Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник задач по высшей математике. Часть 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 92 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

31. Решить систему матричным методом:

3x + 5y = 13,

3x − y = 4,

x + 3y = 4,

2x + 3y = 8;

2x + 5y = −3;

3x − 2y = 1;

−

3y =

−

x − y + z = 2,

x + 2y + 3z = 9,

4x + 5y =

2x + y − 3z = 0.

Сделать проверку

полученных результатов.

32. Решить систему линейных алгебраических уравнений матричным методом и методом Крамера:

1)	3x + y = 4,	2)		x − y = 3,
	2x − 5y = −3;			3x + 4y = 2.

33. Решить систему линейных уравнений ступенчатого вида:

		y + z = 2,		2)			x + 2y + 3z = 0,
1)	x − 2 y z =		−1,					y + z = 2,
		− z = 2;							0 · z = 0;

		x + 3y + z = 5,				3x + y		−	4z = 1,
		2y − z = 3,
3)				4)			5y + 2z = 1,
		0 · z = 1;						−3z = −9.

34. Для систем уравнений
1)		x − 2y = 3,	2)		x − y + z = 3,
		2x + y = 5;			2x + 3y − 5z = 1;

x + 2y + 3z = 3,

3)x − z = 1,

3x + y = 2

написать расширенные матрицы.

35. По расширенным матрицам
1)	1	5	1	;	2)	1	1		1	7	;
1)	0	−1 7		;	2)	0	−2 −3 2				;
3)	1	2	3	9			1	5	1		2
3)	0	5	1	3	; 4)		0	2	7	−1
	0	0	−2	4			0	1	2		5

написать соответствующие им системы уравнений.

36. Равносильны ли системы уравнений?

x + y − 2z = 1,

−

y + 3z = 2,

2y + 5z = 1,

+ 5z = 3;

−2y + z = 1.

−

37.

Решить систему

уравнений методом Гаусса:

y + 3z = 9,

y + z = 2,

x + 2y − z = 1;

−

− z = 0;

+ 4z = 7,

x − 5y 0 · z = 0.

38. Решить систему уравнений методом Гаусса:

2x − 3y + z = −7,

x + 2y + 3z = 6,

−

x + 2y − 3z = 14,

2x + y + z = 4,

−

y + 5z =

−

18;

3x + 3y + 4z = 10;

x + 2y + 3z = 6,

3)2x + y + z = 4,3x + 3y + 4z = 7.

39.Исследовать систему методом Гаусса:

1)	x + 2y + z = 4,	2)	x − 5y + 4z = 1,
	3x + 5y + 3z = 1;		2x − 11y + 7z = 3;
	2x + 3y = 5,

3)x − 5y = −4,

3x + y = 4.

2.Элементы векторной алгебры

ианалитической геометрии

2.1.Прямая линия на плоскости

40.Написать уравнение горизонтальной прямой линии, проходящей через точку M0(1; −2).

41.Написать уравнение вертикальной прямой, проходящей через точку M0(1; −2).

42.Написать уравнение прямой: 1) проходящей через точку M0(1; −2) и имеющей угловой коэффициент k = 3;

2)проходящей через точку M(2; 3) и имеющей угловой коэффициент k = −2; 3) проходящей через точку M(−2; −3) параллельно оси Ox; 4) проходящей через точку M(2; 3) па-

раллельно оси Oy ;	5) проходящей через точки				M1(2; 3) и
M2(3; 5); 6) прямой	y =	2	x + 5	в общем виде;	7) прямой

		3

15x + 5y − 10 = 0 в виде уравнения с угловым коэффициентом.

43.На прямой линии y = 2x+ 1 найти точку: 1) у которой абсцисса x = −2; 2) у которой ордината y = 3. 3) Проверить, лежат ли точки (2; 5), (3; 8) на прямой y = 3x − 1.

44.Написать уравнение прямой, проходящей через точку

M(2; 3) параллельно прямой: 1) y = 3x − 5; 2) y − 5 = 0;

3)x + 7 = 0; 4) 4x − 3y + 2 = 0.

45.Написать уравнение прямой, проходящей через точку M0(−2; 3) перпендикулярно прямой: 1) y = 3x−5; 2) y−5 = 0;

3)x + 7 = 0; 4) 4x − 3y + 2 = 0.

46.Нарисовать графики прямых: 1) y = x − 2;

2) y = 5x + 3; 3) y = −2x + 2; 4) y = −3; 5) x − 2 = 0.

47.Используя калькулятор, вычислить углы наклона прямой: 1) y = 2x−3; 2) y = −3x+12; 3) y +2 = 0; 4) x−7 = 0.

48.Найти точки пересечения прямой 2x − 3y − 6 = 0 с осями Ox и Oy .

49.Найти точку пересечения прямых: 1) 2x − 3y + 1 = 0,

3x + y− = 0; 2) 2x − 5y + 4 = 0, y − 1 = 0; 3) 3x + y − 8 = 0, x − 2 = 0; 4) y − 3 = 0, x + 1 = 0.

50.Найти координаты вершин треугольника ABC , сторо-

ны которого описываются уравнениями AB : y − 2x + 1 = 0,

AC : 2x + 3y − 5 = 0, BC : x − y + 1 = 0.

51. Найти уравнения прямых, на которых лежат стороны

ABC с вершинами A(1; 2), B(3; 2, C(1; 5).

52. Найти острый угол между прямыми: 1) y = 2x + 5

и y − x + 3 = 0; 2) y = x + 5 и y − 3 = 0; 3) y = x − 1 и x + 2 = 0.

53.Определить, какие из точек A1(1; 6), A2(1; 5), A3(1; 3), A4(2; 8), A5(2; 6), A6(2; 7) лежат выше прямой, на прямой и ниже прямой, проходящей через точки M1(−1; 1), M2(3; 9).

54.Даны уравнения сторон четырёхугольника x − y = 0, x + 5y − 6 = 0, x − y + 3 = 0, 5x + y + 3 = 0. Найти уравнения его диагоналей.

55.Найти абсциссу x, чтобы четырёхугольник с вершинами M1(0; 0), M2(1; 1), M3(x; 1), M4(2; 0) был параллелограммом.

56.Доказать, что диагонали четырёхугольника с вершинами M1(0; 0), M2(5; 5), M3(−2; 6), M4(−7; 1) взаимно перпендикулярны.

57.Используя калькулятор, вычислить расстояние от начала координат до прямой 2x − 3y + 1 = 0.

58.Используя калькулятор, вычислить расстояние от точки M(2; 3) до прямой 2x + 3y − 5 = 0.

59.Даны вершины треугольника: A(2; 5), B(−3; 1), C(0; 4). Найти: 1) уравнение стороны AB ; 2) уравнение высоты CH ;

3)уравнение медианы BM ; 4) точку пересечения высоты CH и медианы BM ; 5) уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB ; 6) длину высоты CH ;

7)C , BMC .

60.Найти точку M1 , симметричную точке M(1; 1) относительно прямой x − 2y − 5 = 0.

2.2. Кривые второго порядка

Парабола

61.Написать уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что парабола расположена

вправой полуплоскости симметрично относительно оси Ox и её фокальный параметр равен 3.

62.Определить величину фокального параметра параболы: 1) y2 = 6x; 2) x2 = 10y ; 3) y2 = −6x; 4) x2 = −y .

63.Определить величину параметра, фокус, директрису параболы: 1) y2 = −4x; 2) x2 = 8y ; 3) y2 = 6x; 4) x2 = −16y .

64.Написать уравнение параболы, которая имеет фокус F (0; −3) и вершину в начале координат.

65.Написать уравнение параболы, которая имеет фокус F (3; 0) и вершину в начале координат.

66.Написать уравнение параболы, у которой фокус F (−7; 0) и уравнение директрисы x − 7 = 0.

67.Написать уравнение параболы с вершиной P (0; 0) и осью симметрии Ox, если парабола проходит через точку:

1)M0(1; 2); 2) M0(−1; 2).

68.Написать уравнение параболы с вершиной P (0; 0) и осью симметрии Oy , если парабола проходит через точку:

1)M0(1; 2); 2) M0(1; −2).

69. Найти	точки пересечения прямой и параболы:
1) 2x + y = 0,	y2 = −4x; 2) x − 2y + 2 = 0, x2 = −8y.

70. Уравнение директрисы параболы y = x, её фокус F (1; 3). Написать уравнение оси симметрии параболы.

Окружность

71.Написать уравнение окружности, зная: 1) её центр

O(1; 2) и радиус R = 1; 2) O(−1; 1) и R = 3.

72.Найти точки пересечения с осями координат окружности (x − 1)2 + (y + 1)2 = 4.

Эллипс

73.Написать каноническое уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, что 1) его полуоси равны 3 и 4; 2) его большая полуось равна 10, а фокусное расстояние 2c = 12;

3)фокусное расстояние 2c = 8, а эксцентриситет ε = 4/5;

4)расстояние между его директрисами равно 100/3, а между фокусами 2c = 12.

74.Написать каноническое уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат симметрично относительно начала координат, зная, что 1) его полуоси равны 3 и 4;

2)его большая полуось равна 10, а межфокусное расстояние 2c = 16; 3) расстояние между его фокусами 2c = 12, а эксцентриситет 3/5; 4) расстояние между его директрисами равно 100/3, а между фокусами 2c = 12.

75.Уравнение эллипса 16x2 + 25y2 = 400. Найти его

1) полуоси; 2) фокусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения директрис.

76. Записать уравнение кривой, избавившись от иррациональности. Определить, к какой кривой второго порядка она

		2				3
имеет отношение: 1)	y =		√9 − x2 ;	2)	x = −		p16 − y2 .

		3				4

77.Ординату каждой точки окружности с центром в начале координат и радиусом, равным 1, уменьшили в 3 раза. Назвать полученную кривую, определить её параметры.

78.Абсциссу каждой точки окружности с центром в начале координат и радиусом, равным 1, уменьшили в 2 раза. Назвать полученную кривую, определить её параметры.

79.Даны фокусы эллипса F1(−1; 1), F2(1; 3). Написать уравнения осей его симметрии.

Гипербола

80.Написать уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, что 1) её полуоси a = 2, b = 5; 2) её горизонтальная ось 8, а расстояние между фокусами 2c = 10;

3)расстояние между её фокусами 2c = 10, а эксцентриситет ε = 5/4; 4) расстояние между её директрисами равно 128/10, а расстояние между фокусами 2c = 20.

81.Написать уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, зная, что 1) её полуоси a = 3, b = 2; 2) её горизонтальная полуось равна 3, а расстояние между фокусами 2c = 10; 3) расстояние между её фокусами 2c = 20, а эксцентриситет ε = 5/4; 4) расстояние между её директрисами равно 128/10, а расстояние между фокусами 2c = 20.

82.Определить, на какой из координатных осей лежат фокусы данных кривых второго порядка:

		x2 +			y2			x2			x2			y2
1)							= 1; 2)		− y2 = 1;	3)			+		= 1;
					4			4				9		4
	y2			x2
4)			−			= 1; 5) y2 = 2x; 6) x2 = −4y .
		9			4

83. Уравнение гиперболы 25x2 −9y2 = 225. Найти её 1) полуоси; 2) фокусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения директрис; 5) уравнения асимптот.

84. Дано уравнение кривой второго порядка: x2 + y2 = 1.

4 9

Определить: 1) название кривой; 2) полуоси кривой; 3) координаты фокусов и их расположение; 4) эксцентриситет кривой; 5) уравнение директрис кривой. Если у кривой есть асимптоты, то написать их уравнения.

85. Дано уравнение кривой второго порядка: x2 − y2 = 1.

9 4

Определить: 1) название кривой; 2) полуоси кривой; 3) координаты фокуса(ов) и их расположение; 4) эксцентриситет кривой; 5) уравнение директрис кривой. Если у кривой есть асимптоты, то написать их уравнения.

86.Дано уравнение кривой второго порядка: y2 = 8x. Определить: 1) название кривой; 2) полуоси кривой; 3) координаты фокуса(ов) и их расположение; 4) эксцентриситет кривой; 5) уравнение директрисы кривой. Если у кривой есть асимптоты, то написать их уравнения.

87.Определить, какой частью какой кривой второго порядка является кривая:

	3		√						4		√
1)							2	− 4; 2)							2	− 9;
	y =					x			y = −				x
		2								3
			3								2
					py2 − 25;									py2 − 9.
3)	x = −								4) x =
				5								3
2.3. Кривые в полярной системе координат

88. Точки заданы в декартовой системе координат. Ис-

пользуя калькулятор, вычислить их полярные

координаты:

√

(1;√

3), M2( 2;

2), M3(−1;

3), M4(1; −

3), M5( 3; 1),

(

3; −1), M7(1;

1), M8(−1; 0), M9(0; 1), M10(3; 4).

89. Точки заданы в полярной системе координат, вычис-

их декартовы координаты:

(2; 0), M

лить

3π

3π2

5π

, M4

M5 (2; π), M6

1; −

, M7

2π

M8 2; −

, M9 1;

, M10 3; −

90. Вычислить полярные координаты точек, если их де-

3√

√

картовы координаты:

M1(2; 0),

;

, M3

√2

;

2√

√2

M4(0; −2); M5(−2; 0),

M6(0; −1), M7(− 3; 1), M8(

2; − 2),

−

√

, M10(0; −3).

;

91. Записать уравнения кривых в полярной системе коор-

динат:

1) x2 + y2 − 2x = 0; 2) x2 + y2 − 2y = 0; 3) y2 = 12x;

= −24y;

= 1;

−

= 1.

92. Записать уравнения кривых в декартовой системе ко-

ординат:

r = 1; 2) r = α;

3) r = 3 − α;

4) r = 2 cos α;

r = −2 cos α; 6)

r = 2 sin α; 7)

r = −2 sin α;

r = 1 − cos α; 9) r = 1 + sin α.

93. Определить полярные координаты точки пересечения

кривых:

r = 1 − cos α, r = 1,5; 2)

r = 2 sin α, r = 2 cos α;

r = −2 sin α;

√

r = 2 cos α,

r =

r = 2 sin 2α.

2.4. Векторная алгебра

94. Написать координаты двух единичных векторов, которые лежат в плоскости Oxy и параллельны прямым:

1) y − 3 = 0; 2) x + 2 = 0; 3) y = 2x + 1.

95. Написать координаты двух единичных векторов, которые лежат в плоскости Oxy и перпендикулярны прямым: 1) y − 3 = 0; 2) x + 2 = 0; 3) y = 2x + 1.

	96. Изобразить на чертеже линейные комбинации векто-
ров	~ ~ ~	~ ~	~	2)	~	~	~	3)	~	~
	a, b, c: 1)	3a − b + 2c;			a + 3c − 2b;				2a − 0,5b.

~a b

97. Вычислить линейную комбинацию векторов

~ ~ ~ ~ ~ ~

a = {1; −3; 3}, b = {2; 0; −1}, c = {−1; 8; 3}: 1) 2a − 4b + 3c;

~~ ~ ~ ~ ~

2)a + 2b + c; 3) −a + b + 2c.

98. Среди указанных пар векторов выбрать пары из коллинеарных векторов: 1) {1; −2; 3}, {−1; 2; −3}; 2) {2; 2; −2},

{1; −2; 2}; 3) {3; −2; 1}, {3; 2; −1}; 4) {2; 1; −2}, {1; −2; 1}; 5) {2; −1; −2}, {−2; 1; 2}; 6) {3; 1; 2}, {6; 2; 4}.

99.Проверить, что четырёхугольник ABCD параллелограмм, если его вершины A(1; 2), B(3; 5), C(7; 5), D(5; 2).

100.Найти четвёртую вершину D каждого из трёх параллелограммов, имеющих вершины A(1; 1), B(3; 2), C(0; 3).

101.Вычислить:

1) единичный вектор в направлении вектора a = {1; −3; 2};

~~ ~

2)вектор длины 3 в направлении вектора a = i − 2k ;

3)вектор длины 2 в направлении, противоположном направ-

лению вектора a = {2; −1; 3}.

102. Проверить, лежат ли точки A(1; 4; 5), B(3; 5; 7), C(5; 6; 9), D(−1; 3; 3) на одной прямой.

<<< < Предыдущая 12 / 92 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]