Сборник задач по высшей математике. Часть 1

1)

y = x2 + 2x + 2; 2) y = 3 − 4x − x2 ;

y = ln(x2 + 2x + 2); 4) y = √

.

3)

x2 + 4x + 4

177. Используя калькулятор, вычислить значения функ-

ции:

1)

y = sin x · cos x; 2) y = sin(cos x); 3)

y = ln x · ln x;

4)

y = ln(ln x) в точках x = π/3, x = π,

x = e.

-6

-4

-2

f(x)

-2

-4

-6

-8

-10

g(x)

-12

-14

1) f(f(x)); 2) f(g(x)); 3) g(f(x)); 4) g(g(x)).

182. Проверить, является ли функция y =

8x − 3

обрат-

x

1)

√

y = 5 − 2x; 2) y = x − 1;

x + 1

2

3)

y =

; 4) y = (x − 1) 3 .

x

3.2. Предельные значения функции

185. Пусть переменная x удовлетворяет неравенству:

1)

x < 1; 2) −2 6 x; 3)−3 < x 6 5; 4) |x| < 2;

5)

|x − 1| 6 3; 6) 0 < |x − 1| < 3; 7) |x − 3| > 1.

186. Пусть

1)

x (−2 − δ; −2) (−2; −2 + δ); 2) x (1 − 2δ; 1 + 2δ);

3)

x (−δ/2; δ/2); 4) x (−2 − δ; −2 + δ);

5)

x (1 − 2δ; 1) (1; 1 + 2δ); 6) x (−5δ; 5δ).

187. Пусть

y(x) =

2x, если x < −2;

(

3 − x, если x > −2.

Определить по графику:

1) lim y(x); 2)

lim y(x).

x→−2−0

x→−2+0

Существует ли

lim y(x)?

x→−2

x2 − 4

√

1) y(x) =

;

2) y(x) =

6

−

x; 3) y(x) = ln(x

−

1).

x + 2

x2 − 4

; 2) y(x) = √

1) y(x) =

6

−

x;

3) y(x) = ln(x

−

1).

x + 2

функции:

1

2

x, если x < 0;

1

2

x, если x < 0;

1) y =

2,−если x = 0;

2) y =

1,−если x = 0;

x

+ 1, если x > 0;

x

+ 1, если x > 0;

3) y =

1 − x, если x < 0;

( x2 + 1, если x > 0.

x→3

x→3 3

Пусть

x→3 1

(x) =

−

2

,

2

(x) = 1,

(x) = 3

,

191.

lim f

lim f

lim f

lim f4(x) = 2. Вычислить:

x→3

x · f2(x) + f3(x)

x · f1(x) + f3(x)

1)

lim

;

2)

lim

;

x→3

f1(x) · f4(x)

x→3

2f1(x) + f4(x)

3)

lim

f2(x) + x · f3(x)

;

4)

lim

x · f2(x) − f3(x)

.

x→3

f2(x) − f3(x)

x→3

f3(x) · f1(x)

192. Пусть

lim

f1(x) = 10,

lim

f2(x) = 3,

lim f3(x) =

x→−1

x→−1

x→−1

= −12, xlim1 f4(x) = 5. Вычислить:

→−

2 + x

;

1)

lim (f

+3f

−

7f

+5

−

2f

);

2) lim

· f4 − x2

x→−1

1

3

2

4

x→−1 f2

3)

lim

x · f3

;

4)

lim

4f2

;

5)

lim

2f1 + 3f4

;

2f2 − 3f4

x→−1

3f1

x→−1 x · f5

x→−1

lim

x + f2

3f4

.

6)

x→−1

2 − f3 − x + f1

193.

Пусть

lim f

(x) =

−

3,

lim f

(x) = 3,

lim f

(x) = 4,

x→2

1

x→2

2

x→2

3

lim f

(x) =

−

7. Вычислить:

x

→

2 4

2f1

f4

f1

f2

f3

lim

1)

− 3f3 + 2f2 + 5 f·3

+ 5 ;

x→2

lim

f2 · f4 ·

f1

−

2 + x

;

3)

lim

x

f3

;

f3

x · f1

2)

x→2

x→2 3f1

·+ f2

4)

lim

4f22

; 5)

lim

2f3 − 3f1

; 6)

lim

x + f3

3f3

.

x→2 x · f3

x→2

2f4 + 3f2

x→2 2 − f1 − x + f2

2

x

при x < 1;

1) x0

= 1,

y(x) =

1

−

при x = 1;

2

при x > 1;

x + 1

при x < 0;

x

2) x0

= 0,

y(x) =

2

при x = 0;

2

при x > 0;

−

2x

−

x + 1

при x <

1;

3) x0

= 1, y(x) =

2

при x =

−1;

−

при x >

1.

x + 3

1)

lim (

−

3)

·

f(x);

2)

lim

1

lim

1

;

x→a

1

x→a f(x) ; 3) x→a 3 − 2f(x)

4)

lim

.

x→a f2(x) − f(x)

196. Пусть f(x) > 0 и lim f(x) = 0. Вычислить предель-

ное значение:

x→a

1

1

1)

lim (

−

3)

·

f(x);

2)

lim

;

3) lim

;

x→a

1

x→a f(x)

x→a 3 − 2f(x)

4)

lim

.

x→a f2(x) − f(x)

197. Пусть f(x) < 0 и lim f(x) = 0. Вычислить предель-

ное значение:

x→a

1

1

1)

lim (

−

3)

·

f(x);

2)

lim

;

3) lim

;

x→a

1

x→a f(x)

x→a 3 − 2f(x)

4)

lim

.

x→a f2(x) − f(x)

198. Вычислить левое и правое предельные значения функ-

ции:

1)

1

1

y(x) =

; 2) y(x) =

.

x

x2

199. Вычислить предел и значение функции в предельной

точке:

1)

lim

x2 + x − 2

;

2)

lim

3x2 − 2x + 5

;

2

− x + 3

x→−1 2x

2

− x − 1

x→1 x2

3)

lim

x

+ 3x + 2

;

4)

lim

3x +

2x + 1

;

x→0 3x2 − x − 3

x→2

3x − 1

5)

lim (x2

−

x)(x

−

3);

6)

lim

3

2

.

x→−3

x→1 x2 − x2

+ 3

200. Вычислить предел:

πx

cos

+ ln x

cos2 x ;

2

1) lim 2 sin x

2) lim

;

πx

x→

π

−

x→1

x + sin

2

2

√

√

3)

2

πx

x + 7

lim

3

tg

lim

;

x→1 π arctg x −

·

3

4) x→2

√x + 2 − 1

;

5)

lim

(2x − 7) ln(x − 3)

;

6)

lim

x + ex−2

.

x

→

4

√

x + 5

x

→

2

√

2 x + 2 − 2

201. Вычислить предел:

1)

lim

2 − x

;

2)

lim

1

;

x→−∞ 2x + 3

x→∞ x2 + 5

3)

lim

x2

;

4)

lim

2x3 + x2 − 5

;

x→−∞ x2 + 3

x→∞

x3

−

x + 2

x

3

− 4x

2

+ 5

x

3

− x

5

+ 5

5)

lim

;

6)

lim

.

x→∞ x3 + 2x + 2x4

x→−∞ 3x3 + 2x + 1

202. Вычислить предел:

1)

lim

x2 + 3x − 4

;

2)

lim

x2 + 3x − 4

;

x→1

x − 1

x→−4

x + 4

√

3)

lim

x2 − x − 6

;

4)

lim

√

x

− 2

;

5)

lim

2 − x

− x

;

x→3

x2

−

9

x→4 x

4

x→1

x

−

1

−2

x

2

6)

lim

x + 2

;

7)

lim

x

+ x − 2

;

8)

lim

− 4

;

− 3x + 2

x→−2

√6 + x − 2

x→1 x2

x→2 x2 + x − 6

x2 + 3x + 2

lim

√

− 2

;

9)

lim

;

10)

x + 2