Статистика. Практикум

где x0 – нижняя граница медианного интервала;

f 1Me 1 – накопленная частота в интервале, предшествующем ме-

дианному;

k – число интервалов; i – размер интервала;

fMe – частота попадания в медианный интервал.

Квартили – это значения признака, делящие совокупность на четыре равные по числу единиц части. Первый квартиль определяется по формуле

где x0 – нижняя граница интервала, в котором находится первый квартиль;

f 1Q1 1 – накопленная частота в интервале, предшествующем квартильному;

fQ1 – частота попадания в квартильный интервал.

Третий квартиль определяется по формуле

k

3 f j

где x0 – нижняя граница интервала, в котором находится третий квартиль;

21

f 1 Q3 1 – накопленная частота в интервале, предшествующем

квартильному;

fQ3 – частота попадания в квартильный интервал.

По накопленной частоте можно определить, что в рассматривае-

Таким образом, четверть предприятий имеет объем продаж менее 25 млн руб., половина предприятий имеет объем продаж менее 35 млн руб., три четверти предприятий имеет объем продаж менее 44,4 млн руб.

Мода – это величина признака, которая встречается в изучаемом ряду чаще всего. Мода определяется по формуле

22

где x0 – нижняя граница модального интервала;

fMo , fMo 1 , fMo 1 – частота попадания соответственно в модаль-

ный интервал, в интервал, предшествующий модальному, в интервал, следующий за модальным.

Модальным является интервал с наибольшей частотой, если ряд имеет равные интервалы. Если же приходится иметь дело с вариационным рядом с неравными интервалами, то в расчетах необходимо

использовать не частоты f , а плотности распределения, в которых

частоты для сопоставимости приведены к единице интервала по формуле

f пj if jj ,

где ij – ширина j-го интервала.

В рассматриваемом примере группировка выполнена с равными интервалами, поэтому мода находится в четвертом интервале, для

которого f j 9 :

В данном случае вариационный ряд имеет только одну моду, однако существуют и полимодальные ряды.

Для нормального распределения Mo Me x . Рассчитанное выше значение моды отличается от медианы и среднего значения объема продаж. Но если медиана находится между модой и x , причем ближе к x , то распределение близко к нормальному. В рассматриваемом примере распределение предприятий по объему продаж близко к нормальному.

Коэффициент вариации определяется по формуле

v x 100 ,

где – среднее квадратическое отклонение, которое для интервального ряда равно

23

Оценка интенсивности вариации состоит в сравнении наблюдаемой вариации с некоторой обычной ее интенсивностью, принимаемой за норматив.

Задача 2.2

Имеются следующие данные о расширении числа предприятий и объема продаж по регионам:

Оценить степень концентрации предприятий по объему продаж.

Решение

Для упрощения расчетов коэффициента Джини приближенно может быть использована формула

G = pi·qi+1 – pi+1 ·qi,

где pi, pi+1 – кумулятивные доли частот распределения; qi , qi+1 – кумулятивные доли суммарного показателя.

Расчеты кумулятивных долей приведены в следующей таблице:

24

Коэффициент Джини равен:

G = (0,6·0,46 + 0,8·0,96 + 0,94·1) – (0,06·0,8+0,46·0,94+0,96·1) = 0,5436.

Чем ближе коэффициент к нулю, тем меньше степень концентрации. Если он близок к 1, то наблюдается высокая степень концентрации исследуемого признака. В данном примере наблюдается средняя степень концентрации по объему продаж.

2.3.Контрольные вопросы

1.Виды средних величин.

2.Виды вариационных рядов.

3.Структурные характеристики вариационного ряда.

4.Показатели размера вариации.

5.Методы оценки степени концентрации исследуемого признака.

2.4.Задачи для самостоятельной подготовки

Задача 2.3

Имеется следующее распределение рабочих предприятия по производительности труда:

Определить среднюю производительность труда рабочих, структурные средние (медиану, моду, квартили), коэффициент вариации и сделать выводы.

Задача 2.4

Имеется следующее распределение предприятий по числу работающих:

25

Определить среднее число работающих на предприятии, структурные средние (медиану, моду, квартили), коэффициент вариации и сделать выводы.

Задача 2.5

Имеются следующие данные о распределении предприятий по годовой выплавке стали:

Определить среднюю годовую выплавку стали, структурные средние (медиану, моду, квартили), коэффициент вариации и сделать выводы.

Задача 2.6

Имеются следующие данные о распределении рабочих цеха по проценту допускаемого брака:

Определить средний процент допускаемого брака в цехе, структурные средние (медиану, моду, квартили), коэффициент вариации и сделать выводы.

Задача 2.7

Индекс цен на медь в первом полугодии расчетного года составил 1,19, во втором полугодии 1,06. Определить средний индекс цен на медь.

Задача 2.8

Индекс цен на железную руду в первом квартале расчетного года составил 1,12, во втором квартале 1,15. Определить средний индекс цен на железную руду.

26

Задача 2.9

Имеются следующие данные об изменении стоимости основных фондов предприятия (млн руб.):

Определить среднегодовую стоимость основных фондов. Задача 2.10

Определить среднюю себестоимость 1 т стали по следующим исходным данным:

Задача 2.11

Оценить степень концентрации предприятий по размеру валовой прибыли:

Задача 2.12 Оценить степень концентрации населения по доле общего дохода:

27

3.ВЫБОРОЧНОЕ НАБЛЮДЕНИЕ

3.1.Основные теоретические положения

При выборочном наблюдении обследованию подвергается отобранная в определенном порядке часть единиц совокупности, а получаемые результаты распространяются на всю совокупность.

Выборки подразделяются на повторные и бесповторные. Повторной называют выборку, при которой отобранный объект возвращается в генеральную совокупность. При бесповторной выборке отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.

Между характеристиками выборочной совокупности и соответствующими характеристиками генеральной совокупности существуют определенные различия, которые называются ошибкой статисти-

ческого наблюдения. Ошибка выборки, или ошибка репрезентатив-

ности – это разница между значением показателя, полученного по выборке, и генеральным параметром.

3.2. Задачи с решениями

Задача 3.1

Проводится исследование качества произведенной на предприятии продукции. Отклонения от номинального размера изделия не должны превышать 4 мм. Дисперсия по данным предыдущих исследований составляет 158. Выборка – повторная. Требуется определить объем выборки при доверительной вероятности 0,95.

Решение

Объем повторной выборки определяется по формуле

nt2 2 ,

2

где 2 – дисперсия генеральной совокупности;– допустимая погрешность;

t – нормированное отклонение.

При доверительной вероятности 0,95 t = 1,96 (см. приложение).

n 1,962 158 37,94 38 изделий. 42

28

В случае бесповторного отбора формула расчета объема выборки корректируется следующим образом:

где N – объем генеральной совокупности. Задача 3.2

Из партии готовой продукции размером 2500 изделий методом случайного бесповторного отбора отобрано 250 изделий, среди которых 5 изделий оказались бракованными. С вероятность 0,95 определить возможные пределы изменения процента брака во всей партии готовой продукции.

Решение

Доля бракованных изделий в выборочной совокупности равна

p 2505 0,02 .

Предельная ошибка доли для случайного бесповторного отбора определяется по формуле

где n – объем выборки;

N – объем генеральной совокупности; t – нормированное отклонение.

Параметр t для заданной вероятности (0,95) равен 1,96 (см. приложение).

0,02 0,016 0,02 0,016 .

Таким образом, с вероятностью 0,95 процент брака в партии готовой продукции находится в пределах:

–в долях единицы 0,004 0,036 ;

–в процентах 0,4 3,6 .

29

Задача 3.3

Из партии готовой продукции размером 10000 изделий методом случайного бесповторного отбора отобрано 100 изделий, у которых был измерен диаметр. Средний диаметр изделий в выборке составил 84 мм, что соответствует номинальному размеру контролируемого изделия. Выборочная дисперсия равна 500. Изделие считается годным, если отклонения от номинального размера не превышают4 мм. С вероятность 0,954 определить пределы изменения среднего диаметра изделий и оценить количество бракованных изделий в партии.

Решение

Предельная ошибка выборочной средней для случайного бес-

где S2 – дисперсия рассчитанная по данным выборки.

Параметр t для заданной вероятности (0,954) равен 2 (см. прило-

Поскольку предельная ошибка выборки превышает допустимые пределы (4 мм), то вероятность попадания в заданные пределы меньше, чем заданная вероятность 0,954. Для определения вероятности попадания в заданные пределы в этом случае решается уравнение относительно t:

t Sx ,

где – допустимые пределы (допустимая погрешность); Sx – средняя ошибка выборки,

t 1,818 .

30