Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник задач по высшей математике. Часть 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

направлена вдоль оси Ox, полюс совпадает с фокусом. После

подстановки в уравнение получаем ρ2 sin2 ϕ = 36 + 12ρ cos ϕ,

или ρ2 − ρ2 cos2 ϕ = 36 + 12ρ cos ϕ, или ρ2 = 36 + 12ρ cos ϕ +

+ ρ2 cos2 ϕ = (6 + ρ cos ϕ)2 . Разрешая это уравнение относи-

тельно ρ, получаем полярное уравнение параболы ρ =

;

1 − cos ϕ

4) парабола: p = 12,

F (0; −6),

ε = 1. Формулы перехода:

x = ρ sin ϕ, y = −6 − ρ cos ϕ, полярная ось направлена из фо-

куса параллельно оси Oy в противоположном направлении.

Подставив в уравнение, получаем ρ2 sin2 ϕ = 144 + 24ρ cos ϕ,

или ρ2 − ρ2 cos2 ϕ = 144 + 24ρ cos ϕ, или ρ2 = 144 + 24ρ cos ϕ +

+ ρ2 cos2 ϕ = (12 + ρ cos ϕ)2 . Решая это уравнение относитель-

но ρ, получим полярное уравнение параболы

;

ρ =

1 − cos ϕ

5) эллипс, вытянутый вдоль оси Oy : a = 3, b = 2, c = √

√

ε = √

/3, F1(0; − 5), F2(0;

5). Формулы перехода: y =

= − 5 + ρ cos ϕ, x = ρ sin ϕ, полярная ось направлена вдоль

оси Oy , полюс в фокусе F1 . При подстановке в уравнение по-

ρ2 sin2 ϕ

5 − 2√

ρ cos ϕ + ρ2 cos2 ϕ

= 1. Приводим

лучаем

к общему знаменателю и освобождаемся от sin2 ϕ, получа-

ем 9ρ2 − 9ρ2 cos2 ϕ + 20 − 8√

ρ cos ϕ + 4ρ2 cos2 ϕ = 36 или

9ρ2 = (√

ρ cos ϕ + 4)2. Решая это уравнение относительно ρ,

4/3

получим полярное уравнение эллипса

ρ =

1 − √

/3 · cos ϕ

;

√

6) гипербола: a = 4, b = 5, c =

41,

ε =

, F1(− 41; 0),

F2(√

0). Формулы перехода: x = √

+ ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ,

41;

полярная ось направлена вдоль оси Ox и совпадает с ней по

направлению. При подстановке в уравнение получаем:

41 + 2√

ρ cos ϕ + ρ2 cos2 ϕ

ρ2 sin2 ϕ

= 1. Приводим к обще-

−

му знаменателю и освобождаемся от sin2 ϕ. Получаем 1025 +

√

+ 50 41ρ cos ϕ + 25ρ2 cos2 ϕ − 16ρ2 + 16ρ2 cos2 ϕ = 400 или

√

16ρ2 = (25 + 41ρ cos ϕ)2 . Найдя из уравнения ρ, получим

полярное уравнение гиперболы ρ =

25/4

√

1 − 41/4 · cos ϕ

92. 1) x2 + y2 = 1; 2)

= arctg

x2 + y2

; 3)

x2 + y2 =

= 3 + arctg

; 4) (x − 1)

+ y

= 1; 5) (x + 1)

+ y

= 1

;

x2 + (y − 1)2 = 1; 7) x2 + (y + 1)2 = 1;

4π

x2 + y2 + x =

x2 + y2 ; 9)

+ y2 − y =

x2 + y2

93. 1) M1

1, 5;

1, 5; 3

; 2)

√2;

M2(0; 0);

M1(0; 0), M2

√

; 4)

√

, M2

√

2; −

2.4. Векторная алгебра

94. 1) ~e1 = {1; 0}, ~e2 = {−1; 0}; 2) ~e1 = {0; 1}, ~e2 = {0; −1};

~e1 =

;

95. 1)

~e1 =

0; 1

~e2

n√5

√5o

{

}

n−√5

−√5o

{ 1

}

= {0; −2

}

{−

}

n√5

−√5o

; 2)

1; 0

, ~e

1; 0

; 3)

;

~e2 = n−

√

;

√

97. 1) {−9; 18; 19}; 2) {4; 5; 4}; 3) {−1; 19; 2}.

1); 5); 6).

−−→

{

5; 1

}

, D(8; 5); 2)

−−→

{

2; 1;

−

}

98.

99.

BC =

−

2 −

−

3 2

n√14;

(5;

3).

100.

(

2; 2)

, D

(2; 4)

(4; 0).

101. 1)

√−14

;

√

o; 2)

√

; 0; −

√

o; 3)

√−14

;

√

;

√

−

Да, так как 2−−→

−−→

−−−→

√

x =

102.

AB = AC

AB =

AD.

103.

y = −4, z = 11; 2)

x = y = 1.

104. 1) 5; 2) 2 5 ≈ 4, 47;

√

прAC −−→

≈

3, 61; 4) 4; 5) 3; 6) 2; 7)

≈

5, 38.

√

105.

AB =

−−→

= 6

10, 39; пр

; пр

◦

2, 196

;

≈

BC = 6

BC = 6 2 cos 75

≈

−−→

AC −−→

прAB

AC = 6(1 +

√3)√3/2

≈

14, 196.

106. пр

AB =

;

−−→

AB −−→

AC (−−→

−−→

пр

−−→

; пр

107. пр

−−→

;

AB =

−

BC = 0.

−

MB) = 3

−−→

прCA

(−−→ −−→

108. C(5/3; 1; 3).

−−→

−

MB) =

−

109. B(9; 5; −11).

110. C(1; 3).

111. C(−3; −5).

112. 1)

= 18 н,

= 18√

н,

= 18 н; 2)

= 24 н,

Fy = 24 н, Fz = 24√

н; 3) Fx = 12√

н, Fy = 12 н, Fz = 12 н.

1) пр~u

→−

~u →−

−

→−

113.

F =

7√2

н; 2) пр

F =

н; 3) пр

F = 4 н;

4) пр~u →−

√

Fx = 3, Fy = −2, Fz = 5.

3 н.

F = 3

114.

115. 1)

MAD

; 2) −2√11; 3)

{5; −2; 5};

;

−−→

√

−−→

√

√9 + 49 + 1 = 59,

= √36 + 4 + 4 = 44,

√

| |−−→| ·

−−→|

|−−→| · |−−→|

59 · 44.

Скалярное произведение векторов

116. 1) 0; 2) 9; 3) 20.

117. Вектор

перпендикулярен векто-

рам

118.

t = 6.

119. 1)

{−5; −14; 9}; 2) {−6; 3; 0}.

c и

2−√95

→−

28 ≈

120. 1) 0; 2)

cos α =

121. 1)

пр

F =

0, 82;

F =

0, 397; 3) пр F = 0.

122. cos α =

2) пр~b →−

≈

~c →−

√11

cos β =

−2

cos γ = 0.

123. 0.

124. 1)

−

4; 2) 0.

√11

Векторное произведение векторов

; 3)

;

125. 1) −50; 2)

i − 3j + k

−i − j + k .

126. 1) −i − 8j + 3k

; 4)

;

5i + j − 2k

; 3) −5i − 14j + 2k

−6i − 9j + 5k

5√

√

−2i − 3j + 6k .

127.

i − 11j − 7k .

128. 1)

19; 2)

129. 1)

131.

−4i + 12j − 8k ; 2)

26i + 9j + 16k .

c = a × b. Все

векторы вида λ · c

, где λ – произвольное число. 132. a × b =

−

1 −

− −

−

1 2 3

= ~i

−2 3

1 3

+ ~k

1 −2

− −

~ ~

6) + k(

1 + 4) = 5i+ 7j + 3k , e

i(2 + 3)

−

|a × b|

= √83i

√83j + √83k ,

− = −e+ .

−−→

{ − }

−−→ −

133.

AB =

0; 0;

−−→ { − − } −→ −−→×

−

AC =

1 , N = AB

AC =

i. 134.

23i + 5j

16k .

Смешанное произведение векторов

−

135. ~a~b~c =

(6 + 0

10) = 13.

= 5 + 0 + 4

−−→

136.

1; 1; 2

1; 1

= b,

AB =

{−

}

= a,

AC =

{

−

AD =

15}

−−→

= {1; 2; 2} = c, a b c = 15, V =

| a b c | =

6 =

2 ; 2)

~ ~~

AB =

= {3; −1; −2} = a, −−→

{ − }

−−→

{ − }

AC =

1; 3

AD =

3; 1

= b,

= c

~ ~~

a b c = 18

, V =

| a b c |

= 3. 137. Да, так как

a b c = 0.

138. Да.

2.5. Плоскость и прямая в пространстве

139. 1) 3(x−1)+2(y+5)−1(z−3); 2) 2(x−1)−7(y+5)+1(z−3);

−

x − 1 y + 5

z − 3

3) 7(x

7(y + 5) + 7(z

3); 4)

−

2 10

= (x − 1)

− (y + 5)

−

+ (z − 3)

−

3) = 0.

= 7(x

1) + 2(y

+ 5) + 34(z

140. 1)

−18x + 8y − 12z = 0; 2)

x − 2 = 0;

z + 1 = 0;

4) 6x − 2y − 3z + 6 = 0.

141.

Первая пара параллельны, чет-

вертая, пятая и шестая перпендикулярны.

142. P (2; 5; 1).

143. 1)

3; 5

}

{

1; 0;

}

, cos α =

~n1 · ~n2

−13

{ −

−

|~n1||~n2|

;

2) cos α = 0.

144. Нормальный вектор к заданной

√380

плоскости ~n = {2; −3; 4}. Вектор

k = {0; 0; 1} является нор-

малью к плоскости Oxy , соответственно, вектор

j = {0; 1; 0}

нормаль к плоскости Oxz , а вектор i = {1; 0; 0} нормаль

к плоскости Oyz . Следовательно, cos ϕ =

√

с плоскостью

√29

Oxy и осью

Oz , cos ϕ =

−3

с плоскостью Oxz и с осью Oy ,

cos ϕ =

√

с плоскостью Oyz и с осью Ox. 145. 1) d =

√

;

2) d =	\|x0	+ y0 − 2z0 + 3\|	=	11	. 146. 1) x = 3+3t, y = 1+2t,

		√6		√6

z = 2−t; 2) x = 3+t, y = 1−3t, z = 2+2t; 3) x = 3, y = 1+t,

z = 2; 4) x = 3, y = 1 + t, z = 2;	5) x = 3 + 2t, y = 1 − 7t,
z = 2 + t; 6) x = 3 − t, y = 1 − 2t,	z = 2.

147.Для параллельности прямых необходима коллинеарность направляющих векторов. Поэтому параллельны третья и четвертая прямые. Прямые перпендикулярны, если скалярное произведение направляющих векторов равно нулю. Поэтому взаимно перпендикулярны первая и седьмая прямые, вторая и третья, пятая и шестая, седьмая и восьмая прямые.

148.Находим направляющие векторы и угол между ними:

~ ~

~a =

{

3; 1;

}

, ~b =

{−

1; 1; 2

}

, cos α =

a · b

= 0;

~ ~

|a||b|

√

a = {2; 3;

6},

b = {9; 6; 8},

cos α =

;

181

−82

~a =

6; 2;

~b =

12;

4; 2

, cos α =

{

−

}

{−

−

}

√41√164

−

149. Необходимо найти точку, лежащую в обеих плоскостях. Векторное произведение нормалей плоскостей даёт направля-

ющий вектор.

~ ~

x = 0, y = −3, z = −4, a = n1

× n2 =

y + 3

z + 4

= 4i + 8j + 6k ,

= t; 2) x = y = z = 0,

a = −2j − 2k ,

−2

= t; 3) x = 0, y = −2, z = 3,

~a = ~i + 2~j

−

3~k ,

y + 2

z − 3

= t; 4) x = z = 0, y =

−

−3

y + 2

a = −4i + 19j + 13k

−4

= t.


150. Направляющий вектор прямой ~a						= {2; −1; −1} имеет с
√6									√6
осью Ox cos ϕ =	2	, с осью Oy и Oz				cos ϕ =			−1	.


4					1	18		; 2) плоскость
151. 1) пересекаются в точке P				; −		; −
			7		7		7

и прямая параллельны; 3) прямая лежит в плоскости; 4) плоскость и прямая параллельны; 5) пересекаются в точ-

ке P (−1; 3; −2). 152. Записываем параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M0 перпендикулярно заданной плоскости. Направляющим вектором служит вектор нормали к плоскости. Находим точку пересечения прямой с плоскостью P (1; 0; 2), которая и есть проекция точки.

153. Синус угла между прямой и плоскостью равен косинусу угла между направляющим вектором прямой и нормалью к

плоскости. 1)

a = {1; −2; 6}, n = {1; 3; 2}, sin α = cos(~a, ~n) =

α =

;

~ ·

~ = √41√11

; 2) a = {2; −1; 3},

n = {2; 3; 1}, sind

|a||n|

a = {2; −1; 3}, n = {2; −3; −1}, sin α =

154.

1) C(−3; 3; −3);

2) C(−15/2; 3/4; −3/4).

155. С плос-

костью x = 0:

x = 0, y = t, z =

t +

; с плоскостью y = 0:

x = t, y = 0, z = −

t +

; с плоскостью z

= 0: x = t,

, z = 0.

y =

t −

3. Введение в математический анализ

3.1.Функция

156.y(1) = 0,842; y(4) = 0,909; y(9) = 0,141; y(16) = −0,757.

157.y(1) = 0,9173; y(2) = 0,9536; y(3) = 0,3756; y(4) не существует. 158. ln 0 и ln(−1) не определены, ln 2 = 0,693147.

159.1) x 6= 1; 2) x < 1; 3) 0 6 x < 1; 4) (−∞; 0) (1; +∞).

160.1) x 6= ±1; 2) [0; 1); 3) (1; +∞); 4) (−∞; +∞).

161.1) [−2; 4]; 2) (0; 1); 3) (0; 1). 162. 1) [−3; 7]; 2) [−3; 7];

√

3) (1; 2); 4) (1; 2); 5) [0,5; 1]; 6) [2; 3]. 163. 1) утверждение верно; 2) неверно. 164. 1) y(−2) = −3; 2) y(−1,25) = 0,8; 3) y(0,2) = −1,6; 4) y(1) = −3; 5) y(2) = 1; 6) y = −1,

x1	= −1,7, x2 = 0, x3 = 1,7; 7)		y = −0,5, x1 = −1,6,
x2	= −0,2,	x3 = 1,8; 8) y = 0, x1 = −1,5, x2 = −0,35,
x3	= 1,9; 9)	y = 1, x1 = −1, x2 = 2	; 10) y = 1,5, x1 = 2,05.

167. 1) функции различны, так как у них разные области определения; 2) функции совпадают на указанной области определения; 3) функции различны, так как у них разные области определения; 4) функции совпадают на указанной области определения. 168. 1) функции совпадают на указанной области определения; 2) функции различны; 3) функции совпадают на указанной области определения; 4) функции различны; 5) функции совпадают на указанной области определения; 6) функции различны; 7) функции совпадают на указанной области определения.

169.1) четная; 2) четная; 3) четная; 4) нечетная.

170.1) нечетная; 2) нечетная; 3) четная; 4) нечетная.

171.1) четная; 2) общего вида; 3) общего вида; 4) общего вида; 5) общего вида; 6) четная; 7) нечетная; 8) общего вида; 9) четная; 10) общего вида; 11) четная; 12) четная; 13) четная; 14) четная; 15) нечетная; 16) четная; 17) нечетная; 18) четная; 19) четная; 20) четная.

172.1) x = 1,5; 2) x1 = −1, x2 = 2; 3) x1 = 1, x2 = 1,5; 4) x1 = 1,5, x2 = 2.

173.Составляем разность y(x1)−y(x2) = 2x1 −1−(2x2 −1) =

= 2(x1 − x2). Положительна, если x1 > x2 . Следовательно, функция y = 2x − 1 возрастает. Для функции y = 3 − 2x

разность y(x1) − y(x2) = 3 − 2x1 − (3 − x2) = 2(x2 − x1). При x1 > x2 разность y(x1)−y(x2) < 0, поэтому функция убывает. 174. 1) убывает; 2) убывает; 3) убывает; 4) немонотонна; 5) убывает; 6) возрастает; 7) немонотонна; 8) возрастает; 9) немонотонна; 10) убывает.

175. 1) sin(2 (x + 2π)) = sin(2x + 4π) = sin 2x, следовательно,

x + π

2π

2π период; 2) sin

= sin

= cos

6= sin

следовательно, π

3) sin 3 x +

не является периодом;2π

= sin(3x + 2π) = sin 3x, следовательно,

период.

176. 1) y = (x + 1)2 + 1, минимум функции равен 1 и достигается при x = 1; 2) максимум функции равен 7 и достигается при x = −2; 3) x2 + 2x + 2 = (x + 1)2 + 1, так как функция

ln x монотонно возрастает, тогда ln((x + 1)2 + 1) > ln 1 = 0,

значит, экстремум исходной функции равен 0.

√

177. 1) y

3 =

≈ 0,433, y(π) = 0,

y(e) ≈ −0,375;

2) y

0,479, y(π) = sin(

0,841, y(e) =

= sin 0,π

≈

−

≈ −

791; 3) y

= ln (π/3) ≈ 0,002, y(π) = 1,31, y(e) = 1;

= −0,π

4) y

= ln(ln(π/3)) ≈ −3,077, y(π) ≈ 0,135, y(e) = 0.

178.g(f(−5)) = g(−5) = −15, f(g(−3)) = f(−3) = −9.

179.1) f(f(x)) = 3f(x) − 5 = 3 (3x − 5) − 5 = 9x − 20; 2) f(g(x)) = 21x + 7; 3) g(f(x)) = 14x + 25; 4) g(g(x)) =

= 49x+32. 180. 1) f(f(x)) = 2 f(x)+3 = 2(2x+3)+3 = 4x+9;

2)f(g(x)) = 2 ln x + 3; 3) g(f(x)) = ln(2x + 3); 4) g(g(x)) = = ln(ln x). 181. 1) f(f(x)) = cos(cos x); 2) f(g(x)) = cos(ex);

3)g(f(x)) = ecos x ; 4) g(g(x)) = eex .

182. Из исходной функции y = 8x − 3 выразим x

y = 8xx − x3 = 8 − x3 x3 = 8 − y x = 8 −3 y .

Следовательно, обратная функция, при соответствующем обозначении независимой и зависимой переменных как x и y ,

имеет вид y = 8 − x .

183. Из исходной функции y = ex−1 + 2 выразим x:

y − 2 = ex−1 x − 1 = ln(y − 2) x = ln(y − 2) + 1.

Следовательно, обратная функция имеет вид y = ln(x−2)+1.

x→0−0

x→0+0

184. 1) f−1(x) =				5 − x		; 2) f−1(x) = x2 + 1, x > 1;
		1		2			3
	f−1				f−1
3)		(x) =		; 4)			(x) = x 2	+ 1.
			x − 1

3.2.Предельные значения функции

186.1) x → −2, но x 6= −2; 2) x → 1 и x = 1; 3) x → 0 и x = 0; 4) x → −2 и x = −2; 5) x → 1, но x 6= 1; 6) x → 0 и

x = 0.

187.

lim y(x) =

−

4; 2)

lim y(x) = 5,

1) x→−2−0

x→−2+0

xlim2 y(x) не существует.

188. 1) y → 0; 2) y → 2;

→−

y → 2; 3)

y → 0.

3) y → 0. 189. 1) y → 0; 2)

190.

lim

y(x) = 1, y(0) = 2 = lim y(x) = 1

предель-

x→0−0

lim

6 x→0+0

ного значения нет; 2) x

y(x) = 1 = y(0) =

lim y(x)

0 0

→

0+0

→ −

предельное значение y = 1;

lim

y(x) = lim y(x) = 1,

y(0) – не определено предельного значения нет.

191.1) −32 ; 2) 32 ; 3) −5; 4) 0.

192.1) −52; 2) 14; 3) 0,4; 4) 1; 5) −359 ; 6) −3221 .

193.1) −177760 ; 2) 19712 ; 3) −43 ; 4) 4, 5; 5) −3, 4; 6) −1, 2.

194. 1)

lim y(x) = 1, y(1) = 1,

lim

y(x) = 2; 2)

lim y(x) =

x→1−0

x→1+0

x→−0

lim

y(x) = 0; 3)

lim

y(x) = 2,

−

1) = 2,

= 0, y(0) = 2, x

→

→− −

lim

y(x) = 2.

195. 1)

−∞

; 2) 0; 3) 0; 4) 0.

196. 1) 0;

→−

1+0

2) +∞; 3)

; 4)

−∞.

197.

1) 0; 2)

−∞; 3)

; 4) +∞.

xlim x = 0,

0 x

= −∞,

0+0 x = +∞;

198.

lim

→∞

→ −

→

xlim

= 0, x

lim

= +

∞

lim

= +

∞

0 x2

−

→

0+0 x2

→∞

→

199. 1)

lim f(x) = f(1) = 0; 2)

lim

f(x) = f(

−

1) = 5;

→

→−

lim f(x) = f(0) =

lim f(x) = f(2) = 7;

−3 ; 4)

→

xlim3 f(x) = f(−3) = −72; 6)

→−

lim f(x) = f(1) = 2, 5.

→

201. 1) −0, 5; 2) 0;

200. 1) 2; 2) 0; 3) −2,5; 4) 3; 5) 0; 6) 1,5.

1; 4) 2; 5) 0; 6) −∞.

202. 1) 5; 2) −5; 3) 5/6; 4) 0,25;

−1, 5; 6) 4; 7) −3; 8) 0,8; 9) 0,5; 10) 0,25; 11) −2/3;

12) −0, 75.

203. 1) y = 1; 2) y = 1; 3) y = 2.

x→−1−0 x + 1

∞

x→−1+0 x + 1

−∞

204.

lim

= +

lim

;

0 (x

∞

1+0

∞

;

1)2

lim

= +

lim

= +

→ −

−

→

−

lim

− x = +∞, x

= −∞;

−

→

0+0 2 − x

→

lim

2 +

= +∞,

lim

= +∞.

→

0+0 2 + x2

→ −

3.3.Непрерывность и разрывы функций

205.Так как функции y1(x)+y2(x) и y1(x)−y2(x) непрерывны согласно условию, то их сумма и разность, а также произведение на число тоже непрерывны. Функции y1(x) и y2(x) получаем, складывая и вычитая исходные выражения, пред-

варительно умноженные на 1/2. Следовательно, они непрерывны. 206. 1) (0; ∞); 2) (−∞, 2) S(2; +∞); 3) (−∞; +∞); 4) (−∞; 1) S(1; +∞); 5) [0; 5]; 6) [0, 2). 207. 1) 2; 2) 2.

208.1) x = −1 точка разрыва 2-го рода; 2) x = 1 точка разрыва 2-го рода; 3) функция определена и непрерывна на всей числовой прямой; 4) x = 2 точка разрыва 2-го рода; 5) x = −3 точка разрыва 2-го рода; 6) x = 0 точка разрыва 1-го рода, устранимый разрыв. 209. 1) в точке x = 0 функция терпит разрыв 1-го рода (скачок); в точке x = 3 функция непрерывна; 2) в точке x = 1 функция терпит разрыв 1-го рода (скачок); в точке x = 2 функция непрерывна; 3) в точке x = 0 функция терпит разрыв 1-го рода (скачок); в точке x = 3 функция непрерывна; 4) в точке x = 2 функция терпит разрыв 1-го рода (скачок); в точке x = 1 непрерывна.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]