Статистика. Практикум

Задача 4.6

Имеются следующие данные о еженедельных поставках продукции:

Уравнение тренда имеет следующий вид:

~y 8,0 5,1 t .

Определить:

1.Абсолютные и относительные показатели тенденции динамики размера поставки в каждом периоде и средние.

2.Вид колеблемости и показатели колеблемости размера поставок.

3.Показатели устойчивости тенденции.

Задача 4.7 Имеются следующие данные о ситуации на рынке товара:

Тенденции изменения показателей моделируются следующими уравнениями тренда:

Объем продаж y 645 11 t .

Цена

y 0,7 10,9 t

Товарные запасы

y 7,6 5,5 t 1,5 t2 .

Определить по каждому экономическому показателю:

1.Абсолютные и относительные показатели тенденции динамики

вкаждом периоде и средние.

2.Вид колеблемости и показатели колеблемости.

3.Показатели устойчивости тенденции.

41

Задача 4.8

Динамика товарооборота фирмы за 6 месяцев характеризуется следующими данными:

Трендовая модель имеет следующий вид: y 440 32,5 t 23,9 t2 .

Определить:

1.Абсолютные и относительные показатели тенденции динамики товарооборота в каждом месяце и средние.

2.Вид колеблемости и показатели колеблемости товарооборота.

3.Показатели устойчивости тенденции.

42

5. КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

5.1. Основные теоретические положения

Различают два типа связей между различными явлениями и их признаками: функциональную, или жестко детерминированную и статистическую, или стохастически детерминированную. Если с изменением значения одной из переменных вторая может в определенных пределах принимать любые значения с некоторыми вероятностями, но ее среднее значение или иные статистические характеристики изменяются по определенному закону – связь является статистической. Корреляционной связью называют важнейший частный случай статистической связи состоящий в том, что разным значениям одной переменной соответствуют различные средние значения другой. С изменением значения признака х закономерным образом изменяется среднее значение признака у, в то время как в каждом отдельном случае значение признака у (с различными вероятностями) может принимать множество различных значений.

Основными задачами корреляционно-регрессионного анализа являются:

–измерение параметров уравнения, выражающего связь средних значений зависимой переменной со значениями независимой переменной;

–измерение тесноты связи двух (или большего числа) признаков между собой.

5.2. Задачи с решениями

Задача 5.1 Имеются следующие данные о ситуации на рынке товара:

Оценить тесноту связи между объемом продаж и ценой единицы продукции с помощью:

1. Коэффициента Фехнера KФ.

43

2.Коэффициента корреляции рангов Спирмена .

3.Коэффициента корреляции рангов Кендалла .

4.Коэффициента корреляции r.

Решение Коэффициент Фехнера определяется по формуле

KФ С Н , С Н

где С – число пар совпадающих знаков отклонений признаков x и y от их средних величин;

Н – число пар несовпадающих знаков отклонений признаков x и y от их средних величин.

Для расчета коэффициента Фехнера составлена следующая таблица:

x 980 1040 1060 1080 1040 руб. 4

y 6 8 9 7 7,5 млн руб. 4

Расчеты показали, что знаки совпадают у первых трех пар отклонений и не совпадают у последней пары. Следовательно коэффициент Фехнера равен

K3 1 0,5 .

Ф3 1

Для расчета коэффициента корреляции рангов Спирмена состав-

лена следующая таблица:

44

Необходимо отметить, что исследуемый признак может иметь несколько одинаковых значений. Это означает, что в такой совокупности есть связанные ранги. Для определения величины связанных рангов может быть использован метод средних рангов. Предположим, что необходимо определить ранги для третьего и четвертого объекта с одинаковыми значениями признака. Применив метод средних ран-

гов, получим для каждого объекта ранг 3 2 4 3,5 .

В случае связанных рангов коэффициент корреляции рангов Спирмена определяется по формуле

где j – номера связок для признака х;

Аj – число одинаковых рангов в j-й связке по х; k – номера связок для признака у;

Вk — число одинаковых рангов в k-й связке по у.

45

Для расчета коэффициента корреляции рангов Кендалла состав-

ляется следующая таблица:

Здесь P – для каждого ранга Ny число последующих рангов, превышающих данный;

Q – для каждого ранга Ny число последующих рангов, ниже данного.

Необходимо отметить, что для получения правильного результата исходные данные должны быть упорядочены в порядке возрастания x.

Коэффициент корреляции рангов Кендалла равен

где S ( P Q) ,

2 (4 2) 0,33. 4 (4 1)

В случае связанных рангов коэффициент корреляции рангов Кендалла определяется по формуле

где Ux, Uy – корректирующие показатели, рассчитываемые по формуле

t j (t j 1)

здесь t – число повторяющихся рангов в соответствующих связках по x или по y.

46

Коэффициент корреляции может быть определен с помощью различных «рабочих» формул, одной из которых является следующая:

Вывод: имеется заметная связь между объемом продаж и ценой единицы продукции, так как коэффициент корреляции равен 0,69. Этот коэффициент дает наиболее точную оценку тесноты связи. Коэффициент корреляции рангов Спирмена несколько ниже коэффициента корреляции. Самую «грубую» оценку тесноты связи дает коэффициент Фехнера. Обычно он завышает тесноту связи.

Если данные представлены в виде аналитической группировки, то для оценки тесноты связи рассчитывается эмпирическое корреляционное отношение. Пример его расчета приведен в задаче 1.1.

Задача 5.2

Имеются следующие данные о показателях работы предприятий металлургической отрасли:

47

Вывод: связь между исследуемыми показателями слабая. Задача 5.3

Имеются следующие данные о распределении потребителей по признаку «осведомленность о рекламе товара»:

Оценить тесноту связи между осведомленностью о рекламе товара и покупкой товара.

Решение

Так как исследуемые признаки являются качественными и альтернативными, для оценки тесноты связи могут быть использованы показатели ассоциации и контингенции.

Показатель ассоциации определяется по формуле

Условные обозначения, используемые в формулах расчета показателей ассоциации и контингенции, приведены в таблице с исходными данными.

По показателю ассоциации можно сделать вывод, что связь между исследуемыми показателями умеренная, а по показателю контингенции – слабая. При этом следует иметь в виду, что коэффициент ассоциации обычно завышает тесноту связи, оценивает ее более «либерально».

49

Задача 5.4

Имеется следующая группировка потребителей по уровню дохода и отношению к цене нового товара:

Оценить тесноту связи между ценой покупаемого товара и доходами покупателей.

Решение

Для оценки тесноты связи между неколичественными признаками, принимающими более двух значений, можно использовать показатель Пирсона или показатель Чупрова.

Показатель Пирсона определяется по формуле

параметр 2 из формулы показателя Пирсона равен

где f ij – частоты (см. исходную таблицу);

k1, k2 – число групп соответственно по первому и по второму признаку.

Остальные обозначения указаны в таблице исходных данных:

50