Статистика. Практикум

По таблице F (t) (см. приложение) определяем, что вероятность попадания в заданные пределы, соответствующая нормированному отклонению t 1,818 , равна 0,9312.

Вероятность того, что отклонения от среднего диаметра изделия превышают допустимую погрешность (допустимые пределы), равна

1 – 0,9312 = 0,0688.

Следовательно, можно ожидать, что в партии готовых изделий имеется 10 000·0,0688 = 688 бракованных изделий.

3.3.Контрольные вопросы

1.Задачи, решаемые при проведении выборочного наблюдения.

2.Виды выборки.

3.Ошибка выборки.

4.Влияние вида выборки на ошибку выборки.

5.Малая выборка.

3.4.Задачи для самостоятельной подготовки

Задача 3.4

Проводится исследование доли документов, которые оформляются в установленные сроки. Выборка бесповторная с доверительной вероятность 0,95 и точностью 0,05. Определить объем выборки, если в подразделении за месяц обрабатывается 400 документов.

Задача 3.5

Для определения скорости прохождения документов с доверительной вероятность 0,95 и точностью 2 дня проводится случайная повторная выборка. Определить объем выборки, если средний срок прохождения документов по данным предыдущих обследований составляет 16,2 дня.

Задача 3.6

Для выявления мнения о новом товаре в регионе, насчитывающем 10 000 потребителей, планируется провести выборочное бесповторное обследование. Предварительное исследование показало, что дисперсия среднего размера покупки составляет 24 тыс. руб., предельная ошибка не должна превышать 0,5 тыс. руб. Доверительная вероятность 0,954. Определить объем выборки.

31

Задача 3.7

По данным бесповторного выборочного изучения 100 платежных документов из 10 000 документов выявлено, что в шести случаях были превышены установленные сроки расчета с кредиторами. С вероятностью 0,954 установить пределы изменения доли платежных документов, оформленных без нарушения установленных сроков.

Задача 3.8

При контрольной бесповторной проверке 100 изделий было забраковано 8 изделий. Размер партии равен 50 000 изделий. С вероятность 0,954 определить пределы изменения процента некачественной продукции.

Задача 3.9

На предприятии с числом работающих 1000 человек было проведено 5 % выборочное исследование возраста работающих методом случайного бесповторного отбора. В результате исследования получены следующие данные:

Определить:

1.Пределы, в которых находится средний возраст работающих на предприятии (с вероятностью 0,997).

2.Вероятность того, что средний возраст работающих не превысит 41 года.

3.Вероятность того, что средний возраст работающих не превысит 45 лет.

Задача 3.10

В целях контроля за соблюдением норм расхода сырья проведено выборочное исследование партии готовой продукции. Объем бесповторной выборки составил 2 % от общего количества изделий в партии. Получены следующие данные:

32

Определить:

1.Пределыизменения среднеговеса изделий (свероятностью0,95).

2.Вероятность того, что отклонение веса изделия от среднего не превышает 5 кг.

3.Вероятность того, что отклонение веса изделия от среднего не превышает 10 кг.

Задача 3.11

Для выявления доли простоев из-за несвоевременного поступления полуфабрикатов было проведено бесповторное обследование 10 % рабочих четырех цехов. Получены следующие данные:

С вероятностью 0,95 определить пределы, в которых находится доля простоев из-за несвоевременного поступления полуфабрикатов в целом по предприятию.

Задача 3.12

В целях изучения производительности агрегатов четырех типов была проведена 10%-ная выборка методом случайного бесповторного отбора. Получены следующие данные:

С вероятностью 0,997 определить пределы, в которых находится средняячасовая производительностьдля всей совокупностиагрегатов.

33

4. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ДИНАМИКИ

4.1. Основные теоретические положения

Одно из основных положений научной методологии – необходимость изучать все явления в развитии во времени. Ряд динамики состоит из двух строк или столбцов: промежутков или моментов времени, к которым относятся уровни, и самих уровней признака (показателя). При статистическом изучении динамики необходимо четко разделить ее два основных элемента – тенденцию и колеблемость, чтобы дать каждому из них количественную характеристику с помощью специальных показателей.

4.2. Задачи с решениями

Задача 4.1

Динамика цен на продукцию характеризуется следующими данными:

Тенденция изменения цены моделируется уравнением тренда: y 0,7 10,9 t .

Определить:

1.Абсолютные и относительные показатели тенденции по каждому периоду и средние.

2.Вид колеблемости и показатели колеблемости.

3.Оценить устойчивость тенденции с помощью коэффициента корреляции рангов Спирмена.

Решение

Абсолютные и относительные показатели тенденции приведены в следующей таблице:

34

Расчет показателей тенденции выполнен по следующимформулам: Цепное абсолютное изменение

ц yi yi 1 .

Базисное абсолютное изменение

б yi y0 .

Ускорение абсолютного изменения

цi цi 1 .

Цепной темп роста

Базисный темп роста

K б yi 100 . y0

Цепной темп прироста

yi 100 100 .

yi 1

Базисный темп прироста

yi 100 100 . y0

В формулах для определения базисных показателей тенденции y0 – базисное значение уровней (в данном расчете это первый уро-

вень рассматриваемого ряда).

Расчеты показали, что наблюдается увеличение исследуемого показателя, причем темпы прироста свидетельствуют о нелинейном характере его изменения.

35

Необходимо отметить, что при расчете среднего уровня для периодического ряда используется средняя арифметическая, а для моментного ряда – средняя хронологическая.

Средний уровень ряда в рассматриваемом примере равен

y 12 16 38 37 55 31,6 . 5

Среднее абсолютное изменение уровней определяется по формуле

Средний темп роста определяется по формуле

Для определения вида колеблемости и показателей колеблемости следует рассчитать теоретические значения уровней для каждого периода по уравнению тренда. Например, для первого периода теоретическое значение будет равно

y1 0,7 10,9 t 0,7 10,9 1 10,2 .

Для выявления типа колебаний можно использовать метод, предложенный М. Кендаллом. Он состоит в подсчете так называемых поворотных точек в ряду отклонений от тренда. Отклонение либо большее по алгебраической величине, либо меньшее двух соседних является поворотной точкой.

36

Определение фактического числа поворотных точек для рассматриваемого примера приведено в таблице:

При пилообразной колеблемости все отклонения, кроме двух крайних, должны быть «поворотными», т.е. их число составит п – 1.

При случайно распределенной во времени колеблемости число пово-

ротных точек в среднем составит 2/3(n – 2).

Для рассматриваемого примера п –1 = 5 – 2 = 3. Фактическое число точек, рассчитанное выше, равно 3, следовательно наблюдается пилообразная колеблемость.

Для расчета показателей колеблемости составим вспомогательную таблицу:

Среднее абсолютное отклонение уровней от тренда определяется по формуле

где p – число параметров уравнения тренда; n – количество уровней ряда.

a(t) 20,0 6,67 . 5 2

37

Среднее квадратическое отклонение уровней от тренда равно

Коэффициент устойчивости уровней ряда, характеризующий их близость к тренду, равен

100 18,4 81,6 %.

Вывод: наблюдается умеренная колеблемость исследуемого показателя.

Для оценки устойчивости тенденции рассчитывается коэффици-

ент корреляции рангов Спирмена:

Коэффициент корреляции рангов Спирмена определяется по формуле:

38

Так как рассчитанный коэффициент близок к 1, тенденция изменения цены единицы продукции устойчива.

4.3.Контрольные вопросы

1.Показатели, характеризующие тенденцию динамики.

2.Средние показатели тенденции динамики.

3.Методы выявления типа колеблемости.

4.Показатели колеблемости.

5.Измерение устойчивости в динамике.

4.4.Задачи для самостоятельной подготовки

Задача 4.2

Имеется динамический ряд, характеризующий изменение цен на алюминий на Лондонской бирже металлов за 6 месяцев (долл.):

1246 1317 1309 1354 1498 1521

Уравнение тренда имеет следующий вид: y 1183 63 t .

Определить:

1.Абсолютные и относительные показатели тенденции в каждом периоде и средние.

2.Видколеблемостиипоказатели колеблемостицен на алюминий.

3.Показатели устойчивости тенденции.

Задача 4.3

Имеется динамический ряд, характеризующий изменение цен на цинк на Лондонской бирже металлов за 6 месяцев (долл.):

1023 976 956 978 1005 996

Уравнение тренда имеет следующий вид: ~y t2 6 t 969 . Определить:

1.Абсолютные и относительные показатели тенденции в каждом периоде и средние.

2.Вид колеблемости и показатели колеблемости цен на цинк.

3.Показатели устойчивости тенденции.

Задача 4.4

Выпуск продукции предприятия в сопоставимых ценах характеризуется следующими данными:

39

Уравнение тренда имеет следующий вид: y 2,752 t .

Определить:

1.Абсолютные и относительные показатели тенденции динамики выпуска продукции в каждом году и средние.

2.Видколеблемостиипоказатели колеблемостивыпускапродукции.

3.Показатели устойчивости тенденции.

Задача 4.5

Списочная численность работающих в одном из цехов металлургического предприятия характеризуется следующими данными:

Уравнение тренда имеет следующий вид: y 41,598 t .

Определить:

1.Средние показатели тенденции динамики списочной численности работающих.

2.Вид колеблемости и показатели колеблемости списочной численности работающих.

3.Показатели устойчивости тенденции.

40