Сборник задач по криптологии. Сборник задач для студентов, обучающихся по направлению 10.03.01 «Информационная безопасность», профиль «Комплексная защ

Раздел 6. ПОЛУГРУППЫ, ГРУППЫ, КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ

1.v если a–1b H для любых a,b H, то множество H-подгруппа.

2.v если H – подгруппа группы G, то бинарное отношение RH на G есть отношение эквивалентности: a,b RH a–1b H.

3.v лишь 1 смежный класс группы по собственной подгруппе есть подгруппа.

4.v в конечной группе: а) ordа=ordа–1; б) ordаb=ordbа.

5.v группа простого порядка – циклическая.

6.v при любом п имеется циклическая группа порядка п.

7.v в ряду {gi, i≥1}, где g – элемент группы, первым повторится элемент g.

8.v области транзитивности группы подстановок g суть циклы подстановки g.

9.Каков порядок группы Т , где Т – подстановка степени n циклического сдвига? Сколько в Т примитивных элементов? Каков порядок подгруппы Тт , где 1<т<n?

10.Определите цикловую структуру подстановки gk, где g – полноцикловая подстановка множества Vn.

—31 —

Раздел6.Полугруппы,группы,конечныеполя

11.Разложитециклическуюгруппу g порядка15насмежные классы по подгруппе g3 .

12.Найдите порядки g3 , g4 , g17 , g20 , g21 при ordg = 24. Какие подгруппы совпадают?

13.Сколько образующих элементов содержится в циклической группе порядка 8, 108, 321?

14.v если элемент g полугруппы имеет тип (d,n) и gd=gd+n, то d≥d и n делит n.

15.Определите идемпотент полугруппы g с определяющим соотношением:

а) g3=g10, б) g11=g15.

16.v если элемент g полугруппы необратим, то подполугруппа g не является моноидом.

17.Опишите граф преобразования g ранга n–1, где gPn.

18.v Sti(Sn) =(n–1)! для i=1,…,n.

19.Биективно ли преобразование g(x) множества Vn, где g(x)=x Т(x) и Т(x)=(x2,…,xn,x1) для x=(x1,…,xn–1, xn) Vn. Определите неподвижные точки преобразования g(x).

20.Определите тип преобразования g множества V3, циклическую полугруппу g и ее максимальную подгруппу:

21.Какие подстановки сопряжены в Sn с тождественной подстановкой?

—32 —

Раздел 7. ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ, АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА

1.Оценить в двоичных операциях порядок трудоемкости вычисления:

а) числа 5n; б) (n+1)n;

в) числа (2n)!;

г) биномиального коэффициента Cnm ;

д) значения f(n) для действительного многочлена

f(x) = a0 + a1x +…+ amxm; е) обеих частей равенства

12 + 22 +…+ (2n)2 = n(2n + 1)(4n +1 ) / 3.

2.Какова сложность вычисления в двоичных операциях выражения:

а) n2+2n; б) n5+8n; в) 17n; г) mn ?

3.Какова сложность умножения в двоичных операциях: а) двоичного вектора длины 100 на 0,1-матрицу порядка 100; двух 0,1-матриц порядка n; в) 0,1-матрицы размера n×m на 0,1-матрицу размера m×r?

4.Определите сложность вычисления левой и правой частей закона ассоциативности умножения матриц для матриц А, В и С размера 10×16, 16×3 и 3×13 соответственно.

—34 —

Раздел 8. ФУНКЦИИ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ. РЕШЕНИЕ СРАВНЕНИЙ

1.Какие два целых числа называются сравнимыми по модулю m? Что называется: а) классом вычетов по модулю m; кольцом вычетов по модулю m ?

2.Постройте таблицу умножения: числа 5 в кольце Z7; числа 11 в кольце Z12; числа 6 в кольце вычетов Z9. Обратимы ли эти числа в соответствующих кольцах вычетов?

3.Найдите все обратимые элементы кольца: Z5; Z6; Z12; Z18;

Z34; Z59; Z129.

4.Когда кольцо вычетов по модулю m является полем? Ка-

кое из колец вычетов Z13, Z24, Z91, Z127, Z69, Z129, Z257 является полем? Поясните.

5.Какая пара чисел сравнима по mod7 и не сравнима по mod5: (42,47), (–2,12), (19,–6)?

6.Сложите сравнения и определите класс вычетов, содержащий результат:

а) − 9 ≡ 12(mod7), 17 ≡ 3(mod7);

б) − 5 ≡ 12(mod17), 17 ≡ 85(mod17).

7.Умножьте сравнения и определите класс вычетов, содержащий результат:

—37 —

Раздел8.Функциитеориичисел.Решениесравнений

20.Определите остаток от деления числа 6123456 на 7; на 11; на 13. То же вычислите для чисел 2876543 и 5373737.

21.Используя быстрое экспоненцирование, вычислить 5125 mod14, 9125 mod14, 3882 mod123, 2984 mod123, 49435 mod333, 34607 mod225.

22.Какими цифрами заканчиваются полные квадраты в 16-чной системе?

23.С помощью теста Ферма докажите, что составными являются числа: а) 799; б) 2173; в) 1073.

24.Построить непрерывные дроби для чисел 33/8, 117/44, 5069/345, 10118/931. По таблице числителей и знаменателей подходящих дробей определите разность соседних походящих дробей для всех шагов вычислений.

25.Решить сравнения, предварительно определив число решений:

а) 3x≡4 mod7; б) 3x≡4 mod12;

в) 9x≡12 mod21; г) 27x≡25 mod256;

д) 27x≡72 mod900; е) 103x≡612 mod676; ж) 132x≡604 mod1004.

26.Решить систему линейных сравнений: а) {x≡4 mod7, x≡1 mod3, x≡2 mod5}; б) {x≡2 mod3, x≡3 mod5, x≡1 mod11};

в) {x≡4 mod11, x≡8 mod10, x≡6 mod13, x≡31 mod43}; г) {9x≡2 mod11, 8x≡5 mod13, 2x≡7 mod19, 5x≡16 mod23}; д) {2x≡8 mod12, 6x≡15 mod21};

е) {9x≡51 mod66, 25x≡30 mod35, 91x≡65 mod143}; ж) {12x≡45 mod69, 10x≡12 mod34, 5x≡3 mod36};

з) {3x≡5 mod7, x≡5 mod11, 4x≡1 mod49, 6x≡7 mod55}; и) {x≡7 mod15, x≡15 mod16, x≡19 mod25, x≡8 mod36}; к) {12x≡27 mod39, 10x≡12 mod14, 5x≡3 mod16}.

—39 —