Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник задач по высшей математике. Часть 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

1 / 91 2 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (СИБСТРИН)

В.Б. Кардаков, П.П. Колобов, А.М. Раменский

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Часть 1

НОВОСИБИРСК 2015

УДК 517(075) ББК 22.1

К 219

Кардаков В. Б.

Сборник задач по высшей математике. Ч. 1 / В. Б. Кардаков, П. П. Колобов, А. М. Раменский ; Новосиб. гос. архитектур.- строит. ун-т (Сибстрин). – Новосибирск : НГАСУ (Сибстрин),

2015. – 84 с.

ISBN 978-5-7795-0730-1

Задачник может быть рекомендован в качестве основного для бакалавров в первом семестре первого курса, так как в нем подобраны задачи соответствующего уровня сложности по всем темам, входящим в программу этого семестра. Кроме того, достоинством данного задачника является наличие решений сложных задач, что облегчает понимание всего курса.

Составители выражают благодарность доценту Е.Н. Журавлевой, внесшей большой вклад в реализацию данного задачника.

Печатается по решению издательско-библиотечного совета НГАСУ (Сибстрин)

Рецензенты:

Г.Г. Черных, д-р физ.-мат. наук, профессор НГУ, гл. науч. сотрудник ИВТ СО РАН; И.А. Бертик, доцент кафедры высшей математики НГАСУ (Сибстрин)

ISBN 978-5-7795-0730-1	Кардаков В.Б., Колобов П.П.,
	Раменский А.М., 2015
	Новосибирский государственный
	архитектурно-строительный
	университет (Сибстрин), 2015

Оглавление

1. Элементы линейной алгебры

1.1.Определители . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.Матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.Системы линейных алгебраических

уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	10
2. Элементы векторной алгебры
и аналитической геометрии	13
2.1. Прямая линия на плоскости . . . . . . . . . . . .	13
2.2. Кривые второго порядка . . . . . . . . . . . . . . .	15
Парабола . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	15
Окружность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	16
Эллипс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	16
Гипербола . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	17

2.3.Кривые в полярной системе координат . . . . . . 18

2.4.Векторная алгебра . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Скалярное произведение векторов . . . . . . . .	22
Векторное произведение векторов . . . . . . . . .	23
Смешанное произведение векторов . . . . . . . .	24
2.5. Плоскость и прямая в пространстве . . . . . . . .	24
3. Введение в математический анализ	27

3.1.Функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2.Предельные значения функции . . . . . . . . . . . 32

3.3.Непрерывность и разрывы функций . . . . . . . . 37

3.4.Замечательные пределы . . . . . . . . . . . . . . . 38

4. Дифференцирование	40
4.1. Понятие производной.
Правила дифференцирования . . . . . . . . . . .	40

4.2.Дифференцирование функции от функции . . . . 43

4.3.Логарифмическое дифференцирование . . . . . . 44

4.4.Производные неявной функции . . . . . . . . . . . 44

4.5.Производные параметрической функции . . . . . 44

4.6. Дифференциал функции . . . . . . . . . . . . . . 45

4.7.Правило Лопиталя . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.8.Приложение дифференцирования

кзадачам геометрии и механики . . . . . . . . . 48

4.9.Исследование поведения функции . . . . . . . . . 51

4.10.Нахождение оптимума . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.11.Кривизна дуги кривой . . . . . . . . . . . . . . . 53

Ответы и решения

1. Элементы линейной алгебры

1.1. Определители

	1. Вычислить определитель:										1
					4	2	3		0	0	1
		3	1		3	2	1		1	1	1
1)		2	−5	; 2)	1	0	2	; 3)	0	1	1
1)		2	−5	; 2)	1	0	2	; 3)	0	1	1	.
							1	2 3

	−

2 0 1 . Вычислить его

3 1 0

1)непосредственно; 2) предварительно меняя местами первую и третью строки, 3) предварительно меняя местами вторую и третью строки.

Какой вывод можно сделать на основе полученных результатов?

3.Проверьте, как изменится определитель из предыдущего задания, если: 1) ко второй строке прибавить первую строку, умноженную на 5; 2) к третьей строке прибавить первую

строку, умноженную на 4. Какой вывод можно сделать на основе полученных резуль-

татов?		3	1	0
		1	2	3
			−0
4. Вычислить определитель		2		1	, предварительно
4. Вычислить определитель		2		1	, предварительно
		2
	−1
заменив вектором-столбцом		3	:

1) первый столбец; 2) второй столбец; 3) третий столбец.

	5. Вычислить определитель:									7						3
		1	3	1				1	2	7				5	4	3
		1	3	1				5	3	2				1	0	1
1	=	0	2	1	;	2	=	1	2	7	;	3	=	1	0	1
1	=	0	2	1	;	2	=	1	2	7	;	3	=	1	0	1	.

Какой вывод можно сделать на основании полученных результатов?

1.2. Матрицы

6. Укажите размерность матриц и определите, чему равны

элементы a31 , a24 , a43 , a33 :
				1	4			5		2					0 4 −2 5 −2							.
	1)			3	5	−7			−8			;	2)		3 4 −7 0					−	0	.
				2	0	−				1							−			−	1
				2	0	−3				1					1 0 −3 1						1
				3	3			9		2					3 3			9 2			3
	7. Определить параметры α, β из равенств:
		3		α				3			8
1)		β 2				= 4				−2 ;			;
2)		α		1	2	=				0	1	2
2)		0 β 3				=				0 5 3
3)		β	= 3 4 −1										.
		α				1		2				1
	8. Можно ли вычислить линейную комбинацию
	3 ·			1	2	3	− 2 ·					0	1	0	+		2		1
	3 ·			4 0 5			− 2 ·					2 −1 3			+		4 3 ?
Ответ поясните.
	9. Вычислить линейные комбинации матриц:
	0,5				4	2		+ 2				0	1			1		0	;
1)	0,5			−6		−8		+ 2			−1 0			− 0 −3					;
	3		1		4	2						1	0		3	;
2)	3		0 1			3			−	4		2	1	−2		;
			1 1			−0			−			3	−2		1

3) 3			2			1			+ 5			0			1
3) 3			3			−2			+ 5			1 0						;
			02			1						0			2
															1
4)		sin			t		5			+		cos t							−5 .
					1	0.5							tg2 t				0.5 cos 2t
	10.		Вычислить линейную комбинацию матриц 2A−3E+C ,
где E единичная матрица размером 3 × 3 и
								1			2		0								5			2		1
								1 −1 1													1 0					−1
				A =				3			1 3				,			C =			2 1 2						.
	11.		Решить уравнение																		3 4 .
						2 1					+ y 3 =										3 4 .
								1		x						4		5			5			7
	12.		Вычислить произведение матриц A · B , B · A, когда
это возможно.
									2	1				1
									3	1				2							1				3	4
												−		1							2			−	1 2 .
				A = 1 0										1	; B =						2				1 2 .
	13.		Вычислить произведение матриц:
		2				4	5				−7									1			−2			1		·		3
1)		1				3 1		·					3					2)		3 −5						2		·		−2
1)		2 −4 7						−2							;			2)		0 −4						0				1	;
		2 1 1							·		−3													·
3)		2		1		0						7		;				4)	3			1					3		−2		;
3)		2 0				2					−2			;				4)	3			1					3		−2		;
																			1			2					2			1
																				0	−			2		3	·		−	3
			2					·			1		2							0				1 0			·			−2
5)	1		2			3				1	1	2	2			;		6)			−
5)	4		5 6							−1 0						;		6)	4					0 1						1 ;
			3					·		1		2
	2		3			1
7)	0		1			2				0		0		.

14. Вычислить: 1) A2 ; 2) A2 −2A−3E ; 3) (A−B)·(A+B), где E единичная матрица,

			A =	3	2	, B =			1	5	.
			A =	2	−1	, B =		−2		3	.
15. Найти миноры всех элементов матрицы:
	1	2			1	0	5				2	1	0
1)	1	2	; 2)		0	1		3)			1	0
	3	4
	3	4					2 ;						1 .
					2	0	1			−3		1	0

16. Определить максимальный и минимальный миноры элементов матриц:

	2	3		2	1	0		1	2	3
	2	3						−
1)	−5	−3	; 2)		2		3)	−	1
1)	−5	−3	; 2)	3	2	1 ;	3)	2	1	1 .
				6	3	1		−1	3	−2

17.	Проверить, что \|A · B\| = \|A\| · \|B\|, если
		A =	1	2		2	0	.
		A =	−3 5 , B =			1	3	.
18.	Вычислить A · E и E · A, если
		a11	a12	a13	, E =		1	0	0	.
	A =	a21	a22	a23	, E =		0	1	0	.
		a31	a32	a33			0	0	1

19.Найти ненулевую матрицу A из уравнения A2−A = O ,

где O =	0	0	нулевая матрица.
	0	0

20. Проверьте, являются ли взаимно обратными матрицы

A =	7	3			B =	1	3	.
A =	2	1		и	B =	−2	−7	.

21. Какая из двух матриц имеет обратную
	1	5	1			1	5	1
	0	1	2	или		1	7	8
A =	0	2	7	или	B =	0	2	7	?

	22.		Вычислить матрицу A−1 , обратную к матрице A:
				1		3						2	5					2	1	3
				1		3						2	5					2 3 1 .
1) A =				0		−2		; 2) A =				2 5			; 3) A =			2 3 1 .
																		3	2	1
Сделать проверку полученного результата.
	23.		Используя элементарные преобразования, привести к
ступенчатому виду матрицу:
		3		2						3	10	2	0				1	1		2	3
		3		2								1 4 ; 3)					1	1		2	3
1)		1 4				;	2)			1 3		1 4 ; 3)					2	−3 5 8				;
								−		2	1	3	1					−
								−										−
		1		2	;		5)			1	2		1	4	.
4)		3 4			;		5)			3	5		3 1		.
		5 6								2	−7	−1 8
	24.		Перемножить матрицы																		.
	(x y) ·					1 2			x		;		(x y) ·			1	2			x
1)	(x y) ·					4 3 · y					;	2)	(x y) ·			2 −1		· y
	25.		Решить матричное уравнение A · X = B , где
	A =				2	5					x		, B =			1	;
1)	A =				1 1		, X = y						, B =			−1	;
	A =				3	1					x		, B =			2
2)	A =				7 1		, X = y						, B =			3 .

Указание. Используйте обратную матрицу A−1 .

1.3. Системы линейных алгебраических уравнений

26. Проверить, являются ли числа x = 1, y = 2, z = −1 решением системы линейных уравнений

			x + y + z = 2,
			2x − 2y − 3z = 3,
			x + 2y + 5z = 0.
27.	Проверить,	является ли множество чисел x = 3t,
	Проверить,

y = 3−t, z = t, зависящее от параметра t, решением системы линейных уравнений

x + y − 2z = 3,

2y + 2z = 6.

28. К какой из данных систем можно применить метод Крамера?

3x − 2y = 1,

5x + 10y = 3,

x + 5y = 6;

4x + 8y = 5.

Определив эту систему, решить её.

29. Решить систему методом Крамера:

x + 3y = 5,

x + 3y = −2,

3x − 2y = 3,

2x − y = 3;

x + 5y = −4;

2x − y = 2.

Сделать проверку полученных результатов.

30. Записать систему уравнений в матричном виде:

2x + 2y

z =

x + y

= 3,

3z = 1,

2y + z = 3,

−

3y −

= −2;

−

= 3;

−

5x − 3y + 4z = 7,

3)2x + 2y − 3z = 3,8x + 5y + 7z = 1.

1 / 91 2 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]