Сборник задач по криптологии. Сборник задач для студентов, обучающихся по направлению 10.03.01 «Информационная безопасность», профиль «Комплексная защ

Раздел 12. КОНЕЧНЫЕ АВТОМАТЫ МИЛИ

1.Используя в качестве функции переходов преобразование автономного или неавтономного двоичного регистра сдвига с одной обратной связью, постройте автомат Мили A с б.ф. выходов, при которой все выходные функции автомата являются: аффинными; сохраняющими константу 0 (константу 1); самодвойственными; монотонными.

2.Сколько имеется различных автоматов Мура с входным, внутренним, выходным алфавитами порядка r, n, m соответственно?

3.Постройте таблицу и автоматный граф автомата Мили

A=(V2,V3,V1,h,f), где h((s1,s2,s3),(x1,x2))=(s1 s2 s3, s1x1, s2 x2 ), f((s1,s2,s3), (x1,x2))=x1 x2 s1. Каковы конечные состояния автомата при начальном состоянии (0,0,1)

ивсех входных словах длины 2?

4.Постройте таблицу и автоматный граф автомата

Мура A=(V1,V2,V1,h,f), где h((s1,s2),x)=(s2, s1 s2 x), f(s1,s2)=s1 s2 1. Каковы выходные слова автомата А при начальном состоянии (1,0) и при всех входных словах длины 3? Является ли A сокращённым автоматом?

5.Множества состояний автоматов Мили A1 и A2 не пересекаются и порядки их равны n и m соответственно.

—61 —

Раздел12.Конечныеавтоматымили

Сколько состояний имеет: а) последовательное соединение автоматов; б) прямая сумма автоматов A1 и A2; в) объединение автоматов A1 и A2?

6.Следует ли из сильной связности двух автоматов сильная связность: а) их прямой суммы, б) их объединения?

Вслучае отрицательного ответа приведите пример.

7.v неавтономный регистр сдвига есть сильно связный автомат.

8.Автомат без выходов A=(Vт,Vn,h) сильно связный. Можно ли из некоторого состояния перейти в любое другое состояние не более, чем за 3 такта при т=4, п=14?

9.v степень нелинейности любой выходной функции ав-

томата A=(V1,Vm,V1,h,f) не больше d, если h – аффинная функция и degf≤d.

10.A=(V1,Vn,h) – автомат без выходов, где h((s1,…,sn),x)= =(s2,…,sn,y(s1,…,sn) x).

vавтомат A регулярный y линейна по переменной s1.

11.v автомат без выходов A=(V1,V3,h), где h=(h1,h2,h3), h1(s1,s2,s3,x)=s1, h2(s1,s2,s3,x)=s3(1 s2 s1s2) x(1 s1), h3(s1,s2,s3,x)=1 s2 s2s3 s1s2s3 x(1 s1), содержит подавтомат, изоморфный автономному автомату В (используйте граф автомата A). Постройте автомат В.

12.Сколько тактов функционирования автомата

A=(V1,Vn,V1,h,f) достаточно реализовать для распознавания: а) эквивалентности двух его состояний; б) сокращённости автомата A.

13.Пусть A=(V1,Vn,V1,h,f) – автомат Мили, где h(s1,…, sn,x)=(s2,…,sn, sr sn x), 1≤r<n; f(s1,…,sn,x)=smsm+1…sn x, 1≤m≤n. Имеет ли автомат A эквивалентные состояния? Если да, то оцените мощности классов эквивалентности.

—62 —

Раздел 13. СТАТИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

1.Перечислите свойства РРСП на множестве Х мощности k.

2.Какие существуют подходы к определению случайности? В чем их существо?

3.Проверьте для двоичной ЛРПmax-n выполнимость трех постулатов Голомба.

4.Какие из постулатов Голомба выполнены для НРП(n,k)?

5.Постройте фильтрующий генератор на основе ЛРПmax-n и определите длину периода и линейную сложность выходной последовательности, количество знаков и мультиграмм на периоде.

6.Посчитайте для ЛРПmax-n значение статистик:

а) частотного теста;

б) автокорреляционного теста с задержкой t;

в) последовательного теста с параметром s=8<n; г) теста серий с параметром s=8<n.

7.Перечислите наиболее известные пакеты статистических тестов, охарактеризуйте их содержание.

8.Перечислите основные тестируемые характеристики ПСП, оцените эти характеристики для ЛРПmax-n.

—64 —

Раздел 14. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ

1.vпри п→∞ и m≤n доля совершенных отображений среди

всех отображений j:Vn→Vт стремится к 1. Сколько имеется различных совершенных преобразований множества V3?

2.При каких m преобразование gm не совершенно, если пре-

образование g множества Vn задано системой координатных функций {f0(x0,x1,…,xr–1), f1(x1,x2,…,xr),…,fn–1(xn–1, x0,…,xr–2)}, где 1≤r<n и для всех функций все указанные переменные существенные?

3.Имеются ли совершенные подстановки множества Vn? Приведите пример.

4.v если любая координатная функция преобразования g пространства Рn зависит существенно не более чем от r переменных, r<n, то преобразование gm не совершенно при m<logrn.

5.Приведите пример неотрицательной матрицы M, у которой sbxpM=∞; sbxpM конечен, но expM=∞?

6.Постройте перемешивающие орграфы Гg для преобразований регистров сдвига из задач 10 и 11 раздела 11, определите в случае примитивности орграфа его экспонент.

—66 —

Раздел14.Аналитическиесвойствафункций

Сравните для примитивных орграфов значения различных оценок экспонентов и точное значение экспонента.

7.Постройте перемешивающий орграф Гg преобразования g регистра сдвига длины n. Выведите условия примитивности графа Гg, оцените его экспонент.

8.Рассчитайте среднюю трудоемкость метода последовательного опробования для системы из 10 уравнений от 10 переменных, если множества номеров существенных переменных уравнений имеют вид:

S1={1,2}, S2={1,2,3}, S3={1,2,3,4}, S4={1,2,3,4,5,6}, S5={1,2,3,4,5,6}, S6={1,2,3,4,5,6,7,8}, S7={1,2,3,4,5,6,7,8}, S8={1,2,3,4,5,6,7,8}, S9={1,2,3,4,5,6,7,8,9}, S10={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}.

9.Рассчитайте среднюю трудоемкость метода последовательного опробования для системы из 12 уравнений от 12 переменных, если множества номеров существенных переменных уравнений имеют вид:

S1={1,2,3}, S2={1,2,3}, S3={1,2,3,4,5}, S4={1,2,3,4,5}, S5={1,2,3,4,5,6,7,8}, S6={1,2,3,4,5,6,7,8}, S7={1,2,3,4,5,6,7,8}, S8={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, S9={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, S10={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}, S11={1,2,3,4,5,6,7,8}, S12={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}.

10.Постройте перемешивающую матрицу и перемешивающий граф преобразования g двоичного регистра левого сдвига длины 6 с функцией обратной связи:

а) f(x1,…,x6)=x1 x2x3 x4; б) f(x1,…,x6)=x1 x4 x2x5.

11.Посчитайте значения известных оценок экспонентов

иточное значение экспонента для перемешивающих матриц данных преобразований.

12.Для произведения преобразования g из задачи 10 и треугольного преобразования h пространства V6, заданного

—67 —

Раздел14.Аналитическиесвойствафункций

системой координатных функций {x1 1, x1 x2, x2 x3,

x1x3 x4, x3 x5, x1x2 x5 x6}. Определите:

а) диаметры и экспоненты перемешивающих графов Г(g) и Г(h) преобразований g и h;

б) перемешивающие матрицы М(g), М(h) и М(gh) (сравните ее с произведением М(g)М(h));

в) в графах Г(g) и Г(gh) число путей из 3 в 5 длины 3, 5 и 8;

г) в графе Г(g) Г(h) – число путей из 3 в 6 длины 3, 5 и 6 с метками ghg, ghg2h и ghg2h2 соответственно.

13.Постройте перемешивающие матрицу и орграф для преобразования двоичного регистра левого сдвига с об-

ратной связью f(x1,…,xn) и для обратного к нему преобразования двоичного регистра правого сдвига, определите, являются ли они примитивными и в случае примитивности определите их экспоненты:

а) f(x1,…,x6)=x1 x3 x4x6; б) f(x1,…,x8)=x1 x5;

в) f(x1,…,x8)=x1 x1x5 x3x7;

г) f(x1,…,x8)=x1 x5 x3x6; д) f(x1,…,x8)=x1 x4x8.

14.Для перемешивающих орграфов преобразований из задачи 13 вычислите значения всех известных оценок экспонентов орграфов.

15.Существуют ли непримитивные гамильтоновы орграфы с простым числом p вершин? Если да, опишите их.

16. Постройте сильно связный непримитивный орграф

счислом вершин 6; 8; с любым четным числом вершин.

17.v что для любого преобразования g(x) множества Vn и любого a Vn перемешивающие орграфы Г(g(x)) и Г(g(x a)) совпадают.

—68 —

Раздел14.Аналитическиесвойствафункций

18.v перемешивающий граф линейной подстановки Vn не примитивный, п>1.

19.Определите экспонент множества {M1,M2} перемешивающих матриц преобразований g1 и g2 множества Vn, п>1, где g1 – инволюция, задаваемая парами (xi, xn–i+1), g2 – треугольное преобразование с i-й координатной функцией, зависящей существенно от x1,…,xi, i=1,…,n.

20.Для преобразований g1 и g2 регистров левого и правого сдвига длины n с перемешивающими орграфами Г1 и Г2 соответственно выведите условия примитивности (непримитивности) множества графов {Г1,Г2}.

21.Пусть I1=J1, I2=J2, …, In=Jn, и I1 I2 In={1,…,n}. Определите для орграфа Г, какой является последователь-

ность {I ×J –expГ, I ×J –expГ, …, In×J–expГ}: монотон-

1 1 2 2 ­

но невозрастающей или монотонно неубывающей?

22.Для множества натуральных чисел Y={44, 47, 49, 52, 60, 61, 62, 64} определите число x7(Y).

23.Для множества натуральных чисел Y={44, 47, 49, 52, 60, 61, 62, 64} определите число x3(Y).

24.Орграф Г задан списком дуг: {(1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (4,6), (5,2), (6,7), (6,8), (7,4)}. Найдите множество простых путей из 1 в 8. Определите, является ли Г 1×8-при- митивным. Если да, найдите 1×8-expГ.

25.Орграф Г задан списком дуг: {(1,2), (1,4), (2,3), (3,4), (3,5), (4,1)}. Найдите множество простых путей из 1

в5. Определите, является ли Г 1×5-примитивным. Если да, найдите 1×5-expГ. Если нет, укажите, какую дугу следует добавить в Г, чтобы орграф стал 1×5-примитив- ным.

—69 —

Раздел14.Аналитическиесвойствафункций

Являются ли множества Е и Е(I×J) частично упорядоченными? Если да, то постройте для них диаграмму.

При I={1,3}, J={2,4} определите I×J-expМ1 и I×J- expМ2 (с учетом типов матриц как элементов мультипликативной полугруппы).

27.Может ли быть локально примитивным: а) дерево; б) двудольный орграф?

28.Пусть I={1,3,8}, J={8}. Постройте перемешивающие матрицу и орграф для преобразования регистра лево-

го сдвига (множества V8) с обратной связью f(x1,…,x8), определите, являются ли они I×J-примитивными и в случае I×J-примитивности определите их I×J- экспоненты:

а) f(x1,…,x8)=x1 x2 x4x6; б) f(x1,…,x8)=x1 x5;

в) f(x1,…,x8)=x1 x1x5 x3x7.

29.Граф Г с вершинами 1,…,n+m есть объединение компо­ ненты сильной связности с вершинами 1,…,n и компоненты сильной связности с вершинами n+1,…, n+m, к которому добавлена дуга (n,n+1), где n,m N,

n,m>2.ОпределитеусловияNn+m×(n+m)-примитивности графа Г, и оцените Nn+m×(n+m)-expГ.

—70 —