Сборник задач по криптологии. Сборник задач для студентов, обучающихся по направлению 10.03.01 «Информационная безопасность», профиль «Комплексная защ

Раздел10.Сбалансированностьибиективностьфункций

а) gi(x1,...,xn) = xixi+1, i=1,…,n–1, gn(x1,...,xn) = = xnx1 x1 1;

б)gi+1(x1,...,xn)=x1 … xi,i=1,…,n–1,g1(x1,...,xn) ... gn(x1,...,xn)= =x1 … xn?

15. Является ли алгебраически зависимой система б.ф.:

а) {x1x2 x3, (x2 x3)(x1 x4), x1x2 x1x3 x4,x2 x4}; б) {x1x2x3x4 x3, x2 x3, x1x2 x4 1,x2x3 x4};

в) {x1x2x4 x3, x2 x3, x1x2 x4, x1 x2 x3 x4}.

16. Имеются ли среди преобразований g1, g2, g3 множества V4 взаимно обратные:

g1 = {x1, x2 x3, x3 x4, x1 x2},

g2 = {x1, x1 x2, x3 x4, x2 x3 x2x3},

g3 = {x1 x2x4, x2 x1x3, x3 x2x4, x4 x1x2}?

17. Определите, какие преобразования V4 биективны:

а) g={x2,x1,x3,x3 x4};

б) g={x2,x3,x4,x1 x3 x4}; в) g={ x4 ,x2 x3, x2 ,x1}?

18.v множество неподвижных точек линейного преобразования пространства Pn образует подпространство.

19.vдля аффинного преобразования g пространства Рn при любых х,у,z Рn

g(х – у + z) = g(х) – g(у) + g(z).

20.Определите, какие преобразования ЛКГ биективны:

а) g(x) = (6x+3) mod16, б) g(x) = 9x mod16,

в) g(x) = (8x+1) mod35, г) g(x) = 27x mod147.

21.При каких двоичных константах a,b,c сбалансирована система б.ф.

а){ax1x2 bx2, ax3 bx1x3 cx2, c(x1 x3)}; б) {(a b)x2, ax3 bx1x3 cx2, c(x1 x2x3)}?

— 52 —

Раздел10.Сбалансированностьибиективностьфункций

22.Найти a,b,c {0,1}, при которых система б.ф. является сбалансированной; преобразованием (биективным) регистра левого сдвига:

а) {(a b)x1x2 bx2, abx3 cx2, bx1 c(x1 x3)};

б) {(ax1 (b с)x2, (a с)x1 (a b)x2 x3, ax1 bx2 cx3};

в) {(a b)x2 (a с)x3, (aс 1)x1 a(b 1)x2 (a с)x3, (a b) x1 (a с)x2 (b c)x3}.

23. v если g – подстановка двоичного регистра сдвига длины n, то и g–1 – подстановка регистра длины n. Образуют ли группу подстановки всех регистров длины n ?

24. v отображение неавтономного регистра левого (правого) сдвига над Х с любой обратной связью является сбалансированным.

25. vприлюбойб.ф.y(x2,...,xn)илюбыхдвоичныхконстан-

тах а1,а2,…,ап вес булевой функции (y(x2,...,xn) x1 а1)(x2 а2)…(xп ап) равен 1.

26. vвсе треугольные подстановки множества Хп образуют группу.

27. Определите порядок моноида всех треугольных преобразований (группы всех треугольных подстановок) множества Xn.

28. v граф Гn двоичного неавтономного регистра сдвига длины n, построенный по системе образующих {fg0,fg1}, не зависит от функции обратной связи. Постройте граф Г3.

29. При каких функциях f и y функция g – подстановка множества V6:

а) g = {(x2, x3, x4, x5, x6, x1f(x4,x5,x6) y(x1,x2,x3)}; б) g = {(x2, x3, f(x4,x5,x6), x5,x6, y(x1,x2,x3)}?

30. Приведите примеры биективных и небиективных булевых функций.

— 53 —

Раздел 11. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

1.Образуют ли векторное пространство все последовательности над полем P с длиной периода не больше t; не меньше t; равной t; кратной t, где t>2?

2.v Если последовательность {xi} над Zm периодическая и (m,а)=1, где а Zm, то n({xi})=n({аxi}) и t({xi})=t({аxi}).

3.v если X→=Х1→•…•Xп→ и t(X→)=210, то t(Xi→)=210 при некотором i {1,…,n}.

4.Пусть последовательности {xi} и {yi} над Zm периодические с длинами периодов t1 и t2 соответственно, где

(t1,t2) = 1.

а) vдлина периода tпоследовательности {(xi+yi) modm} равна t1t2. Каково наименьшее из возможных значений t, если (t1,t2)=d>1?

б) При каких а,b Zm длина периода t({(аxi+byi) modm})=t1t2?

5. Пусть {xi} – периодическая последовательность над Х и t(X→) = t. Какова при r N длина периода t подпоследовательности: а) {xri}; б) полученной из {xi} изъятием подпоследовательности {xri}, где r t?

— 54 —

Раздел11.Периодическиепоследовательности

6.У преобразования g множества Vn длины предпериодов

ипериодов нулевого вектора равны соответственно 25

и17. При каких n N это возможно?

7.Составьте таблицу функции взаимной корреляции последовательностей:

а) (00010111) и (00101110); б) (01010100) и (10101010).

8.Составьте таблицу функции автокорреляции последовательности:

а) (00010111); б) (0101010001); в) (1011110111); г) (1011010101).

9.Являются ли совершенно некоррелированными булевы функции:

а) x1 1 и x2 x3; б) x1 x2 и x1 x3;

в) x1 x2 x3 и x1 x3 x2x3?

10.Постройте граф преобразования g регистра левого сдвига длины n с обратной связью f, определите длины предпериодов и периодов нулевого вектора и преобразования g:

а) n=4, f(x1,...,x4) = x1 x2x4;

б) n=4, f(x1,...,x4) = x1x3 x2x4 1;

в) n=5, f(x1,...,x5) = x2x3x5 x3x4 x2x4 x2 x1 1;

г) n=5, f(x1,...,x5) = x2x3x4x5 x1x3x4 x2x4 x3 x2 x1 1.

11. Определите цикловую структуру и порядок регистровой подстановки с обратной связью f(x1,…,xn):

а) n=4, f(x1,...,x4) = x1 x2x3 1;

б) n=4, f(x1,...,x4) = x1 x2 x3x4 1;

в) n=5, f(x1,...,x5) = x1 x2x3 x2x4 x3x4.

— 55 —

Раздел11.Периодическиепоследовательности

Как изменить функцию обратной связи регистра сдвига, чтобы получить методом «склеивания» полноцикловую подстановку?

12. Определите цикловую структуру и длину периода аффинного преобразования h множества Vn, где h(x)=x a при а≠0.

13. Является ли полноцикловой подстановка g(х)=(ах+b) mod2n, если:

а) n=10, a=10, b=7; б) n=10, a=9, b=6; в) n=10, a=9, b=9?

14. Является ли полноцикловой подстановка g множества

Vn:

а) n=3, g={x1 1, x1 x2, x1 x2 x3}; б) n=3, g={x1, x1 x2 1, x1 x2 x3};

в) n=4, g={x1 1, x1 x2, x1x2 x3, x1x2 x2x3 x4}.

15. При каких двоичных константах a,b,c треугольное преобразование g множества V3 является полноцикловым:

а) g={x1 a, x1 bx2, x1x2 cx1 x3};

б) g={x1 a c, x1 bcx2, cx1x2 cx1 x3}?

16.Какова цикловая структура и длина периода преобразования gk, если g – преобразование ЛРСmax-п над GF(2)?

17.v регистр с функцией обратной связи f(x1,…,xn) x2 … xn является полноцикловым, если f(x1,…,xn) – функ-

ция обратной связи ЛРСmax-п.

18.Пусть f(x1,…,xn)=х1 a2х2 ... anхn – обратная связь левого ЛРС над GF(2). v преобразование регистра сдвига с обратной связью f(x1,…,xn) x2 … xn не имеет непод-

вижных элементов an ... a2=1.

— 56 —

Раздел11.Периодическиепоследовательности

41. Как соотносятся линейные сложности последовательности {x0,…,xl–1} длины l≥1 над Рт и периодической последовательности Y→, период которой совпадает с (x0,…,xl–1)?

42. Пусть Х→={xi} – последовательность, генерируемая «счётчиком» по модулю 2п, и Y→={yi}, где yi есть двоичное представление числа xi, i=1,2,… v для j-й координатной последовательности Yj→, j {1,…,n}, верно:

1)  длина периода tj равна 2j;

2)  минимальный многочлен mj(l) равен (l 1)r, где r=2j–1 + 1.

43.Составьте список многочленов, минимальных хотя бы для одной чисто периодической двоичной последовательности с длиной периода 6.

44.Пусть Х→ – двоичная компенсированная последовательность с длиной периода 2п, Y→ – ее циклический сдвиг на d битов. v при некотором ненулевом d верно: L(Х→+Y→)<2п–1.

— 60 —