Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник задач по высшей математике. Часть 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

210.На интервалах [−1; 2), [1; 5], (0; 3]; [2; 7] функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений.

211.1) max f(x) = 3; min f(x) = −4; 2) max f(x) = 3;

x [−2,5]

x [0,3]

min f(x) = −1; 3) max f(x) = 2; min f(x) = 0;

x [0,3] x [0,4] x [0,4]

4) max f(x) = 3; min f(x) = 0. 212. 1) x = 0 точка

x [0,3] x [0,3]

разрыва 2-го рода; 2) функция непрерывна; 3) x = 0 точка разрыва 2-го рода; 4) функция не определена.

213. В общем виде многочлен третьего порядка имеет вид f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. Поскольку функция определена

на всей числовой прямой и x lim = −∞ (если считать, что
a > 0), а	lim			→−∞
				= +∞, то существует хотя бы одна точка x0
x	→	+	∞

такая, что f(x0) = 0.

3.4.Замечательные пределы

214.1) 1; 2) 3/7; 3) 1; 4) 1; 5) 8; 6) 6; 7) 2; 8) 1; 9) π2 ; 10) 0;

11) 1/3; 12) e2 ; 13) 3; 14) 4 ln 2; 15) 0,5; 16) cos 3; 17) 3; 18) 1; 19) 0,4; 20) 0,25; 21) 5/6. 215. 1) e; 2) e8 ; 3) e−1 ; 4) 1; 5) 1/7. 216. 1) +∞; 2) +∞. 217. 1) e; 2) e; 3) e.

4.Дифференцирование

4.1.Понятие производной. Правила дифференцирования

218. 1) y = y(x0 +Δx)−y(x0) = (1+Δx)2 −1 = 2Δx+(Δx)2 ;

2)	4Δx+(Δx)		2	; 3)	−6Δx+(Δx)	2	.	219.	1)	lim			y	= 2x		+1;
												0	x		0
										x	→
	ex0 ; 3)	1
2)			; 4)		− sin x0 . 220.			1) уравнение касательной:

		x0

y = x − 2; уравнение нормали: y = 2 − x; точки пересечения касательной с осями координат: (0; −2), (2; 0); 2) уравнение касательной: y = x − 1; уравнение нормали: y = 1 − x; точки пересечения касательной с осями координат: (0; −1), (2; 0);

√

3) уравнение касательной: y =

6 −

3π

; уравнение

2√

нормали: y = −

π + 9

; точки пересечения касатель-

√

ной с осями координат: 0;

6 −

−

√

; 0 . 221. (4; 8).

222. 1) k

= y (1) = 5, k

= y (3) = 9,

tg α =

k1 − k2

′

1 + k1k2

α = arctg

; 2)

k1 = y′(1) = −1, k2 = y′(3) =

−5,

tg α =

(−1) − (−5)

;

3) k

= y

(1) = 0,

= y

(3) = 24,

1 + (−1) · (−5)

′

−

tg α =

1 + 0 · 24

= 24, α = arctg 24. 223. (

−

1/4; 1/16).

224. 1) графики

функций y1 и y2 пересекаются в двух точках

с абсциссами x = −2 и x = 3; острый угол между графиками

этих функций в точке x = −2 равен arctg 171 , в точке x = 3

угол равен arctg 15 ; 2) графики функций y1 и y2 пересекаются

в точке с абсциссой 0 под углом 90◦ ; 3) графики функций y1 и y2 пересекаются в точке с абсциссой 1 под углом 90◦ .

225. x(2) ≈ 4,73, v(2) = x′(2) ≈ −1,25, a(2) = v′(2) ≈ 2,73; x(5) ≈ 0,88, v(5) = x′(5) ≈ 0,85, a(5) = v′(5) ≈ −2,88.

1) t = πk ; 2)	3π	+ 2πk . 226. 1) vср =	x	=	x(1)	− x(0)	= 3,
	2		t			− 0
				1

мгновенная скорость v =

lim vср = x′(t), v(0) = 2, v(1) = 4;

t→0

vср = 0, v(0) = 3, v(3) = −3;

, v(0) = 2,

vср =

v(π/6) = √

√

; 4) vср =

, v(π/3) =

, v(π/2) = 1.

227. Скорости совпадают, т.е. x′

= x′

при t = 1, x1(1) =

−

x2(1) = −8.

228. 1) 15x4

; 2)

π cos 3

; 3)

−e−3 sin x;

−6

; 5)

7 sin x

; 6)

150x5 ; 7) 5x14

π√1 − x2

−

− cos2 x

x −

−

			4		9	2,5				2		2	53			1	32		3	√		1
					9							2				1			3			1

8)	25x			+	2x−		+2x; 9) 15x				−	3x−		−		2x		; 10)	2		x− x2		−
		√			229. 1) 5√
	3	3	3							3			5								3 − 2x
									+
				.				x3				+			; 2)			2 ln x +					;
													6
−	2x2,5									2√x3			6				−
−	2x2,5									2√x3		6	√x				−					x

3) −(cos x+2 sin x+cos 2x); 4) ex(sin x+cos x); 5) 6x sin x(sin x+

+x cos x); 6) 2+ln x; 7) 2x arcsin x+

√

; 8) 2(x+1) ln x+

1 − x

√

sin x

+ x + 2 −

; 9)

arcsin x +

; 10)

2√

x cos x;

1 − x2

sin x

ln x

; 13) 60x3 − 2x;

11) cos x · ln x +

; 12)

√

2√

√

2 ln x

14)

arcsin x +

; 15)

230. 1)

;

2√

√

(3 − x)2

−

; 3)

2π

; 4)

−x

+ 10x − 7

; 5)

;

−(x

2)2

−(x

1)3

(x2

−(x2 + 1)2

−

2)2

− 2

4−

−2

1 − x

; 7)

; 8)

−x

+ 3x

(x2 + 1)2

−(x2 − 1)2

(1 − x2)2

231. 1) 0; 2) 1; 3) 1; 4) 1; 5) 0; 6) 0; 7)

; 8)

√

−

; 9) 1.

232. 1)

y = sin x,

(sin x)′ = cos x;

y = 0, 5 sin 2x,

(0, 5 sin 2x)′

= cos 2x;

3) y = tg x,

(tg x)′

;

cos2 x

y = arctg x,

(arctg x)′

; 5) y = ln x,

(ln x)′ =

;

1 + x2

y = − ln x, (− ln x)′

; 7)

= −

y = −

cos 3x

−1

−

cos 3x

′

= sin 3x;

y =

cos 5x,

(−

cos 5x)′

= sin 5x;

y = 0, 5e2x ,

(0, 5e2x)′ = e2x .

233.Вычисляем y′ и вместе с y подставляем в уравнение:

1)y′ = (3e−2x + e−x)′ = −6e−2x − e−x y′ + 2y = e−x

−6e−2x − e−x + 2(3e−2x + e−x) ≡ e−x ;

2)y′ = (x − x2)′ = 1 − 2x y − xy′ = x2

(x − x2) − x(1 − 2x) = x2 x2 = x2 ;

3) y =

sin x

y′ =

sin x

′

cos2 x + 2 sin2 x

cos2 x

cos3 x

Подставив в уравнение и расписав тангенс, имеем

cos2 x + 2 sin2 x

sin x

sin x cos2 x + sin2 x

−

≡

cos3 x

cos2 x

cos x

cos3 x

234. 1) 2ex +xex ; 2) −2 sin x−x cos x; 3)

; 4) 2 ln x+3;

(1 + x2)2

x3 ln x

5x3

. 235.

Находим y′ =

−

′

= x2 ln x −

(x − 1)3

, y′′ = x

0, 5x2)

= 2x ln x и вместе с y подстав-

− 0, 5x

ln x − 6

′5

ляем в уравнение y′′ −

y =

. Получаем

x3 ln x

5x3

2x ln x −

−

4.2. Дифференцирование функции от функции

3 cos x sin2 x; 3)

3x2 cos(x3); 4)

3 cos 3x

236. 1)

3 cos 3x; 2)

2√

;

sin 3x

3 cos √

sin √

cos x

2 cos x

2√

; 6)

−

2√

; 7)

; 8)

;

1 + sin x

1 + 2 sin x

2x3

sin x + x cos x

; 10)

x cos x − sin x

; 11) 2x ln(1+x2)+

;

1 + x2

1 + x sin x

x2 + x sin x

e2+√

12)

3e2+3x ; 13) 2xe2+x

; 14) (2x − 3)ex

−3x+2 ; 15)

2√

;

16)

(ln x + 1) e2+x ln x ; 17) (sin x + cos x) ex sin x ;

18)

cos(sin x) · cos x; 19)

cos(ln x)

; 20) − cos(cos x) · sin x;

21)

cos(x cos x) · (cos x − x sin x); 22)

cos x

−

sin x

cos

−

cos x

;

23) cos

−

;

24)

;

x + 1

(x + 1)2

1 + sin2 x

25)

cos(arctg x)

; 26)

; 27)

1 + x2

x(1 + ln2 x)

1 − ln

3π

√

237. 1)

≈ 1, 18; 2) 0; 3) 0. 238. 1)

; 2)

;

(ex + e−x)2

x2 + 1

3) 0. 239. 1) Рассмотрим функцию y = cos x и обратную к ней x = arccos y . Пользуясь теоремой о производной обратной

функции, имеем: (arccos y)′ = x′ =

yx′

(cos x)x′

−sin x

= −

√

= −

;

2) Рассмотрим функцию

1 − cos2 x

1 − y2

обратную x = arctg y . По теореме о производной

y = tg x и ей

обратной функции имеем: (arctg y)y′

= xy′

yx′

(tg x)x′

= cos2 x =

1 + tg2 x

1 + y2

cos2 x

4.3.Логарифмическое дифференцирование

240.1) y′ = xsin x(cos x · ln x + sinx x);

y′ = (cos x)sin x−1 (cos2 x ln(cos x) − sin2 x);

y′

= xarctg x(

ln x

arctg x

);

1 + x2

4) y

(x − 1)3(5 − x)

(2x + 3)(x2 + 1)

x − 1

−

5 − x

−

2x + 3

′

− x2 + 1

4.4.Производные неявной функции

241.1) Преобразуем параметрическую форму записи, исключая параметр t. Для этого возведем в квадрат x и y , раз-

делим первое уравнение на 4, а второе на 9 и сложим их:

x2 = 4 cos2 t, y2 = 9 sin2 t

= cos2 t,

= sin2 t

= cos2 t + sin2 t = 1

= 1;

x =

− 2, y = t x =

− 2 3x − y2 + 6 = 0;

x = cos4 t,

y = sin4 t

√

= cos2 t, √y = sin2 t

√

+ √y = 1. 242. 1)

6 + 2y′

= 0, y′ =

−

y′ =

1 + 4x + 5y

; 3) y′ =

3x2y − 3x2 − y2 − 1

;

2y − 5x − 3

2xy − x3 + 15y2 − 1

y′ =

y2e−x − ey

; 5) y′

; 6) y′ =

; 7) y′ =

;

xey + 2ye−x

y′ =

1 − (x − y)ex+y

; 9)

y′ =

−

2 sin(2x + 3y)

1 + (x

−

y)ex+y

3 sin(2x + 3y) + 2y

243. 1) Дифференцируя формулу, задающую функцию, дважды, получаем равенства (2x + 2y + 5)y′ + 2y − 3 = 0 и (2x + 2y + 5)y′′ + 2(y′)2 + 2y′ = 0. Используя первое равенство,

находим y′ =	3 − 2y	. Подставив полученное выражение
находим y′ =	2x + 2y + 5	. Подставив полученное выражение
	2x + 2y + 5
для y′ во второе равенство, находим y′′ =			4(x + 4)(2y − 3)	;
для y′ во второе равенство, находим y′′ =			(2x + 2y + 5)3	;
			(2x + 2y + 5)3

2) y′′ = sin x · sin2 y − cos y · cos2 x. sin3 y

4.5.Производные параметрической функции

244.dy = −2 , d2y = 0. 245. 1) dy = 2(3t2 + 4t)√t, dx 3 dx2 dx

d2y

= 30t2

d2y

+ 24t; 2)

= 2 ch t,

= 2; 3)

= et ,

dx2

d2y

; 4)

√

d2y

= −

dx2

t + 1

dx2

−

1 − t

2x − 2y + 2

246. 1) y′

= 0 = k . Угловой коэффициент

+ 3

(1,2)

касательной имеет вид: y = 2,

2x + 2yуравнение

равен нулю, значит,

а нормали x = 1; 2) 2y + x + 5 = 0, y − 2x + 5 = 0;

3) 9y + 8x − 25 = 0, 8y − 9x + 10 = 0; 4) 9y − 2√

x + 6 = 0,

√

247. 1) y′ = −2 = k ; y−2 = −2(x−1),

2 10 y+9x−39 10 = 0.

2y − x − 3 = 0; 2) 24y − 7x + 13 = 0,

7y + 24x − 491 = 0.

4.6. Дифференциал функции

√

x dx

cos(ln x)

248. 1) (−6x+1) dx; 2)

; 3)

dx; 4)

dx;

x2 + 1

x2 + 3

ch x dx; 6)

−

2 + x2

dx; 7) −3 cos2 x·sin x·dx; 8) −

x + 2

dx;

(x2 − 2)2

2 arctg x ·

; 10) 2x cos(1 + x2) dx; 11) 3 ch(3x) dx;

1 + x2

2x2

dx. 249. Используя задание функ-

12) dy = tg x +1cos2 x2

ции, имеем y =

, dy = −

. Подставив в равенство, после

преобразований получаем тождество.

250. 1)

= 0,867,

dy = 1,05; 2) y = 1,25, dy = 1; 3)

y = e − 1 ≈ 1,71,

dy = 1; 4)

y ≈ 1,0006,

dy = 1,72. 251. 1) для

y = sin x,

0 имеем

y =

y(x) − y(x0)

sin x − sin 0

= sin x,

dx =

x = x − x0 = x,

dy = y′(x0) dx = cos(0) dx = dx = x.

Поэтому соотношение

y ≈ dy принимает вид sin x ≈ x;

2) x0 = 0, тогда dx =

x = x − x0 = x, для функции y = tg x

y =

tg(x0) = tg(x)

−

tg(x0) = tg x, d tg(x0) = tg′(x0) dx =

= x. Отсюда следует приближение tg ≈ x;

cos2(x0)

3) соотношение

y ≈ dy

можно записать в виде формулы

y(x) ≈ y(x0) + y′(x0) (x − x0). Полагая в ней y(x) = ex , имеем ex ≈ ex0 + ex0 (x − x0), при x0 = 0 получаем ex ≈ 1 + x;

4) для y(x) = ln(1 + x) формула принимает вид ln(1 + x) ≈

≈ ln(1 + x0) + 1 + x0 (x − x0), при x0 = 0 имеем ln(1 + x) ≈ x; 5) для y(x) = (1 + x)α формула линейного приближения при-

нимает вид (1+x)α ≈ (1+x0)α +α(1+x0)α−1 (x−x0). Положив в ней x0 = 0, получаем (1+x)α ≈ 1+α x. 252. 0,06. 253. 0,02.

254. 1) (1,001)56						= (1 + 0,001)56				≈ 1 + 56 · 0,001 = 1,056;
2) √										= 4√					4(1 +
	16,012	=		16(1 + 0,012/16)							1			≈		1
			= 4,0015; 3) (15,95)									≈	1,9984375,	(15,95)			=
			= 4,0015; 3) (15,95)								4		1,9984375,	(15,95)		4	=
+ 0,00075/2)				p	1		0,05
= 2(1 − 0,05/16)							≈ 2 −		= 2 − 0,0015625 = 1,9984375;
						4
						4		32


4) sin(0,492) ≈ 0,4724, sin(0,492) ≈ sin(π/6)+cos(π/6)·(0,492−
	1			√	3		(0,492 − π/6) ≈ 0,4726.
− π/6) =			+
		2		2
255. 1) dS = 2πR R ≈ 0,05; 2) dL = 2π R ≈ 0,0126.
256.	dS = 8πR					R ≈ 0,5.
257.	dV = 3L2					L = 0,06, dS = 12L L ≈ 0,12.

4.7. Правило Лопиталя

258. 1) Существует число c

(0; 2) такое, что y′(c) =

y(2) − y(0)

Найдем это число. y (c) =

4 − 0

= 2 = 2x

c = 1;

y(0)

′y(

c y(1)

y( 1)

−2

±√3

2) y′

− −

; 3) y′

− −

259. 1) lim

x3 + 2x2 − 4x − 8

= lim

(x3 + 2x2 − 4x − 8)′

x→2

2x3

−

4x2

x→2

(2x3

−

4x2)′

√

= lim

3x + 4x − 4

= 2; 2)

; 3) 2; 4) 1; 5)

2; 6)

; 7) 0;

6x2 − 8x

x→2

8) 0,5; 9) 1. 260. 1) 0; 2) 1; 3) 2; 4) 0; 5) 1; 6) 0; 7) 1; 8) 1; 9) 1.

261. Если

lim f(x) = a, то прямая y = a является горизон-

x→∞

x + 1

тальной асимптотой. 1)

lim

= 1, поэтому прямая y = 1

x→∞ x + 2

горизонтальная асимптота; 2) y =

; 3) y = 0; 4)

y = −

262.

Когда предел

lim f(x) =

∞

, тогда прямая x = a явля-

→

lim

1 +

x1 = ∞, поэтому

ется вертикальной асимптотой.

x→0

x = 0 вертикальная асимптота;

lim

1 +

= 1, поэтому

x→∞

прямая y = 1 горизонтальная

асимптота;

2) прямая x = 0

вертикальная асимптота, прямая y = 1 горизонтальная

асимптота;

3) прямая x = 0 вертикальная асимптота, пря-

мая y = −1 горизонтальная асимптота.

4.8. Приложение дифференцирования к задачам геометрии и механики

263.

= 3,

tg ϕ =

k2 − k1

, ϕ = arctg

−

1 + k1k2

264.

y = 4x.

265.

= 0

, k2 = 9, ϕ

= arctg 9.

266.

y = 2x − 4.

267. 8x + 16y + 9 = 0.

268.

√

≈ 0, 744.

269.

ϕ = arctg

270. 1) α = arctg 2 в точках (0; 0) и (π; 0);

3π

2) α =

в точке (0;0), α =

в точке (π; 0).

271.

α = arctg(−9). 272. y′

убывает. 273. y′ возрастает.

274.

Любые кривые, проходящие через данную точку с на-

клоном, равным значению производной. 275. Аналогично.

276. (3; 6). 277. x′t(M1) = −6, x′t(M2) = 6.

278. 1) Дифференцируем уравнение гиперболы, считая x и y функциями времени. Получаем 2xx′t − 2yyt′ = 0. При 2x′t = yt′ имеем (x − 2y)yt′ = 0. Следовательно, координаты точки связаны соотношением x = 2y . Прямая y = x/2 проходит между асимптотами гиперболы y = ±x через сектора, в которых находятся ветви гиперболы. Пересекает гиперболу в точках

(

;

) и (

;

);

2) из x′

= y′

следует x = y , прибли-

√3

−√3

зиться к этому соотношению можно только бесконечно удаляясь от начала координат; 3) не существует. 279. yt′(M1) = 0,

yt′(M2) = 0. 280. 1) t1 = 0, t2 = 2; 2) F = m a = m vt′ = 0, t = 1; 3) t1 = 0, t2 = 2.

4.9.Исследование поведения функции

281.1) возрастает на интервалах (−∞; 2), (4/3; +∞), убывает на (−2; 4/3); 2) убывает на интервалах (−∞; 0), (1; +∞),

возрастает на (−1; 0); 3) убывает на интервалах (−∞; 0), (4/5; +∞), возрастает на (0; 4/5); 4) возрастает на интервалах (−∞; −1), (0; +∞), убывает на (−1; 0); 5) возрастает на интервалах (−1; 0), (1; +∞), убывает на (−∞; −1), (0; 1);

6) возрастает на интервалах (−∞; −3), (1; +∞), убывает на (−3; 1). 282. 1) возрастает на интервале (−∞; 1), убывает на (1; +∞); 2) убывает на интервалах (−∞; 0), (2; +∞), возрастает на (0; 2); 3) убывает на интервалах (−1; 0), (1; +∞), возрастает на (−∞; −1), (0; 1); 4) возрастает на интервале (1/e; +∞), убывает на (−∞; 1/e); 5) возрастает на интервале (1/√e; +∞), убывает на (−∞; 1/√e); 6) возрастает на интервалах (−∞; e−2), (1; +∞), убывает на (e−2; 1).

283. 1) min(2; −1); 2) max(1; −4); 3) min(0; 0), max(1; 1);
4) min(−1; 3), min(4; −128), max(0; 0); 5) max(1; 0),
√	√
min(5/3; 44/3); 6) min(− 8; −64), min(		8; −64), max(0; 0).

284.y′ = 6x4(5 − x), y′ > 0 на (−∞; 5) и y′ < 0 на (5; +∞).

285.y′ = 6x4(x−10), y′ 6 0 на (−∞; 10) и y′ > 0 на (10; +∞).

286.1) min(−1; −e−1); 2) min(0; 0), max(−2; 4e−2); 3) min(0; 0);

4) max(0; 1); 5) min(−1; −1/2), max(1; 1/2); 6) min(e−1; −e−1); 7) min(1/√e; −1/(2e)); 8) min(1; 0), max(e−2; 4e−2).

287.Использовать, что в таком случае функция f(x) выпукла вниз и производная, как тангенс угла наклона касательной, растет, то есть f′′ > 0. 288. 1) точка перегиба (1; 0), выпукла вверх на (−∞; 1), выпукла вниз на (1; +∞); 2) точка перегиба (3; −648), выпукла вниз на (3; +∞), выпукла вверх на (−∞; 0) и (0; 3); 3) точка перегиба (1/3; −119/27), выпукла вверх на (−∞; 1/3), выпукла вниз на (1/3; +∞).

289. 1) точки перегиба x1 = −

√

и x2 =

√

, выпукла вверх

на −

√

;

√

, выпукла вниз на −∞; −

√

; +∞ ;

2) точки перегиба x1 = −√

и x2 = √

, выпукла вверх на

√

(−∞; − 3) и (0;

3), выпукла вниз на (− 3; 0) и ( 3; +∞);

3) точки перегиба

x1 = −

√

x2 =

√

, выпукла вниз на

−

√

;

√

, выпукла вверх на

−∞; −

√

; +∞ ;

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]