коэффициент асимметрии (SK) характеризует несимметричность функцииплотностираспределенияотносительноматематическогоожидания

n

∑(xi − x)3

20