Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник задач по высшей математике. Часть 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

4.9. Исследование поведения функции


	281. Найти интервалы возрастания и убывания функции:
		4		x3 ; 3) y = −5x3 + 6x2 + 8;
1)	y = x3 + x2 − 8x; 2)	y = 2x2 −
			3
		1
4)	y = 4x5 +5x4 +3; 5)	y = x4 −2x2 ; 6) y =				x3 +x2 −3x+2.
					3
	282. Найти интервалы возрастания и убывания функции:

1) y = x · e−x ; 2) y = x2 · e−x ; 3) y = x2 · e−x2 ; 4) y = x · ln x;

5)	y = x2 · ln x; 6) y = x · ln2 x.
	283. Определить локальные экстремумы функции:
1)	y = x2 − 4x + 3; 2) y = −3x2 + 6x − 7; 3) y = 4x3 − 3x4 ;

4)y = x4 −4x3 −2x2 ; 5) y = x3 −4x2 +5x−2; 6) y = x4 −16x2 .

284.Доказать, что функция y = x5(6−x) имеет максимум в точке x = 5 и не имеет экстремума в точке x = 0.

285.Доказать, что функция y = x5(x−12) имеет минимум в точке x = 10 и не имеет экстремума в точке x = 0.

286.Определить локальные экстремумы функции:

				2			1
1)	y = x · ex ; 2)	y = x2 · ex ; 3)	y = x2	· ex	; 4)	y =		;
							1 + x2

5)y = x ; 6) y = x · ln x; 7) y = x2 · ln x; 8) y = x · ln2 x.

1 + x2

287.Доказать, что график функции y = x2 лежит выше любой своей касательной.

288.Найти точки перегиба графика и интервалы выпук-

лости функции: 1) y = x3 − 3x2 + 2; 2) y = 4x5 − 20x4 ;

3)y = x3 − x2 + 2x − 5.

289.Найти точки перегиба графика и интервалы выпуклости функции:

		1				x		x2
1)	y =		; 2)		y =		; 3) y =		;
		1 + x2				1 + x2		1 + x2
4)	y = x arctg x;			5) y = ln(1 + x2); 6)				y = xe−x .

290. Доказать, что для графика функции

y = x4 − x5

12 20

точка x = 0 не является точкой перегиба, а точка x = 1 есть точка перегиба.

291. Найти горизонтальные и вертикальные асимптоты

графика функции:

y =

; 2)

y =

; 3)

y =

;

1 + x

1 + x2

−

y = xe

;

y = arctg x;

y = xe− .

292. Найти наклонную асимптоту графика функции:

1) y =

x2 + x − 2

;

y =

x3 + 3

;

y = x

−

arctg x.

x + 3

x2 + 4

293. Исследовать функцию и построить её график:

1) y = x2 − 3x + 4; 2) y = x4 − 4x3 ; 3) y = x3 − 3x2 − 9x;

;

y =

; 5) y = −

; 6) y = x +

; 7) y = x +

x + 1

y =

;

9) y =

;

10)

y =

x − 1

x2 + 1

4.10. Нахождение оптимума

294.Число 8 разбить на два слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим.

295.Найти на оси Oy точку, для которой сумма квадратов расстояний от точек M1(1; 3) и M2(2; 1) была бы наименьшей.

296.Среди прямоугольников, имеющих периметр 8 м, найти прямоугольник с наибольшей площадью.

297.Среди прямоугольных треугольников, имеющих одинаковую гипотенузу c = 10 м, найти треугольник наибольшей площади.

298.Прочность балки прямоугольного сечения прямо пропорциональна ширине балки и квадрату её высоты. Определить параметры балки наибольшей прочности, которую можно вырезать из бревна диаметром 0, 5 м.

299.Требуется построить цилиндрический бак объёмом v = 2π м3 . Какими должны быть размеры бака, чтобы на его изготовление ушло как можно меньше листовой стали? Для расчётов принять π ≈ 3, 14.

300.Из стального листа площадью s = 6π м2 требуется изготовить цилиндр наибольшего объёма. Определить радиус и высоту такого цилиндра.

301.Среди всех прямых круговых конусов, у которых образующая равна 12 м, найти радиус основания конуса наибольшего объёма.

4.11. Кривизна дуги кривой


302.			Найдите кривизну линии:
1)	y = sin x;						2) y = ln x;			3) y = e−x .
303.			Вычислить в точке M0(0; 0) кривизну линии:
1)	y = x2 ; 2) y = x3 ; 3) y = x4 .
304.			Найти кривизну линии:
	x2				y2			x2		y2
1)				+		= 1; 2)			−		= 1.
		4			9			4		9

305. Найдите кривизну линии, заданной параметрически: 1) x = t3 , y = t2 ; 2) x = t − sin t, y = 1 − cos t.

Ответы и решения

1. Элементы линейной алгебры

1.1. Определители

1. 1) 17; 2) 0; 3) 1. 2. 1) −1; 2) 1; 3) 1. При перестановке двух

						1	−	3		−
						1	2	3
						3	1	0
строк определитель меняет знак. 3. 1)						7	−10	16	=	1;
строк определитель меняет знак. 3. 1)						7	−10	16	=	1;
	1		2	3
	1		2	3
		−			−
2)	2	−		1	= 1. Определитель не меняется, если к эле-
2)	2	0		1	= 1. Определитель не меняется, если к эле-


	7		7	12
	7		7	12

ментам одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

4. 1) 9; 2) −26; 3) −21. 5. 1 = 2 = 3 = 0, так как в каждом определителе есть одинаковые строки.

1.2.Матрицы

6.1) 4 × 4, a31 = 2, a24 = 8, a43 = −9; a33 = −3. 2) 4 × 5, a31 = 1, a24 = 0, a43 = −9, a33 = −3. 7. 1) α = −8, β = 4; 2) α = 0, β = 5; 3) α = −1, β = −1.

8. Нельзя. Матрицы разных размерностей.
					1	12				18		;		6	2
9. 1) 1		1	; 2)		−8		7		−	17		;	3)	14	6	;
−5		7	!		−9	−	5		−	4				0	8
					−	−			−
		1	0					4			6	1	.
4)	2	1	0	.	10.			8		−	0	4	.
				!						−
1/ cos		t	cos 2t	!				3			2	0
11. x + 5 = 7,			2 + y = 3 x = 2, y = 1.

								14			5			1
12. BA =									9		4			1 !; AB не существует.
						−7						2)				1											−					16	;
13. 1)							15				;	2)			−4							;		3)			−					8	;			4)		8			−5		;
					−		10									0																13									−		!
					−										4												−											3				1
															−																−		!					3				1
															1														2			4	!
5) не существует; 6)															14						;			7)					3			6 .
											!;															!												!.
14. 1)				5					8					2)			8							4			;		3)					8		−	22
14. 1)				8				−3						2)			4				−8						;		3)				16			−	4
								−													−
15. 1)			M11 = 4,								M12 = 3,						M21 = 2,											M22 = 1;								2) M11 =
		1	2												0			2																		0	1
																								= −4, M13															= − 2,
=		0 1				= 1, M12								=	2 1									= −4, M13									=			2 0			= − 2,
				0				5												1				5														1	0
																														−
				0 1																2 1										−								2 0

M21 =										= 0,				M22 =													= 9,						M23			=						= 0,
				0				5			−												1															0 1
				1 2							−												0 2															0 1
																										5												1	0
M31 =									= 5, M32																					= 2,			M		33	=						= 1;
																	=													= 2,			M			=						= 1;
3) M = 1, M = 3,																															1, M
		11				−						12			−					M			13			=					1, M			21		= 0, M				= 0,
		11				−						12			−								13					−						21						22
M		=		1, M						= 1, M						= 2, M											= 1.
M	23	=		1, M						= 1, M					32	= 2, M										33
	23		−						31						32											33													4			6	!,
16. 1) −3, 5; 2) −3, 2; 3)																				−3,					2.				17. AB =										4			6
16. 1) −3, 5; 2) −3, 2; 3)																				−3,					2.				17. AB =									−1			15
\|A · B\| = 66, \|A\| = 11, \|B\| = 6. 18. A · E = E · A = A.
19. A = E .								20. Не являются.																21.				Матрица A имеет обрат-
ную матрицу, так как \|A\| 6= 0. Матрица B не имеет обратной
потому, что \|B\| = 0.														22. 1)						1					2			3			!; 2) A−1						не существу-

																				2					0			1
											1			5		8			.
ет;		3)		1							1			7	−4										23. 1)								3			2	;
ет;		3)								−	1			7	−4										23. 1)												;
										−	5		−			4																	0 10 !
			−12								5		−1			4																	0 10 !

	3	10		2		0				1	−1	2	3	!		1	2
2)	0	1		1		12		; 3)		1	−1	2	3		; 4)	0	2	;
		−0															−0
	0	−0		36	279					0	−1	1	2			0	−0
	1	−	2		1	−	4
5)	0	−	11		0	−	11			24. 1) x2 + 6xy + 3y2 ;
5)	0		11		0		11		.	24. 1) x2 + 6xy + 3y2 ;

00 −33 −33

2)x2 + 4xy − y2 . 25. 1) x = −2, y = 1; 2) x = 1/4 , y = 5/4 .

1.3. Системы линейных алгебраических уравнений

26. Не являются. 27. Является. 28. 1)																					= 17 6= 0, вы-
числяем					1	=			2 = 17. По формулам Крамера находим
x =			1	= 1,				y =			2	= 1; 2)					= 0, поэтому формулы
x =				= 1,				y =				= 1; 2)					= 0, поэтому формулы
Крамера неприменимы.
29. 1) x = 2, y = 1;											2) и 3)				x = 1, y = 0.
					2			0	1				x					3
					1			3	−0		z						−2
30. 1)					0			2	3		y					=		1		;
2)						−											−
2)			0				2 1 y						=			3 ;
					1		1		0			x				3
					3		3		0 z				3
						−
					5		3		4				x			=	7	.
3)					2	−2			3		y					=	3	.
При					8		5		−7			z					1
При
		соответствующем обозначении матриц, системы можно
записать как уравнение AX = B .
31. 1)			A−1 = −							3		5	!, X =					1	!;	2)		A−1 =
31. 1)			A−1 = −						−	2	−3		!, X =					2	!;	2)		A−1 =
1					5	1			−					1						1		2	3
1					5	1								1						1		2	3
=					2 3		!		, X =					1	!; 3) A−1				= −			−3	−1 !,
=	17		−		2 3		!		, X =			−		1	!; 3) A−1				= −		11	−3	−1 !,
			−									−										−

!; 4) A−1

X =

4 2

X =

−

5) A−1 =

−9

−5

−2

X =

9/7 .

−21

12/7

−3

11/7

−

32. 1) x = 1, y = 1,

1 =

2 = −17, A−1 = −

−2

−3

−

2) x = 2, y = −1,

= 7,

1 = 14,

2 = −7, A−1 =

4 1

33. 1) x = 2,

y = 3,

z = 2; 2) x = −4 − t,

7−3 1

y = 2 − t, z = t; 3) система несовместная; 4) x = −4, y = 1,

z = −3.										3				1	1		−		1					3
34. 1)			1		2					3	!;	2)		1	1				1					3	!;
34. 1)			2	−1						5	!;	2)		2	−3				5				−1		!;


3)	1		2		3					3	.	35. 1)		(										2)	(		x − y + z = 7,
3)	1		0		1					1	.	35. 1)			x − 5y = 1,									2)			x − y + z = 7,

				−													y = 7;												2y		3z = 2;
	3		1		0					2																				−
					−			z	= 9,				x + 5y + z =									−		2,
3)	x + 2y + 3											4)										−
3)				5y				z = 3,				4)			2y + 7z = 1,

						2z = 4;										y + 2z = 5.
						2z = 4;										y + 2z = 5.
36. Равносильны, имеют одинаковые решения: z = 0,
	1		, x =		3		.		37. 1)			z = t,		y = 1 + t,							x = 7 − 5t; 2) z = t,
y = −
y = −		2				2
x = t, y = 3t − 2; 3) z = t, y = w , x = 7 + 5w − 4t.
38. 1) x = 1, y = 2, z = −3; 2)															2		1			t, y =					8		5		t, z = t;
														x =			+									−
														x =		3	+	3							3	−		3

3) система несовместная. 39. 1) z = t, y = 11, x = −18 − t; 2) z = t, y = −1 − t, x = −4 − 9t; 3) x = y = 1.

2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

2.1.Прямая линия на плоскости

40.y = −2. 41. x = 1. 42. 1) y = 3x − 5; 2) y = −2x + 7; 3) y = −3; 4) x = 2; 5) y = 2x − 1; 6) 2x − 3y + 15 = 0;

7) y = −3x + 2. 43. 1) (−2; −3); 2) (1; 3); 3) обе точки при-

надлежат прямой.																44. 1) y = 3x − 3; 2) y = 3; 3) x = 2;
																						1
4)	4x − 3y + 1 = 0.															45. 1) y = 3 −										(x + 2); 2) x = −2;
4)	4x − 3y + 1 = 0.															45. 1) y = 3 −								3		(x + 2); 2) x = −2;
3) y = 3; 4) 3x + 4y − 6 = 0.
47. 1)			tg ϕ = 2, ϕ												≈			63,4◦ ; 2)				tg ϕ =								3, ϕ					≈	108,4◦ ;
															≈											−π									≈
3)	tg ϕ = 0,					ϕ = 0; 4)													tg ϕ = ∞, ϕ =														. 48. (0; −2),					(3; 0).
3)	tg ϕ = 0,					ϕ = 0; 4)													tg ϕ = ∞, ϕ =										2				. 48. (0; −2),					(3; 0).
49. 1)			(1; 1); 2)										(0,5; 1); 3)									(2; 2); 4)										(−1; 3). 50.						A(1; 1),
B(2; 3), C(2/5; 7/5).																			51. AB : y = 2,											AC : x = 1,
						3													. 52. 1) k1 = 2, k2 = 1, tg ϕ = 1/3;
BC : y = 2 −											(x − 3)
BC : y = 2 −								2			(x − 3)
2) k1 = 1, k2 = 0, tg ϕ = 1; 3) k1 = 1, k2 = ∞, tg ϕ = 1.
53. y = 2x + 3,															A1				– выше, A2 – на прямой, A3																			– ниже,
A4	– выше, A5 – ниже, A6 – на прямой.																																		54. y = −			1	x +		3	,
A4	– выше, A5 – ниже, A6 – на прямой.																																		54. y = −			2	x +	2		,
y = −2x −							3		.				55. x = 3.									56. kM1M3 = −3, kM2M4 =																			1	,
y = −2x −							2		.				55. x = 3.									56. kM1M3 = −3, kM2M4 =																		3		,
kM1M3			· kM2M4 = −1.																57. d = 0,277.											58.					d = 2,219.
59. 1)						4							(x − 2); 2) y = 4 −													5				x; 3)						7		(x + 3);
			y = 5 +																																y = 1 +
			y = 5 +									5															4								y = 1 +		8

	3		257			; 5)													4							3									cos C = −r					9
4)				;											y =						x + 4; 6)			√									; 7)									,
		17			68															5																				10
		17			68															5								41												10
													23									11								7
cos BMC =												√					.		60.			P			; −									– точка пересече-
																							5								5
														565									5								5
ния перпендикуляра, проходящего через точку M , с заданной
						17										19			.
прямой. M1													; −
прямой. M1										5			; −			5

2.2. Кривые второго порядка

Парабола
61.	6x = y2.	62. 1) p = 3; 2) p = 5; 3) p = 3; 4)	p = 0,5.
63.	1) p = 2,	F (−1; 0), x = 1; 2) p = 4, F (0; 2), y = −2;
3) p = 3, F (1,5; 0), x = −1; 4) p = 8, F (0; −4), y = 4.
64.	x2 = −12y . 65. y2 = 12x. 66. y2 = −28x.		x2 = −0,5y .
67.	1) y2 = 4x; 2) y2 = −4x. 68. 1) x2 = 0,5y ; 2)

69.1) O1(0; 0), O2(−1; 2); 2) точек нет.

70.y = 4 − x, y = x + 1.

Окружность

71.

1) (x − 1)2 + (y − 2)2 = 1; 2) (x + 1)2 + (y − 1)2 = 9.

(0; −1 + √

O2(0; −1 −

√

72.

Oy : O1

3),

3);

√

O4(1 −

√

Ox : O3(1 +

3; 0),

3; 0).

Эллипс

73.

= 1; 2)

= 1; 3)

= 1;

100

= 1.

74. 1)

= 1; 2)

= 1;

100

= 1; 4)

= 1. 75. a = 5, b = 4, F1(−3; 0),

100

, x = ±

76. 1) верхняя половина эллипса

F2(3; 0), ε =

= 1; 2) левая половина эллипса

= 1.

77.

Эллипс

= 1. 78. Эллипс

+ y2

= 1.

79.

y = x + 2,

y =9 2 − x.

Гипербола

80.

−

= 1; 2)

−

= 1; 3)

−

= 1;

−

= 1.

81. 1)

−

= 1; 2)

−

= 1;

	y2		x2			y2		x2
3)		−		= 1;	4)		−		= 1. 82. 1) на оси Oy ;
	64		36			64		36

2)на оси Ox; 3) на оси Ox; 4) на оси Oy ; 5) на оси Ox;

√√

6) на оси Oy .

83. a = 3,

b = 5, F1(0; − 34),

F2(0; 34),

√

84. Эллипс, a = 2,

ε =

34/3, x = ±9/ 34,

y = ±

√

b = 3, F1(0; − 5), F2(0;

5), ε =

5/3,

y = ±9/

85. Ги-

пербола, a = 3, b = 2,

F1(−√

13;

0),

F2(√

13;

0),

ε =

√

/3,

x = ±9

√

13, асимптоты: y = ±2x/3.

86. Парабола, p = 4,

F (2; 0),

ε = 1,

директриса: x =

−

2. 87. 1) верхние части вет-

вей гиперболы

−

= 1; 2) нижние части ветвей гиперболы

−

= 1; 3) левые части ветвей гиперболы

−

= −1;

4) правые части ветвей гиперболы

−

= −1.

2.3. Кривые в полярной системе координат

2π

5π

88. M1

, M2

M5 2;

3√3

√2

11π

, M7

√

M8(1; π),

M9(1; 0),

M10

5; arctg

89. M1(2; 0),

;

, M3

;

, M4(0; −2),

M5(−2; 0),

√

M6(0; −1), M7(− 3; 1),

M8(

2; − 2),

;

√

, M10(0; −3).

−

3π

90.

M1(2; 0), M2

M5 (2; π),

5π

2π

M6 1; −

, M7

, M8

2; −

, M9

M10

3; −

ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ получаем уравне-

91. 1) при замене x = 1

−

ние ρ = 1;

2) при замене x = ρ cos ϕ, y = 1 + ρ sin ϕ получаем

уравнение ρ = 1;

3) парабола: p = 6, F (3; 0), ε = 1. Фор-

мулы перехода: x = 3 + ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ, полярная ось

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]