Сборник задач по криптологии. Сборник задач для студентов, обучающихся по направлению 10.03.01 «Информационная безопасность», профиль «Комплексная защ
.pdf
Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего образования
«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»
(ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)
Кафедра «Информационная безопасность»
В.М. Фомичев
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КРИПТОЛОГИИ
Сборник задач для студентов, обучающихся по направлению: 10.03.01 «Информационная безопасность», профиль: «Комплексная защита объектов информации»
МОСКВА
2019
УДК003.26 ББК32.973-018.2
Ф 76
Рецензенты:
Крылов Г.О. – доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Информационная безопасность» Финансового университета при Правительстве Российской Федерации;
Варфоломеев А.А. – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Информационная безопасность» МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Фомичев В.М.
Ф 76 Сборник задач по криптологии. Сборник задач для студентов, обучающихся по направлению: 10.03.01 «Информационная безопасность», профиль: «Комплексная защита объектов информации» / В.М. Фомичев. — М.: Прометей, 2019 — 104 с.
Сборник содержит типовые задачи по криптологии, опирающиеся на базовые знания из дискретной математики, теории сложности алгоритмов и теории вероятностей. Выборочно даны ответы на вопросы, поставленные в задачах, в некоторых случаях – с комментариями, указывающими на способ решения задачи. Материалы сборника предназначены для использования при проведении семинарских занятий с бакалаврами и магистрами, обучающимися по направлению 10.03.01 «Информационная безопасность». Теоретические основы, необходимые для решения задач, изложены в книгах:
1) Фомичев В.М. Методы дискретной математики в криптологии (ISBN 9785864042342); 2) Фомичев В.М., Мельников Д.А.
Криптографические методы защиты информации. В 2-х ч.:
учебник для академического бакалавриата, ч.1 (ISBN 97859916708833).
|
© В.М. Фомичев, , 2019 |
ISBN 978-5-907100-39-8 |
© Издательство «Прометей», 2019 |
СОДЕРЖАНИЕ
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ . . . . . . . . . . . 5
Раздел 1. |
МНОЖЕСТВА, ФУНКЦИИ, АЛГОРИТМЫ . 9 |
|
Раздел 2. |
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ . . . . 17 |
|
Раздел 3. |
БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ . . . . . . . 21 |
|
Раздел 4. |
ТЕОРИЯ ГРАФОВ . . . . . . . . . . . 25 |
|
Раздел 5. |
ДИСКРЕТНЫЕ ФУНКЦИИ . . . . . . . 29 |
|
Раздел 6. |
ПОЛУГРУППЫ, ГРУППЫ, |
|
|
КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ . . . . . . . . . . |
31 |
Раздел 7. |
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ, |
|
|
АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА . . . . . . . . |
34 |
Раздел 8. |
ФУНКЦИИ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ. |
|
|
РЕШЕНИЕ СРАВНЕНИЙ . . . . . . . . 37 |
|
Раздел 9. |
ФУНКЦИИ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ . . . . . 43 |
|
Раздел 10. |
СБАЛАНСИРОВАННОСТЬ |
|
|
И БИЕКТИВНОСТЬ ФУНКЦИЙ . . . . . 50 |
|
Раздел 11. |
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ |
|
|
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ . . . . . . . 54 |
|
Раздел 12. |
КОНЕЧНЫЕ АВТОМАТЫ МИЛИ . . . . |
61 |
Раздел 13. |
СТАТИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА |
|
|
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ . . . . . . . 64 |
|
— 3 —
Содержание
Раздел 14. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ . . . . . . . . . . . . . 66
Раздел 15. СИСТЕМНЫЕ И ИСТОРИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ КРИПТОЛОГИИ . . . . . . . 73
Раздел 16. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ИСТОЧНИКОВ ОТКРЫТЫХ СООБЩЕНИЙ И ШИФРОВ . . . . . . . 75
Раздел 17. АВТОМАТНЫЕ МОДЕЛИ СИММЕТРИЧНЫХ КРИПТОСИСТЕМ . . 78
Раздел 18. ПОТОЧНЫЕ ШИФРЫ И КРИПТОГРАФИЧЕСКИЕ
ГЕНЕРАТОРЫ . . . . . . . . . . . . 80
Раздел 19. СИММЕТРИЧНЫЕ БЛОЧНЫЕ ШИФРЫ . 84
Раздел 20. ХЕШ-ФУНКЦИИ И АСИММЕТРИЧНЫЕ КРИПТОСИСТЕМЫ . . . . . . . . . . 87
Раздел 21. КЛЮЧЕВАЯ ПОДСИСТЕМА КРИПТОСИСТЕМЫ . . . . . . . . . . 90
Раздел 22. ОСНОВЫ КРИПТОГРАФИЧЕСКОГО АНАЛИЗА . . . . . . . . . . . . . . 92
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ . . . . . . . . . . . . . 96
— 4 —
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
N – множество натуральных чисел;
N0 =N {0};
Z – множество целых чисел;
Q– множество рациональных чисел;
R– множество действительных чисел;
a |
– наибольшее целое число, не большее a, |
|
a R; |
a |
– наименьшее целое число, не меньшее a, |
|
a R; |
Nn |
= {1,…,n}, где n N; |
m |
– m делит n без остатка, где m,n N; |
n |
|
m/n |
– дробь с числителем m и знаменателем n; |
loga |
= log2a; |
D(n) |
– множество всех делителей d числа n, где |
|
d,n N; |
НОК(i,…,j) |
– наименьшее общее кратное натуральных |
|
чисел i,…,j; |
[п,т] |
= НОК(n,m); |
НОД(i,…,j) |
– наибольший общий делитель натураль- |
|
ных чисел i,…,j; |
— 5 —
Условныеобозначения
(n,m)Х =ordХ
Хm
X/
x y
Zm
GF(pn)
Р[x1,…,xn]
degf Рn
Vn
dimV
f–1
f{–1}(y)
||f|| Π(X)
Πn
S(X)
Sn
= НОД(n,m);
–порядок конечного множества Х;
–декартова m–я степень множества Х, где m N;
–фактормножество множества X по отношению эквивалентности ;
–элементы x и y эквивалентны;
–кольцо вычетов по модулю m, m N;
–поле Галуа порядка pn, где n N;
–кольцо многочленов над полем Р от x1,…, xn;
–степень многочлена f;
–n-мерное пространство векторов над полем Р;
–n-мерное пространство векторов над полем GF(2);
–размерность векторного пространства V;
–функция, обратная к функции f;
–полный прообраз элемента y относительно функции f;
–вес булевой функции f;
–моноид всех преобразований множества X;
–моноид всех преобразований n-множества;
–полная симметрическая группа подстановок множества X;
–полная симметрическая группа подстановок степени n;
— 6 —
S
g
ordg
Г(g) (Г(S))
X→
X*
t(X→)
ν(X→)
Λ(Х→)
АНФ
б.ф.
к.г.
ш.а.
ДНФ
ЛРП
ЛРПmax-п
ЛРС
Условныеобозначения
–полугруппа или группа, порождённая множеством S;
–полугруппа или группа, порождённая элементом g;
–порядок элемента g полугруппы (группы) G;
–граф преобразования g (системы S преобразований);
–последовательность над конечным множеством X;
–множество всех последовательностей над множеством X;
–длина периода последовательности X→;
–длина предпериода последовательности
X→;
–линейная сложность последовательности
X→;
–алгебраическая нормальная форма (булевой функции);
–булева функция;
–криптографический генератор;
–шифрующий автомат;
–дизъюнктивная нормальная форма (булевой функции);
–линейная рекуррентная последовательность;
–ЛРП порядка п с максимальной длиной периода;
линейный регистр сдвига;
— 7 —
Условныеобозначения
ЛРСmax-п |
ЛРС длины п с максимальной длиной |
|
периода; |
НРП(k,п) |
нормальная РП(k,п); |
РП(k,п) |
– рекуррентная последовательность |
|
порядка п над k-множеством; |
СДНФ |
– совершенная ДНФ (булевой функции); |
ч.у.м. |
– частично упорядоченное множество; |
– «…тогда и только тогда, когда…»;
v– «докажите, что…».
— 8 —
Раздел 1. МНОЖЕСТВА, ФУНКЦИИ, АЛГОРИТМЫ
1. При каких натуральных n множество D(n):
а) является подмножеством множества D(12); б) содержит множество D(12)?
2.Перечислите элементы множеств: D(12)∩D(20), D(44)∩D(77), D(15) D(9), D(18) D(17).
3.v счетным является: множество Q; объединение счетного множества счетных множеств.
4.Верны ли равенства: D(35)∩D(42)=D(63)∩D(245), D(8)∩D(14)=D(9)∩D(25)?
5.Дайте словарное описание множества:
а) {n N: n>100}, б) {x Q: 0≤x≤1},
в) {с Z: c=5k, k Z},
г) {n N: n=10k, k≤25, k N}.
6. Сделайте теоретико-множественную запись множеств: а) все натуральные числа, не меньшие 1000 и не пре-
вышающие 10000; б) все натуральные числа, кратные 8 и не делящие 256;
в) все матрицы действительных чисел с положительным определителем;
— 9 —
Раздел1.Множества,функции,алгоритмы
г) все действительные многочлены степени не меньшей m;
д) все нечетные числа, не меньшие 5 и не превышающие 99;
е) все подмножества множества {0,1,…,15}; ж) все подмножества множества {0,1,…,15}, содержа-
щие элемент 0.
7. Определите порядки множеств:
{n N: 1<n<98}, D(128), {с Z: –10<с<11}, {n N: n=8k, n≤88, k N}.
Сколько непустых подмножеств содержится в этих множествах?
8.Сколько различных подфункций имеется у функции f: {1,…,n}→{0,2,4}?
9.Могут ли у функции быть две одинаковые подфункции?
10.Является ли функцией соответствие:
а) клиенту банка – номер счета в банке; б) клиенту банка – множество номеров счетов в банках; в) автомобилю – его водитель; г) автомобилю – его заводской номер;
д) рыбаку – вес сегодня пойманной рыбы; е) клиенту Сбербанка – номер пластиковой карты;
ж) клиенту Сбербанка – множество номеров его пластиковых карт?
11.Какие из функций, указанных в задаче 10, являются обратимыми?
12.Является ли обратимой функция:
а) f:N→N, где f(n)=n+2; б) f:Z→Z, где f(c)=c+2; в) f:N→N, где f(n)=5n; г) f:Z→Z, где f(c)=3c+1?
— 10 —