Сборник задач по криптологии. Сборник задач для студентов, обучающихся по направлению 10.03.01 «Информационная безопасность», профиль «Комплексная защ
.pdf
Раздел1.Множества,функции,алгоритмы
13.Пусть X={0,1,2}. Выпишите все элементы множеств X2 и X3. Сколько подмножеств содержат эти множества?
14.v при n N:
а) 3 (n3+3n2+5n) ; б) 6 (n3+5n);
в) 3 (22n–1); г) 7 (62n+1+1);
д) 9 (4n+15n–1);
е) 9 (n3+(n+1)3+(n+2)3);
ж) (n4/24+n3/4+11n2/24+n/4) N.
15. v верны равенства:
а) 1+2+…+n=n(n+1)/2;
б) 12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6; в) 1+3+…+(2n–1)=n2.
n |
1 |
|
|
16. Вычислить сумму: ∑ |
|
. |
|
(2j −1)(2j +1) |
|||
j=1 |
|
17.При каких n N верны неравенства? а) n2>2n+1;
б) n!>3n; в) n!>n3.
18.Используя закон контрапозиции, докажите:
а) среди натуральных чисел n1,n2,…,nk имеются одинаковые, если
n1n2…nk<k!;
б) среди нечетных чисел n1,n2,…,nk имеются одинаковые, если
n1+n2+…+nk<k2.
19.v выполнены законы дистрибутивности и законы де Моргана. С помощью диаграмм Венна отобразите равенства: XDY = (X\Y) (Y\X); X\Y = X∩Y .
20.v (XDY)∩(X∩Y) = .
—11 —
Раздел1.Множества,функции,алгоритмы |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
21. |
Упростите выражения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) B |
∩ |
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∩(C (A ∩B))) ; |
||||||
22. |
A ∩C |
B |
A C |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
б) ( |
|
|
|
|
|
|
∩ ( |
|
|
|
((A \ B) ∩(B\ A))) ; |
||||||||||||||
|
A |
B) |
A |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
в) |
|
|
|
∩ |
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
(B (A ∩B))) . |
||||||
|
A |
A ∩C |
|
B |
C |
|||||||||||||||||||||
23.При условии Z Y X упростите с помощью диаграмм Венна выражение (X\Y) (Y\Z) (Z\X).
24.Для множеств X={a,b,c,d} и Y={b,d,e,v,w} найти объединение, пересечение, разность, симметрическую разность, декартово произведение. Каковы порядки получившихся множеств? Каковы порядки множеств X5;
Y3; X2×Y7?
25.Универсум U содержит n элементов и X U, гдеX =m<n. Сколько в универсуме имеется подмножеств Y таких, что X∩Y= ?
26.Сколько подмножеств множества N10 содержит: элемент 5?, элементы 1, 2?
27.Функция f:N10→N10 задана таблицей:
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
2 |
4 |
6 |
2 |
4 |
6 |
2 4 |
6 |
7 . |
|
Сколько различных образов имеют элементы области определения относительно f, сколько различных полных прообразов у всех элементов области значений? Постройте таблицу для ограничения функции f на множество {1,3,5,10}. Обратимо ли построенное ограничение? Обоснуйте.
28.Обратима ли функция f задачи 27? Какое свойство таблицы функции f:X→Y конечных множеств необходимо для обратимости функции f?
29.Сколько имеется различных подфункций у функции f:
N92 →N?
—12 —
Раздел1.Множества,функции,алгоритмы
30.Пусть f(n)=n, g(n)=(n2–n)/n+1, h(n)=(n2–n)/(n–1); n N. Имеются ли равные функции среди f,g,h? Равны ли ограничения функций f(n) и h(n) на множествах N10
и{2,…,9}?
31.Совпадают ли тождественные функции множеств N10
иN9?
32.Обратима ли функция f:N→N вида: f(n)=n+1; f:Z→Z вида: f(n)=n+1? Если да, то укажите обратную функцию.
33.Найти число преобразований n-множества, имеющих ровно k неподвижных элементов.
34.У скольких преобразований множества Nn элемент «1» неподвижный; элементы «1» и «2» неподвижные?
35.При А =n, B =m и B A сколько имеется различных множеств С таких, что B С A?
36.Сколько имеется упорядоченных пар чисел разной чётности, взятых из Nn?
37.Сколько имеется преобразований п-множества с числом неподвижных точек 1; 2; п–2; п–3?
38.Определите в n-множестве число: а) подмножеств мощности не меньше m и не больше r, где m<r<n; б) пар непересекающихся непустых подмножеств.
39.Найти число инъективных и сюръективных отображений n-множества в m-множество.
40.Хозяева пригласили на обед 10 гостей. Во скольких различных составах могут собраться приглашённые гости, если: две приглашенные дамы отказались прийти; один гость заверил, что обязательно явится; одна пара супругов наносит визиты только вместе.
—13 —
Раздел1.Множества,функции,алгоритмы
41.Во время дискуссии 8 человек мнения по вопросу разошлись, и собравшиеся разделились на две группы. Сколько имеется возможных вариантов состава 1-й группы, если по численности 1-я группа превосходит 2-ю не менее, чем в 2 раза?
42.В городе n светофоров, каждый горит либо желтым, либо красным, либо зеленым светом. Сколькими способами можно зажечь все светофоры?
43.Вычислите числа размещений и сочетаний: A103 ; A84 ;
A171 ; C2119 , C143 , C96 .
44.Докажите бином Ньютона (мат. индукция) и формулы
при 0≤k≤n:
Cnk = Cnn−k ;
Cnk = Cnk−1 + Cnk−−11 ;
n
∑ (−1)k Cnk = 0.
k=0
n
∑ Cnk = 2n;
k=0
45. Найти суммы:
n |
|
n |
15 |
а) ∑2k Cnk ; б) ∑k2n−k Cnk ; в) ∑ (−2)k (b+1)15−k C15k . |
|||
k=0 |
|
k=0 |
k=0 |
|
8 |
(r −1)k C8k |
9 |
46. Вычислите ∑ |
и ∑ (C9k )2 . |
||
|
k=0 |
|
k=0 |
47. v а) CmCk |
= CkCm−k ; |
|
|
n m |
n |
n−k |
|
б) C0 + C1+ +…+ Ck+ = Ck+ + ;
n n 1 n k n k 1
n
в) ∑k(k −1)Cnk =n(n–1)2n–2.
k=0
48.Найти все рациональные члены разложения бинома:
а) ( 3
3 + 
2 )15; б) ( 5
7 + 
3 )17; в) ( 5
5 + 
11 )33.
— 14 —
Раздел1.Множества,функции,алгоритмы
49.Чему равно число различных строк из нулей и единиц длины 13, в которых на нечетных местах расположены нули?
50.Сколько имеется 7-значных телефонных номеров, состоящих из цифр 6,8,9?
51.Сколько имеется различных 7-значных телефонных номеров с первой цифрой 1, 3 или 7?
52.Сколько есть способов выбрать 4 карты разных мастей из колоды в 36 карт?
53.Определите степень многочлена:
а) x11–x10y2;
б) x7y3z–x4y2+2x5y4z3;
в) (x11–x10y2)(x7y3z–x4y2+2x5y4z3)–2x15y6z3.
54.Определите число натуральных чисел, не превосходящих 1000 и не делящихся ни на одно из чисел:
а) 3, 5, 7; б) 6, 10, 15.
55.Сколько чисел, не превосходящих 104, не делится на 5, на 9, на 15, на 18?
56.Сколько чисел из интервала [100, 700] взаимно просты
с5, 8, 14, 20?
57.При записи на спецкурсы А,Б,В записались на А – 60% студентов, на Б – 50%, на В – 50%, на А и Б – 30%, на Б и В – 20%, на А и В – 40%, на А,Б,В – 10%. Сколько процентов студентов: не посещают спецкурсы; посещают два спецкурса, не менее двух спецкурсов?
58.v (математическая индукция) 13+23+…+n3=(1+2+…+ +n)2, n≥1.
59.В футбольной лиге первенства Испании участвуют 20 команд. Сколько есть способов распределения золотой, серебряной и бронзовой медалей?
—15 —
Раздел1.Множества,функции,алгоритмы
60.Найти число способов размена 50 рублей в современной монетной системе.
61.Оценить в двоичных операциях порядок сложности вычисления:
а) чисел 3n; nn; n!;
б) биномиального коэффициента Cnm ;
в) значения f(n) для действительного многочлена f(x)=
= a0+a1x+…+amxm;
г) b-ичного представления для k–разрядного двоичного числа;
д) обеих частей равенства 12+22 +…+n2=n(n+1)(2n+ + 1)/6;
е) произведения двух целочисленных матриц порядка n, модули элементов которых не превышают а.
62.Оценить в двоичных операциях порядок сложности вычисления левой и правой частей закона дистрибутивности для целочисленных матриц порядка n, модули элементов которых не превышают а.
— 16 —
Раздел 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
1.Как определить по таблице Кэли полугруппы G: а) множество всех идемпотентов;
б) является ли G моноидом;
в) является ли G коммутативной?
2.Является ли полугруппой группоид порядка 3 c данной таблицей Кэли?
* |
a |
b |
c |
|
|
|
|
a |
c |
c |
b |
|
|
|
|
b |
b |
a |
c |
|
|
|
|
c |
a |
b |
a |
|
|
|
|
Коммутативна ли операция группоида?
3.Сколько различных (коммутативных) группоидов можно определить на п-множестве?
4.Ассоциативны и коммутативны ли операции на X:
а) X=N, x*y=x+2y;
б) X=N, x*y=НОД(x,y); в) X=Z, x*y=x–y;
г) X=Z, x*y=x2+y2?
5. Является ли мультипликативной группой множество: а) всех целых степеней данного вещественного числа; б) всех действительных чисел отрезка [0,1]; в) всех рациональных чисел, отличных от нуля?
— 17 —
Раздел2.Алгебраическиеструктуры
6.Является ли мультипликативной полугруппой (моноидом, группой) множество: нижнетреугольных матриц порядка п над полем; диагональных матриц порядка
пнад полем; целочисленных матриц с определителем, равным ±1; матриц над R, все элементы которых положительны; многочленов степени не выше п над R?
7.Является ли подкольцом кольца матриц над полем R множество:
а) диагональных матриц; б) верхнетреугольных матриц;
в) матриц, у которых все элементы неотрицательны?
8.Образует ли кольцо множество действительных многочленов, заданных суммой одночленов чётных степеней
исвободного члена?
9.Образует ли векторное пространство множество матриц (верхнетреугольных, диагональных) порядка п над полем действительных чисел? Если да, то какова размерность пространства?
10.Являются ли линейно независимыми системы действительных многочленов:
а) {0, 1+l, l2+l3, l4}; б) {l, l+l2, l2+l3, l+l3};
в) {1, 1+l,…,1+l+l2+…+lп–1}; г) {1+l, l+l2, l2+l3, l+l4}?
Каковы размерности линейных оболочек этих множеств?
11.Определите линейную оболочку множества H={(1,0,0,1,0,0), (1,1,1,0,0,0), (0,1,1,1,0,0)} векторов пространства V6. Какова ее размерность?
12.Определите линейную оболочку и ее размерность для множества векторов H={x, A(x), A2(x)}:
—18 —
|
|
|
|
|
Раздел2.Алгебраическиеструктуры |
|||
|
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|||
|
|
0 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
а) x=(1,0,0,1), A= |
|
|
; |
|||||
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|||
|
|
|||||||
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|||
|
|
0 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
б) x=(0,1,1,1), A= |
|
|
. |
|||||
|
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|||
|
|
|||||||
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
13. С помощью алгоритма Евклида найти наибольший общий делитель многочленов над полем GF(2):
а) 1l l2l3l6l7; 1l l2l4; б) l l2l3l6; l l2l3l6l7l9.
14. Найти все делители многочлена f(l) над полем GF(2): а) f(l)=1l l2l3;
б) f(l)=l l2l3l6;
в) f(l)=1l l2l3l6l7; г) f(l)=1l l2l5l6l7.
15. vмножество идемпотентов полугруппы является подполугруппой, если любые два идемпотента коммутируют.
16. Какие из двоичных матриц являются идемпотентами мультипликативного моноида:
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
0 |
1 |
0 |
|
; |
а) А= |
|
, В= |
|
|||||||
|
0 |
0 |
1 |
|
|
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
б) А= |
|
, В= |
. |
|||||||
|
1 |
0 |
1 |
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
17.v кольцо многочленов P[x1,…,xk] образует векторное пространство над полем P. Приведите пример базиса, определите размерность.
—19 —
Раздел2.Алгебраическиеструктуры
18. Являются ли матрицы А и В над полем GF(2) взаимно
обратными: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
0 |
1 |
1 |
|
; |
а) А = |
1 |
, В = |
|
|||||||
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||
|
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
1 |
0 |
1 |
|
? |
б) А = |
|
, В = |
|
|||||||
|
0 |
1 |
0 |
|
|
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
19.Сколько имеется различных нижнетреугольных (верхнетреугольных, диагональных) матриц порядка n над полем GF(2)?
20.Является ли подпространством множество квадратных матриц порядка n над полем GF(2) (над полем R), у которых aij = 0 при некоторых i,j {1,…,n}?
21.В мультипликативной полугруппе всех квадратных матриц порядка 2 над полем GF(2) определите все идемпотенты.
22.v имеется биекция между множеством делителей числа n, которые меньше 
n , и множеством делителей числа n, которые больше 
n .
23.Найти все подгруппы кольца Z30, определить какие из них циклические и с каким порождающим элементом;
24.Найти максимальную мультипликативную группу кольца Z10 и все ее подгруппы.
—20 —