Сборник задач по высшей математике. Часть 1

103.Решить уравнение: 1) {x; y; z}+2{1; 3; −5} = {−3; 2; 1};

2)x · {2; −3} + {−3; 5} = y · {−1; 2}.

104.Вычислить расстояние от точки M0(2; 3; 4) до 1) оси Ox; 2) оси Oy ; 3) оси Oz ; 4) плоскости Oxy ; 5) плоскости

108.Концы отрезка AB заданы координатами A(1; −1; 1), B(3; 5; 7). На отрезке AB взята точка C так, что отрезок AC короче отрезка CB в 2 раза. Найти координаты точки C .

109.Найти координаты конца отрезка AB , если известны координаты его начала A(1; −3; 5) и его середины C(5; 1; −3).

110.Даны две точки A(3; −1), B(2; 1). Найти координаты точки C , симметричной точке A относительно точки B .

111.Даны две точки A(1; −1), B(5; 3). Найти координаты точки C , симметричной точке B относительно точки A.

112.Найти проекции вектора силы на оси координат, если заданы величина силы и углы между вектором силы и осями координат Ox, Oy , Oz :

1) F = 36 Н, α = 60◦ , β = 45◦ , γ = 60◦ ; 2) F = 48 Н, α = 60◦ , β = 60◦ , γ = 45◦;

3) F = 24 Н, α = 45◦ , β = 60◦ , γ = 60◦ .

→−

Чему равны координаты вектора силы F?

21

113. Найти проекцию вектора силы на направление, если

заданы величина силы и угол между вектором силы и направ-

√

~~

3)a = {2; 4; 3}, b = {3; 5; −2}.

координат?

22

~~

2)a = {5; 0; 3}, b = {−2; 3; 1}.

131.Найти все векторы, перпендикулярные векторам

23

Смешанное произведение векторов

~~ ~

135.Для векторов a = {1; 1; 3}, b = {−2; 1; 2}, c = {2; 0; 5}

~ ~~

вычислить смешанное произведение a b c.

136.Вычислить объём пирамиды, если известны координаты её вершин: 1) A(2; 1; 1), B(1; 2; 3), C(6; 0; 2), D(3; 3; 3);

2)A(2; 1; 5), B(5; 0; 3), C(4; 0; 8), D(6; −2; 6).

137.Проверить, являются ли данные векторы компланар-

~ ~ ~

ными: a = {1; 2; 3}, b = {−1; 3; 0}, c = {0; 5; 3}.

138. Лежат ли точки A(1; 2; −1), B(3; 3; −4), C(2; 2; 1),

D(5; 3; 0) в одной и той же плоскости?

2.5. Плоскость и прямая в пространстве

139. Написать уравнение плоскости, проходящей: 1) через точку M0(1; −5; 3) перпендикулярно вектору ~n = {3; 2; −1}; 2) через точку M0(1; −5; 3) параллельно плоскости 2x − 7y + +z−3 = 0; 3) через точку M0(1; −5; 3) параллельно векторам

M1(3; 2; 3), M2(−1; 5; 2).

140. Написать уравнение плоскости, проходящей: 1) через начало координат и точку M0(2; 3; −1) параллельно вектору

M0(1; 2; −1) параллельно осям координат Ox и Oy ; 4) через точки M1(0; 0; 2), M2(−1; 0; 0) и M3(0; 3; 0).

141.Какие среди указанных пар плоскостей параллельны,

акакие перпендикулярны?

1)x − y + z − 7 = 0, −x + y − z + 2 = 0;

2)4x + y − 3 = 0, x + 2y − z + 3 = 0;

3)x − 3z = 0, 3x − 9y + 7 = 0;

24

142.Найти точку пересечения плоскостей x−y+2z+1 = 0,

2x + z − 5 = 0, 3x − 2y + 3z + 1 = 0.

143.Определить угол между плоскостями:

1) 2x − 3y + 5z − 7 = 0 и x − 3z + 5 = 0; 2) 3x − 9y + 2z + 8 = 0

и2x + 2y + 6z = 0.

144.Определить угол, образованный плоскостью 2x−3y+ + 4z + 8 = 0 и 1) координатными плоскостями; 2) координатными осями.

145.Найти расстояние до плоскости x + y − 2z + 3 = 0 1) от начала координат; 2) от точки M0(1; 3; −2).

146.Составить параметрическое уравнение прямой, про-

ходящей через точку M0(3; 1; 2): 1) параллельно вектору ~a = {3; 2; −1}; 2) параллельно прямой x = t, y = 2 − 3t, z = 1+2t; 3) параллельно оси Oy ; 4) перпендикулярно плоскости Oxz ; 5) перпендикулярно плоскости 2x−7y +z −3 = 0;

6)и точку M1(2, −1, 2).

147.Среди указанных прямых выделить параллельные прямые и перпендикулярные:

1) x = 2 − 3t, y = t + 2, z = 5; 2) x = t, y = t + 2, z = 3;

3) x = 1 + t, y = 2 − t, z = 3 + 2t; 4) x = 3 − 2t, y = 1 + 2t, z = 5 − 4t; 5) x = 4 + t, y = 2 − 2t, z = 3t;

6) x = −2t, y = 3 − t, z = 5; 7) x = t, y = 3t, z = 2 − 5t; 8) x = 5t, y = 3, z = 1 + t.

148.Вычислить угол между прямыми:

1)x = 2 + 3t, y = t, z = −1 + t и x = −t, y = 3 + t, z = 3 + 2t;

2)x = 1 + 2t, y = −2 + 3t, z = 1 + 6t и x = 9t, y = 6t,

25

z = 5 + 8t; 3) x = 1 + 6t, y = −2 + 2t, z = −t и x = 1 − 12t,

y= 3 − 4t, z = 1 + 2t.

149.Составить канонические уравнения прямой, являющейся пересечением двух плоскостей:

1) 2x − y = 3 и 3y − 4z = 10;

2) x + y − z = 0 и x − y + z = 0;

3) x + y + z − 1 = 0 и x − 2y − z − 1 = 0;

4) 2x − 3y + 5z − 6 = 0 и x + 5y − 7z + 10 = 0.

150.Вычислить углы между прямой, являющейся пересе-

чением двух плоскостей x+3y −z +1 = 0 и 2x+5y −z −1 = 0,

икоординатными осями.

151.Определить взаимное расположение прямой и плоскости и, если они пересекаются, найти координаты точки пересечения:

1) x = 1 + t, y = −1 − 2t, z = 6t и x + 3y + 2z + 5 = 0; 2) x = −1 + 2t, y = −1 − t, z = 3 + 3t и 3x + 3y − z = 0; 3) x = 2 + 2t, y = −t, z = 4 + t и 2x + 3y − z = 0;

4) x = 1 − 2t, y = 1 − t, z = t и x + 2y + 4z − 5 = 0; 5) x = 1 + t, y = 1 − t, z = t и 2x − y + z + 7 = 0.

152. Найти проекцию точки M0(−2; 1; 1) на плоскость

3x − y + z − 5 = 0.

153.Вычислить угол между прямой и плоскостью:

1)x = 1 + t, y = −1 − 2t, z = 6t и x + 3y + 2z + 5 = 0;

2)x = −1 + 2t, y = −1 − t, z = 3 + 3t и 2x + 3y + z − 2 = 0;

3)x = 2 + 2t, y = −t, z = 4 + 3t и 2x − 3y − z − 2 = 0.

154.Найти точку M , симметричную точке M0(1; −3; 5) относительно:

1)плоскости 2x − 3y + 4z − 2 = 0;

2)прямой x = 1 − 2t, y = 1 − t, z = t.

155.Написать параметрические уравнения прямых линий, являющихся пересечениями плоскости 5x − 7y + 2z − 3 = 0 с координатными плоскостями.

26

3. Введение в математический анализ

3.1. Функция

156.Используя калькулятор, вычислить значения функции y(x) = sin √x в точках y(1), y(4), y(9), y(16).

157.Используя калькулятор, вычислить значения функ-

√

161.Найти область значений функции:

1)y(x) = 1+3 cos x; 2) y(x) = tg x, x 0; π4 ; 3) y(x) = ln x,

x(1; e).

162.Найти область значений функции:

27

163.Какое утверждение из двух следующих верно?

1)Каждой абсциссе графика соответствует одна ордината.

2)Каждой ординате графика соответствует одна абсцисса.

164.По данному графику найти ординаты точек, если их

2) x -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 y 2,24 2,12 2,0 1,87 1,73 1,58 1,41 1,22 1 0,7

166. Используя калькулятор, заполнить таблицу и по ней построить график функции y (x) = cos2 x

x 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7

y

28

иy = x, x (0; ∞).

169.Функции y1(x) и y2(x) определены на множестве D , симметричном относительно начала координат. Будет ли чётной функция:

1)y1(x) + y2(x), если y1(x) и y2(x) – чётные функции;

2)y1(x) − y2(x), если y1(x) и y2(x) – чётные функции;

3)y1(x) · y2(x), если y1(x) и y2(x) – нечётные функции;

4)y1(x) · y2(x), если y1(x) – чётная функция, а y2(x) – нечётная функция?

170. Функции y1(x) и y2(x) определены на множестве D , симметричном относительно начала координат. Будет ли нечётной функция:

1)y1(x) + y2(x), если y1(x) и y2(x) – нечётные функции;

2)y1(x) − y2(x), если y1(x) и y2(x) – нечётные функции;

29

3)y1(x) · y2(x), если y1(x) и y2(x) – нечётные функции;

4)y1(x) · y2(x), если y1(x) – чётная функция, а y2(x) – нечётная функция?

20)y = cos(cos x).

172.Найти нули функции: 1) y = 3−2x; 2) y = x2 −x−2;

√ √

3) y = (2x − 3) x − 1; 4) y = (2x − 3) x − 2.

173.Доказать, что функция y = 2x−1 возрастает, а функция y = 3 − x убывает.

174.Среди данных функций указать возрастающие и убывающие функции:

175.Используя определение, показать, что функция:

1)y = sin 2x имеет период 2π ;

2)y = sin x2 имеет период π ;

3)y = sin 3x имеет период 23π .

30