Сборник задач по криптологии. Сборник задач для студентов, обучающихся по направлению 10.03.01 «Информационная безопасность», профиль «Комплексная защ
.pdf
Раздел21.Ключеваяподсистемакриптосистемы
8.Назовите приемы построения ключевых систем, направленные на сокращение объема ключевого материала, хранящегося у пользователя.
9.Перечислите способы хранения ключей, обеспечивающие секретность ключа. Укажите преимущества и недостатки каждого способа хранения ключей.
10.Что такое обоюдная аутентификация пользователей? С использованием какого протокола она выполняется?
11.Какую задачу необходимо решить критоаналитику для компрометации ключей, сгенерированных в ходе бесключевого протокола Мэсси-Омуры?
12.Найдите методом Ферма разложение на множители числа:
а) 744720; б) 321368.
13.Сколько различных (независимых) бинарных ключей длины 64 можно сгенерировать с помощью ЛРПmax-150?
— 91 —
Раздел 22.
ОСНОВЫ КРИПТОГРАФИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
1.В чем основное отличие теоретической и практической стойкости систем шифрования?
2.Каковы основные характеристики практической стойкости криптосистемы?
3.В чем различие подходов криптографа и криптоаналитика к оценке стойкости криптографической системы?
4.Как связаны вычислительная и временная сложности решения задач?
5.Можно ли применить асимптотический анализ стойкости к шифру Вернама?
6.Каковы основные этапы исследований при выполнении криптоанализа?
7.Какие допущения о возможностях криптоаналитика делает криптограф при анализе стойкости системы шифрования?
8.Каковы основные отличия кластерных и распределенных вычислительных систем?
9.Определите основные классы методов криптографического анализа.
—92 —
Раздел22.Основыкриптографическогоанализа
10.В чем заключена идея построения двухэтапных методов криптоанализа, состоящих из предварительного и оперативного этапов?
11. Криптографическая стойкость шифра Е оценена в 2015 году величиной 10200 условных вычислительных операций. Используя закон Мура, дайте оценку стойкости шифра Е, ожидаемую:
а) в 2025 году; б) в 2050 году.
12.Во сколько раз увеличится сложность полного перебора ключей, если длина ключа увеличится на 1 бит; на 10 бит?
13.Что такое ЭП? Какие схемы ЭП вам известны? Докажите корректность ЭП в схемах RSA и Эль-Гамаля.
14.Какие требования предъявляются к ЭП?
15.Как устроены электронные платежные системы? Для обеспечения какого свойства необходимо использование хеш-функции?
16.Перечислите основные виды ЭП.
17.Докажите корректность слепой подписи Чаума с использованием RSA.
18.Какие разработаны алгоритмы слепой подписи?
19.Какие проблемы прямой подписи решают при арбитражной подписи?
20.Чем отличается аутентификация от идентификации информации?
21.Какие основные функции реализует реализует управление доступом в базе данных?
22.Каковы основные цели и средства обеспечения целостности информации?
—93 —
Раздел22.Основыкриптографическогоанализа
23.В чем существо аудита и оповещения об опасности
вИТС?
24.v при неравномерном распределении вероятностей на множестве K ключей криптосистемы минимум средней трудоемкости МПП достигается при опробовании ключей в порядке убывания их вероятностей.
25.Однонаправленная хеш-функция принимает значения
из множества Vn. При каком n случайная пара сообщений составляет коллизию с вероятностью, не большей 10–9?
26.Временная сложность дешифрования криптосистемы на момент разработки в 2000 году оценена: а) в 100 лет; б) в 1000 лет. Через сколько лет в соответствии с «законом Мура» время дешифрования криптосистемы не превысит 1 часа?
27.Ключ генератора гаммы {gi} – начальное состояние автономных автоматов A=(V11,V1,h,f) и A′=(V10,V1,h′,f′), gi – сумма выходных знаков автоматов, i=1,2,… Определите трудоемкость метода согласования для определения ключа по гамме, размер необходимой памяти и число знаков гаммы, достаточное для однозначного определения ключа.
28.Оцените трудоемкость реализации оперативного этапа метода Хеллмана для СБШ с ключевым множеством порядка 264, если размер блоков данных равен 64 битам.
29.Определите трудоемкость решения системы уравнений
F30,30/(a1,...,a30) над GF(2) методом последовательного опробования, если S(f1+3j),S(f2+3j),S(f3+3j) {1+j,2+j,3+j}, j=0,1,...,9.
30.Определите необходимый размер памяти p и трудоемкость Т решения системы уравнений Fm,п/(a1,...,am) над
—94 —
Раздел22.Основыкриптографическогоанализа
GF(2) степени d методом формального кодирования, если линеаризованная система имеет максимальный ранг и решается методом Коновальцева:
а) m=900, п=40, d=2; б) m=800, п=40, d=2; в) m=10000, п=40, d=3; г) m=9000, п=40, d=3.
31.Какова сложность XL-метода решения системы уравнений гаммообразования фильтрующего генератора над GF(2) на базе ЛРС длины п с фильтром, зависящем существенно от k переменных, если известны m знаков гаммы:
а) m=106, п=102, k=5; б) m=106, п=50, k=8.
32.Криптограмма y1,…,yt получена при зашифровании текста x1,…,xt с использованием синхронного шифра гаммирования по модулю 10. Улучшатся ли криптографические свойства шифрования, если эту криптограмму повторно зашифровать, используя тот же отрезок гаммы; другой отрезок гаммы, сгенерированный независимо от первого отрезка?
33.Сколько знаков двоичной гаммы достаточно в среднем
для различения истинного и ложного ключей (K=V30) генератора, если использовать статаналог g выходных функций fi, где dist(fi,g)=229+225, i=1,2,…?
34.Постройте матрицу дифференциальных характеристик для одного из s-боксов DES-алгоритма.
35.Какова стойкость шифра с ключами длины 512 бит, если ключ есть отрезок ЛРПmax-100, сгенерированный при случайном начальном состоянии?
—95 —
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Раздел 1
16. n/(2n+1).
22.а) А B С; б) А; в) А В.
25.2n–m.
28.Нет; X = Y .
29.80.
33.Cnk (n −1)n−k .
35.2n–m – 2.
45.а) 3n; в) (b – 1)15.
48.а) C153 3 26 , C159 33 23 , 35 .
49.26.
50.37.
59. 20×19×18=6840. 61. е) О(n3log2а).
Раздел 2
2.(ab)c ≠ a(bc), не полугруппа, не коммутативна, ab ≠ ba.
3.nk, где k = n2 (k = n(n+1)/2).
5. а), в) – группы.
7. а), б) подкольцо; в) не подкольцо. 11. H = H {(0,0,0,0)}, dim H = 2. 18. а) нет; б) нет.
20. да.
— 96 —
Ответыирешения
Раздел 3
1. а) n+1 классов порядков Cni , i=0,1,…n; б) 2n–2 классов порядка 4.
6. а) нет; б) нет.
10. а) 4; в) 0.
13. а) infY=(0100), supY=(0111).
15. |
а) (1,…,1); б) (0,…,0). |
16. |
а) 2q–p – 1. |
17. |
Да, так как 18 144. |
18. |
Нет, так как НОД(18,45) не делит 88. |
20. |
а) Нет, h(D(210)) < 7, б) да, {15,21,33,35,55,77}. |
21. |
Да, обе изоморфны V4. |
22. |
Изоморфны при n = 4. |
31. |
а) 192, 256; б) 128, 160. |
Раздел 4
1. б) Cmk , где m = n(n–1)/2.
2. б) Ck( −1) .
n n
4. Является n нечетное.
13. 1.
19.При четном n–k; C(g) = (1[k],2[m]), где m = (n–k)/2.
20.(n–2)!.
Раздел 5
5. (n/2)×n!.
8. 8!, 28!, p8!.
10. m0m1m2+m0m2m3, m1m2m3+m0m1m3.
Раздел 6
10. d циклов длины 2n/d, где d=(k,2n). 13. 4, 36, 212.
15. g7, g12.
— 97 —
Ответыирешения
Раздел 7
2. а) О(log2n); б) О(log2n). 5. 259314103.
15. a) q=535, r=4.
Раздел 8
10. 23!=21939547311213×17×19×23. 13. а) 7 ={1,7}.
18.Применить малую теорему Ферма.
19.Применить теорему Эйлера.
25. а) x = 6.
28. а) x≡0 mod5.
30.Z11*= 2 , j(10) = 4.
31.в) 2.
44. 272 первообразных корня при m=289.
Раздел 9
6. а) от 9 до 10; б) от 9 до 12.
11. Вес произведения (суммы) б.ф. выразите через веса сомножителей (слагаемых).
13. ||f||=2n–1.
14.
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
degf |
n |
1 |
т |
2 |
n–3 |
|
|
|
|
|
|
||f|| |
2n–1 +(–1)n |
2n–1 |
22т–2 +2 |
3×23т–3 |
2n–1 – 23 |
15.15/31.
16.23 2n−2 .
18.С 512256 – 210 + 2.
19.17.
25.2 Cnk .
26.а) Нет ( Т0). б) Нет ( Т1). в) Полна.
— 98 —
Ответыирешения
27. а) a=b=1; б) a=1, b=0; в) a b=1.
30. а) b d e; б) b g; в) (b1)(a b d1). 32. f = (0011110001101001) = x2 x3 x1x4,
f = (0110110001101100) = x2 x3 x4 x2x4; g = (1010010111110000) = 1 x2 x4 x1x4, g = (1011010010110100) = 1 x2 x4 x3x4,
g = (1011010011100001) = 1 x2 x4 x1x4 x3x4; f1 = (0010110111010010) = x1 x2 x3 x3x4,
f1 = (0110110010010011) = x1 x2 x3 x4 x2x4,
f1 = (0111110110000010) = x1 x2 x3 x4 x2x4 x3x4;
g1 = (1010110000110101) = 1 x1 x4 x1x3 x1x4 x2x3 x2x4, g1 = (1011110100100100) = 1 x1 x4 x1x3 x1x4 x2x3
x2x4 x3x4.
34.б) Эквивалентны относительно GL3.
35.г) 24, 45.
37.Первая.
38.JQ10(f) =S10×A10, где A10 =29.
41.dimV=n+1.
42. а) являются.
Раздел 10
6. Нет.
10.Нет, преобразование не инъективное.
11.а) Нет; б) нет.
12.Имеет.
15.а) да; б) – да.
16.Нет.
20.а) нет.
21.а) Ни при каких.
Раздел 11
1. не образует.
4. б) (а,m)=1=(b,m).
— 99 —
Ответыирешения
6. п > 5.
10. a) n0=ng=0, t0=1, tg=28; б) n0=2, t0=ng=tg=5.
12.2п–1 циклов длины 2.
13.а), б) – не является; в) – является.
16.d циклов длины (2п–1)/d, где d=(k,(2п–1)).
21.4.
23.а),б),в),г) – нет.
27.а) (213 – 1)(217 – 1)(219 – 1).
33.239<L<240.
35.б) Х→={0,1,1,0,1,1, …}, m(l)=l2 l 1.
36.а) {0,2,2,2,3,3,3,5}.
39.m2n–r – f(0,…,0).
40.L(Х→) < 31, так как Х→ компенсированная.
Раздел 12
2.nnrmn.
3.(100) при входах (u,(00)), (u,(01)), u V2, и (110) при остальных входах.
4.Сокращённый.
5.а), б) пт; в) п+т.
6.Не следует.
12.а) 2т+1 при т=2п–1; б) 2т+п(2п–1).
13.Мощность всех классов эквивалентности не меньше 2t–1, где t=min(r,m).
14.а) f=xkxk+1; б) f=xk xk+1 xk+2; в) f=(xk xk+1)(xk+2 xk+1).
15.б) y биективна по s1, f=si.
Раздел 13
4. Первый и второй.
6. а) (2п–1)–1/2.
Раздел 14
10. exp{M1,M2} = 3.
— 100 —