Сборник задач по высшей математике. Часть 1

4) всюду выпукла вниз; 5) точки перегиба x1 = −1 и x2 = 1, выпукла вверх на (−∞; −1) и (1; +∞), выпукла вниз на (−1; 1); 6) точка перегиба x = 2, выпукла вверх на (−∞; 2), выпукла вниз на (2; +∞). 290. y′′ = x2(1 − x), y′′ > 0 на интервале (−∞; 1], y′′ < 0 на (1; +∞). 291. 1) y = 0 горизонтальная асимптота; 2) y = 0 горизонтальная асимптота; 3) x = ±1 вертикальные асимптоты, y = −1 горизонтальная асимптота; 4) y = ±π/2 горизонтальные асимптоты; 5) y = 0 горизонтальная асимптота в левой полуплоскости; 6) y = 0 горизонтальная асимптота в правой полуплоскости. 292. 1) y = x − 2; 2) y = x; 3) y = x − π/2 в правой полуплоскости, y = x + π/2 в левой полуплоскости.

293. 1) определена, непрерывна и положительна на (−∞; +∞), y(0) = 4, y′ = 2x − 3, y′′ = 2 > 0. Всюду выпукла вниз, имеет минимум при x = 3/2, ymin = y(1,5) = 1,75; 2) определена и непрерывна на (−∞; +∞), y = (x−4)x3 , корни x = 0 и x = 4, положительна на (−∞; 0) (4; +∞), отрицательна на (0; 4), y′ = 4(x − 3)x2 , критические точки x = 0 и x = 3, убывает на (−∞; 3), возрастает на (3; +∞), y′′ = 12(x − 2)x, выпукла вверх на (0; 2), вогнута вниз на (−∞; 0) (2; +∞), точки перегиба (0; 0) и (2; −16), экстремум ymin = y(3) = −27; 3) функция определена и непрерывна на (−∞; +∞), корнями

(−∞; 1) и вогнута вниз на (1; +∞), точка перегиба (1; −11), экстремумы ymax = y(−1) = 5 и ymin = y(3) = −27; 4) функция определена и непрерывна на (−∞; 0) (0; +∞), отрицательна на (−∞; 0) и положительна на (0; +∞), в точке x = 0

1

разрыв 2-го рода, асимптоты x = 0 и y = 0, y′ = −x2 > 0,

81

2

функция убывает на (−∞; 0) (0; +∞), y′′ = x3 , выпукла на

(−∞; 0) и вогнута на (0; +∞); 5) функция определена, непрерывна, отрицательна и выпукла на (−∞; 0) (0; +∞), в точке x = 0 разрыв 2-го рода, асимптоты x = 0 и y = 0, убывает на (−∞; 0) и возрастает на (0; +∞);

возрастает на (−∞; 0) и (2; +∞), убывает на (0; 2), экстремум ymin = y(2) = 3; 8) функция непрерывна и убывает на (−∞; 1) (1; +∞), отрицательна на (−1; 1) и положительна на (−∞; −1) (1; +∞), в точке x = 1 разрыв 2-го рода, асимптоты x = 1 и y = 1, выпукла на (−∞; 1) и вогнута на (1; +∞);

10) функция нечётная, всюду непрерывная, отрицательная на (−∞; 0) и положительная на (0; +∞), убывает на (−∞; −1)

82

84