Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник задач по высшей математике. Часть 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

абсциссу точки, её скорость и ускорение в моменты времени t1 = 2c и t2 = 5c. Определить моменты времени, когда усилие, действующее на точку: 1) равно нулю; 2) максимально.

226. Материальная точка движется вдоль оси Ox по за-

кону x = x(t), t1

и t2 два момента времени:

1) x(t) = t2 +

+ 2t + 3, t1 = 0, t2 = 1; 2)

x(t) = 3t

−

, t

= 0, t

= 3;

3) x(t) = 2 sin t,

t1 = 0, t2 =

; 4) x(t) = 1 − cos t, t1 =

t2 = 2 . Вычислить среднюю скорость за промежуток време-

ни [t1; t2]. Вычислить мгновенную скорость точки в моменты времени t1 и t2 .

227.Найти координаты материальных точек, движущихся по законам x1(t) = t2 − 6t + 1 и x2(t) = −3t2 + 2t − 7, в момент времени, когда их скорости совпадают.

228.Найти производную функции: 1) y = 3x5 ;

y = π cos 3 · ln x;

y = e−3 · cos x; 4)

arccos x;

y =

y = 7 cos x − π tg

3x;

6) y = e3 ln x − 5x3

2 ;

y = 4x4

√x − 3

√

; 8) y = 5x5 −

√

;

x−2

√

√x

x3 + √x +

√3

y =

; 10) y =

x−3

x√x

x3 −

229. Найти производную функции:

y = 2x2√x − 3√x3 + √x√x − 5; 2) y = (3 − 2x) ln x;

y = (2 − sin x)(1 + cos x); 4) y = ex sin x; 5) y = 3x2 · sin2 x;

y = x ln x + x; 7)

y = x2 arcsin x; 8) y = (x2 + 2x − 3) ln x;

y = ex arcsin x; 10) y = √

sin x;

11) y = sin x · ln x;

12) y = √

ln x; 13) y = (3x2 − 5)(5x2 + 8);

14) y = √

arcsin x;

15) y = ln2 x.

230. Найти производную функции:

1) y =

x + 2

;

3 − x

3 + 5x

2) y =

; 3) y =

; 4) y =

x − 5

;

x − 2

(x − 1)2

x2 − x − 2

y =

; 6) y =

; 7) y =

; 8) y =

x2 + 1

x2 − 1

1 − x2

231. Используя калькулятор, вычислить производную функ-

ции в точке x = x0 : 1)

= 1; 2) y = ex sin x,

y =

, x0

cos x

x2 + 1

= 0; 3) y =

, x0

= π ; 4) y = x ln x, x0 = 1;

1 − sin x

5) y =

1 − cos x

, x0 = 0;

6) y = x2ex , x0 = 0; 7) y = x arctg x,

1 + sin x

= 1; 8) y =

arcsin x

x0 = 1; 9) y = x cos x, x0 = 0.

232. Найти функцию y(x) по заданной производной y′(x).

Сделать проверку: 1)

y′(x)

= cos x;

2) y′(x) =

cos 2x;

y′(x) =

;

4) y′(x) =

; 5)

y′(x) =

;

6) y′(x) =

cos2 x

1 + x2

=−x1 ; 7) y′(x) = sin 3x; 8) y′(x) = sin 5x; 9) y′(x) = e2x .

233.Проверить, что данная функция обращает указанное уравнение в тождество:

y = 3e−2x + e−x , y′ + 2y = e−x ;

y = x − x2 , y − xy′ = x2 ;

sin x

y′ − y tg x =

y =

cos2 x

234. Найти вторую производную функции:

1) y = xex ; 2) y = x · cos x;

3) y = x · arctg x;

4) y = x2 ln x; 5) y =

x + 1

x − 1

x3 ln x

5x3

235. Проверьте, что функция y =

−

обращает

уравнение y′′ −

y =

x в тождество.

4.2. Дифференцирование функции от функции

236. Применив цепное правило, вычислить производную

функции:

√

5) sin √

sin 3x;

sin3 x;

sin x3 ;

;

sin 3x

cos √

+ √

;

ln(1 + sin x);

8) ln(1 + 2 sin xt);

sin x

9) ln(1 + x sin x);

10) ln 1 +

; 11) x2 ln 1 + x2

;

12) e2+3x ;

13) e2+x2 ;

14) ex2−3x+2 ;

15) e2+√

;

16) e2+x ln x ;

17) ex sin x ;

18) sin(sin x);

19) sin(ln x);

20) sin(cos x);

21) sin(x cos x);

22)

sin

cos x

;

23) sin

;

24) arctg(sin x);

25) sin(arctg x);

x + 1

26) arctg(ln x);

27) arcsin(ln x).

237. Используя калькулятор, вычислить производную функ-

ции в заданной точке:

y = arctg3 x, x0 = 1;

2) y = cos(ln x),

x0 = 1;

y = cos x · e−x2+x3 , x0 = 0.

238. Найти производную функции:

1) ln(x + √

ex − e−x

;

x2 + 1);

arcsin x + arccos x.

ex + e−x

239. Используя равенства

cos(arccos y) = y , tg(arctg y) = y ,

sin(arccos y) = p1 − y2 , cos2

α =

доказать:

1 + tg2 α

(arccos y)′

−1

;

(arctg y)′

1 + y2

p1 − y2

4.3. Логарифмическое дифференцирование

240. Вычислить производные следующих функций:

1) y = xsin x ; 2) y = (cos x)sin x ; 3) y = xarctg x ;

(x − 1)3(5 − x) 4) y = (2x + 3)(x2 + 1) .

4.4. Производные неявной функции

241. Доказать, что данные формулы задают одну и ту же кривую:

1)	x2		−	y2	= 1 и x = 2 cos t, y = 3 sin t;
		4		9
2)	3x − y2				+ 6 = 0 и x =	t2
							− 2, y = t;

√√ 3 4

3)x + y = 1 и x = cos4 t, y = sin t.

242.Найти производную yx′ функции y , заданной неявно: 1) 6x + 2y − 12 = 0; 2) 2x2 + 5xy − y2 + x + 3y − 5 = 0;

3) x3+xy2−x3y+5y3+x−y+2 = 0; 4) xey +y2e−x−3e = 0;

−

= 1; 6)

−

= 1; 7) 2y2 − 4x + 3 = 0;

ex+y − ln(x − y) = 0;

9) cos(2x + 3y) − y2 = 5.

243. Найти вторую производную

d2y

функции y(x), за-

dx2

данной неявно:

2xy + y2 − 3x + 5y − π = 0; 2)

sin x − cos y + 1 = 0.

4.5. Производные параметрической функции

244. Найти производные	dy	и	d2y	от функции y(x), за-
	dx		dx2
данной в параметрическом виде:		x = 3 cos2 t, y = 2 sin2 t.

245. Найти первую и вторую производные dy и d2y от dx dx2

следующих функций, заданных параметрически:

√

1) x = t, y = t3 + 2t2 − 3; 2) x = ch t, y = sh2 t;

3) x = 0, 5t2 + t, y = tet ; 4) x = arcsin t, y = ln(1 − t2).

246. Написать уравнение касательной и нормали к кривой, заданной неявно, в данной точке M(x0, y0):

1)x2 − 2xy − y2 + 2x − 3y + 11 = 0 в M(1; 2);

2)(y − 1)2 = 4x + 12 в M(1; −3);

4x2

9y2

√

= 1 в M(2; 1);

−

= 1 в M(3

10; 6).

247. Написать уравнение касательной и нормали к кривой, заданной параметрически, в данной точке:

1)x = 4 cos2 t, y = 8 sin2 t в M(1; 2);

2)x = 2t3 + 3, y = t2 + 3t − 5 в M(19; 5).

4.6. Дифференциал функции

248. Используя таблицу производных, найти дифферен-

циалы следующих функций:

y = −3x2 + x + 3;

2) y = √

;

x2 − 3

3) y = sin ln x;

y = ln(x2 + 1);

y = sh x;

y =

;

x + 1

x − 2

y = cos3 x; 8)

y =

;

y = arctg2 x;

10) y = sin(1 + x2); 11) y = ch 3x;

12) y = x tg x2 .

249. Проверить справедливость равенства

√

= 0

при xy = 1.

1 + x4

1 + y4

250. Вычислить приращение и дифференциал функции при данных величинах x0 и x:

1)	y = sin x, x0 = 0,	x = 1, 05	;
2)	y = x2 , x0 = 1,	x = 0, 5;
3)	y = ex , x0 = 0,	x = 1;
4)	y = ln x, x0 = 1,	x = 1, 72.

251. Считая y ≈ dy в точке x0 = 0, вывести справедливые для малых x следующие формулы линейного приближения:

1)	sin x ≈ x; 2)	tg x ≈ x; 3)			ex ≈ 1 + x;
4)	ln(1 + x) ≈ x;	5)		m		m
			(1 + x)	n	≈ 1 +		x.
						n

252.Используя формулу линейного приближения функции, оценить максимальную погрешность при вычислении значения выражения ln(1+3x) при x = 0, если аргумент x задан приближенно x = ±0,02.

253.Используя формулу линейного приближения функции, оценить максимальную погрешность при вычислении значения выражения x5 + 3x3 − 12 при x = 1, если аргумент x задан приближенно x = 1 ± 0, 01.

254.Вычислить значение данного выражения двумя способами: а) используя калькулятор и б) используя формулу линейного приближения функции.

1) (1,001)56 (взять x = 1); 2) √16,012 (взятьx = 9);

3)(15,95 ) 4 (взять x = 16);

4)sin(0,492) (взять x = π6 ; π ≈ 3,14159; √3 ≈ 1,73205).

255. Радиус круга измерен с точностью 4 ± 0,002 м. Используя формулу линейного приближения, оценить, какова будет максимальная ошибка при вычислении

1) площади круга; 2) длины окружности.

256.Приближенно измеренный радиус шара оказался равным 1±0,02 м. Используя формулу линейного приближения, оценить, какова будет максимальная ошибка при вычислении площади поверхности (S = 4πR2) этого шара. Для расчётов взять π ≈ 3,142.

257.Приближенно измеренное ребро куба оказалось равным 2±0,005 м. Используя формулу линейного приближения, оценить, какова будет максимальная ошибка при вычислении объёма куба и площади поверхности куба.

4.7. Правило Лопиталя

258. Проверить справедливость формулы Лагранжа о при-

ращении функции для

1) y = x2 ,

x [0; 2];

2) y = x2 ,

x [−1; 0];

3) = x3 , x [−1; 1].

259. Используя правило Лопиталя, вычислить пределы:

lim

x3 + 2x2 − 4x − 8

; 2)

lim

ln x

; 3)

lim

ex − e−x

;

2x3 − 4x2

x→2

4x2

x→1 ex − e

x→0

sin x

lim

arctg x

;

5) lim

;

lim

sin x − cos x

;

sin x

x→0

x→0 1 − cos 2x

x→π/4

ln tg x

lim

ln sin x

;

8) lim

sin(x − 1)

;

9) lim

ln(x2 + 1)

2x − π

x→π/2

x→1 ln(2x − 1)

x→0

(arctg x)2

260. Используя правило Лопиталя, вычислить пределы:

lim

cos x

; 2)

lim

(π

2 arctg x);

− sin x

−

x→0

x→∞ 2

lim

; 4)

lim

cos x

;

x − 1 − x + 1

x→−∞

x→0 sin 2x − 2x

lim

cos

lim ln x

;

x→∞

; 6) x→∞

· x − 1 − x + 1 x2

lim

(sin x)

;

lim (cos 5x)x ;

9) lim

x→0

8) x→0

x→0 x2

261. Написать уравнения горизонтальной асимптоты для функции:

f(x) =

x + 1

при x → +∞;

x + 2

f(x) =

x2 + 5x + 7

при x → −∞;

2x2 + 3

f(x) =

при x → +∞;

x2 + 2

f(x) =

2x2 + 3x − 5

при x

→

∞

4 + x

−

7x2

262. Написать уравнения горизонтальных и вертикальных

асимптот функции:

при x → +∞; 2)

при x → +∞;

y = 1 +

y = 1 −

− 1 при x → −∞;

y =

4.8.Приложение дифференцирования

кзадачам геометрии и механики

263.Найти острый угол между касательными к параболе

y = 2 + x − x2 , проходящими через точки на кривой M1(1; 2)

иM2(2; 0).

264.Найти две касательные к параболе y = x2 + 16, проходящие через начало координат.

265.Найти точку пересечения касательных, проведенных к параболе y = x3 − 3x + 1 в точках M1(1; −1) и M2(−1; 3).

266.Найти уравнение касательной, проведённой к параболе y = x2 − 2x, параллельно прямой y = 2x + 3.

267.Найти уравнение касательной к параболе y = x2 −2x, которая перпендикулярна прямой y = 2x + 3.

268.Найти расстояние от точки M(2; 3) до касательной, проведённой к параболе y = x3 + 3x2 − x − 2 в точке касания

N(1; 1).

269.Найти угол между кривыми y1(x) = x2 − 3x − 4, y2(x) = −x2 + x + 2 в их точке пересечения.

270.Под каким углом пересекают ось Ox синусоиды:

1)y = sin 2x; 2) y = sin x в точках M1(0; 0) и M2(π; 0)?

271.Под каким углом и в какой точке касательная к кривой y = 3−3x2−x3 , проведённая в точке M(1; −1), пересекает ось Ox?

272.К какому классу монотонных функций принадлежит производная функции? Функция представлена на рис. 1.

273.К какому классу монотонных функций принадлежит производная функции? Функция представлена на рис. 2.

Рис. 1

Рис. 2

274. Дать эскиз графика любой функции y(x), заданной на интервале [1; 3], для которой

1) y(1) = 2, y′(1) = 1; 2) y(1) = 2, y′(1) =	−	1;
	−

3) y(1) = 2, y′(1) = 0.

275. Изобразить на графике любую пару дифференцируемых функций y1(x) и y2(x), для которых

1) y1(2) = y2(2), y1′ (2) = 1, y2′ (2) = −1; 2) y1(2) = y2(2), y1′ (2) = 0, y2′ (2) = 0;

3) y1(2) = y2(2), y1′ (2) = 1, y2′ (2) = 1;

√

4) y1(2) = y2(2), y1′ (2) = 1, y2′ (2) = 3. Cколько таких пар функций существует?

276.Секущая графика параболы y = x2 − x проходит через точку M0(−1; 2) параллельно касательной, проведённой к параболе в точке M1(1; 0). Найти точку пересечения секущей

ипараболы.

277.Материальная точка движется по параболе y2 = 2x так, что скорость изменения ординаты y˙ = 3 м/c. Найти мгно-

венную скорость изменения абсциссы в точках M1(2; −2) и

M2(2; 2).

278. Найти на гиперболе x2 − y2 = 1 точку, в которой мгновенная скорость ординаты:

1)в 2 раза больше скорости абсциссы;

2)равна скорости абсциссы ;

3)в 2 раза меньше скорости абсциссы.

279. Точка движется по эллипсу x2 + y2 = 1 так, что

16 4

скорость изменения абсциссы x˙ = −5 м/c. Найти мгновенную скорость изменения ординаты в точках M1(0; 2) и M2(0; −2).

280. Материальная точка движется вдоль оси Ox по закону x = t3 − 3t2 + 2, t > 0. Найти моменты времени, в которые

1)скорость точки равна нулю;

2)сила, действующая на точку, равна нулю;

3)точка меняет направление движения. Определить направление движения в моменты времени t = 1 с и t = 3 с.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]