Сборник задач по криптологии. Сборник задач для студентов, обучающихся по направлению 10.03.01 «Информационная безопасность», профиль «Комплексная защ
.pdf
Раздел14.Аналитическиесвойствафункций
30. v для любого преобразования g множества Vn верно: degg–1 ≤ indg ≤ n–1.
31. v indf ≥ log2k – log2n, если АНФ б.ф. f(x1,...,xn) имеет вес k.
32. v для подстановки g множества Vn: а) если degg=2, то degg–1≤(n+1)/2; б) если degg=n–1, то degg–1=n–1.
33.Определите порядок аффинности и индекс аффинности б.ф. f:
а) f = х4 х1х3 х2х3 х1х2х3 х1х2х4; б) f = х1х2х3х4 х1 х2 х3.
34. Является ли g бент-преобразованием множества Vn, если degg–1 = n–1?
35. vесли g,y – преобразования множества Vn, где degy=d, g – линейная подстановка, то deg(gy)=deg(yg)=d и indgy=indy.
36. v наилучшее аффинное приближение б.ф.
f(x1,...,xn)y(xn+1,...,xm), где y линейна, есть а(x1,...,xn)y(xn+1,...,xm), где а(x1,...,xn) – наилучшее
аффинное приближение б.ф. f(x1,...,xn).
37. v если расстояние по |
Хэммингу от б.ф. |
f(x1,...,xn) |
до аффинной б.ф. а(x ,...,x ) не больше 2п–2 |
при п>1, |
|
1 |
n |
|
то а(x1,...,xn) есть наилучшее аффинное приближение б.ф. f(x1,...,xn).
38. Определите расстояние по Хэммингу от б.ф. f до всех аффинных б.ф. и нелинейность Nf функции f:
а) f = х1х2 х1х3 х2х3 х1х2х3; б) f = х1 х2 х2х3;
в) f = х1х2 х3 х1х2х4.
— 71 —
Раздел14.Аналитическиесвойствафункций
39.Определите наилучшее аффинное приближение б.ф.
f Р2(п):
а) n=3, f = х1х2 х1х3 х2х3; б) n=3, f = х1 х2 х3 х1х2х3; в) n=4, f = x1x2 x2x3x4;
г) n=5, f = x1x2 x3x4 x5.
40.v б.ф. f(x1,...,xn) не является бент-функцией, если она имеет фиктивную переменную; линейна по некоторой переменной.
41.v б.ф. f y, где f(x1,...,xn) и y(xn+1,...,xm) не имеют общих переменных:
а) есть бент-функция f и y суть бент-функции;
б) удовлетворяет КР степени l f и y удовлетворяют КР степени l.
42. Является ли б.ф. f(x1,...,xn) бент-функцией:
а) n=4, f(x)=x1x2 x3x4; б) n=3, f(x)=x1x2 x3;
в) n=5, f(x)=x1x2 x3x4x5.
43.v множество линейных структур функции j:Рn→Рт – подпространство в Рn, где Р – поле.
44.v б.ф. имеет ненулевую линейную структуру, если линейна по некоторым переменным.
45.Опишите класс всех аффинных преобразований g мно-
жества Vn, для которых cimg=k, 0<k≤n. Найдётся ли в этом классе подстановка при k=n–1; при k=n–2?
— 72 —
Раздел 15. СИСТЕМНЫЕ И ИСТОРИЧЕСКИЕ
ВОПРОСЫ КРИПТОЛОГИИ
1.Каково основное отличие криптографических методов от других методов защиты информации?
2.Каковы основные задачи криптографических методов защиты информации?
3.Поясните принципиальное различие между терминами
расшифрование и дешифрование.
4.Поясните принципиальное различие между симметричными и асимметричными криптосистемами.
5.В чем различие между открытыми и закрытыми ключами асимметричной системы?
6.Какие меры защиты и от каких угроз предпринимаются по отношению к открытым и закрытым ключам асимметричной системы?
7.Укажите основные признаки поточных и блочных шифров.
8.Определите шифры перестановки и замены. К какому классу относится шифр «скиталя»? шифр Цезаря?
9.Поясните математический принцип дешифрования шифра простой замены.
—73 —
Раздел15.Системныеиисторическиевопросыкриптологии
10.В чем неудобство использования «книжного шифра?
11.В чем суть шифрования методом Хилла? Каковы достоинства и недостатки метода?
12.Выберите ключ (обратимую 0,1-матрицу порядка 3) и зашифруйте методом Хилла текст 011010.
13.Вероятностное распределение знаков двоичного открытого текста есть (0,25; 0,75). Определите вероятностное распределение знаков шифрованного текста, получен-
ного после шифрования методом Хилла с ключом
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 . |
|
1 |
1 |
|
|
1 |
||
14.Каковы основные задачи криптоаналитика?
15.Какие классы методов анализа применяют криптоаналитики?
16.Каковы основные исходные условия криптографического анализа шифра с позиции разработчика шифра?
17.Что такое шифрматериал; количество шифрматериала?
18.Сколько шифрматериала требуется для вскрытия простой замены русского алфавита? английского алфа вита?
19.Сколько шифрматериала требуется для вскрытия шифра Хилла по открытому и шифрованному тексту, если ключ – матрица порядка 8?
20.Что такое гибридная криптосистема? В чем ее достоинства?
—74 —
Раздел 16. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ИСТОЧНИКОВ ОТКРЫТЫХ СООБЩЕНИЙ И ШИФРОВ
1.Алфавит сообщений состоит из английских букв и символа «пробел». Шифр заменяет каждую биграмму тремя байтами. Определите длину l криптограммы в битах, если сообщение содержит:
а) 9 слов и 62 буквы; б) 13 слов и 68 букв; в) 120 слов и 911 букв.
2.ИОС использует алфавит из 10 букв и имеет запретные мультиграммы: а) 19 биграмм и 97 триграмм; б) 18 биграмм и 157 триграмм. Какая из задач содержит в условии ошибку?
3.ИОС использует алфавит {0,1,…,9}. В модели с независимыми буквами определите при распределении вероятностей знаков {p(0),…,p(9)}={2–2,1/12,2–3, 1/12,1/12,2–4,1/8,2–4,1/12,1/24} вероятность p сообщения:
а) 036111630; б) 5012587466927301.
—75 —
Раздел16.Математическиемоделиисточниковоткрытыхсообщений
4. ИОС использует алфавит {0,1,2}. В модели независимых
0,05 |
0,1 |
0,2 |
|
|
|
|
0,1 |
0,05 |
0,1 |
|
, |
биграмм с матрицей вероятностей (pij)= |
|
||||
|
0,2 |
0,1 |
0,1 |
|
|
|
|
|
|||
определите вероятность сообщения: а) 010120201122; б) 1122001021; в) 22101010212101.
5. ИОС использует алфавит {0,1,2}. В модели марковской цепи с начальным распределением (p(0),p(1), p(2))=(0,4;0,25;0,35) и с матрицей переходных вероятно-
|
0,25 |
0,45 |
0,3 |
|
|
|
стей |
|
0,3 |
0,4 |
0,3 |
|
определите вероятность сообще- |
|
|
|||||
|
|
0,25 |
0,5 |
0,25 |
|
|
|
|
|
|
|||
ния:
а) 012012012012; б) 22101010211201.
6.На сколько отличаются вероятности сообщений в алфавите {0,1} длины 40 (модель независимых букв с вероят-
ностями 1/2+a и 1/2–a, где a<0,5), если в 1-м сообщении 10 единиц и 30 нулей, а во 2-м – 30 единиц и 10 нулей?
7.Выразите формулой через распределение вероятностей (РВ) на множестве открытых текстов и РВ на множестве ключей: а) РВ на множестве шифрованных текстов; б) совместное РВ на множестве пар открытых и шифрованных текстов.
8.Сколько имеется различных ш.а. с входным, внутренним и выходным алфавитами мощности соответственно r, n и m и ключевым множеством мощности q, если хотя бы одна из функций z, h, f зависит от ключа сущест венно?
—76 —
Раздел16.Математическиемоделиисточниковоткрытыхсообщений
9.Сколько тактов функционирования Aш=(V1,Vn,V1,Vт, z,g,h,f) достаточно реализовать для распознавания:
а) эквивалентности двух ключей; б) сокращённости автомата?
10.Каково наибольшее возможное значение периода вы-
ходной последовательности к.г. AГ = (S,Y,K,z,g,h,f)? Проиллюстрируйте примером.
11.v Если АШ = (Х,S,Y,K,z,g,h,f), где функции h и f зависят от ключа несущественно, то:
а) АШ эквивалентен некоторому моноключевому ш.а.; б) число состояний сокращённого автомата не более
min{|S|,|Z(K)|}, где Z(K) – область значений функции z.
12.С помощью шифра Вернама шифруются 20 сообщений длины по 500 байтов. Какой длины потребуется бинарная ключевая последовательность?
13.Русский текст в алфавите порядка 32 зашифрован с помощью шифра Вернама. Какова вероятность в шифрованном тексте: а) 6-граммы «aaaaаа»; б) 5-граммы «ююююю»?
14.Кости игры «Домино» выбираются случайно с возвращением, и на i-м шаге вычисляется значение ключе-
вой гаммы gi по числам ai и bi, записанным на половинах выбранной i-й кости, ai,bi {0,…,6}, i ≥ 1. Является ли совершенным шифр:
а) по mod7 при gi = ai – bi ;
б) по mod7 при gi = (ai + bi)mod7; в) по mod2 при gi = (ai bi)mod2?
15.Гамма {gi′} получена как в пп. а,б предыдущей задачи. Гамма {gi′′} в алфавите {0,1,…,6} получена с помощью бросания 6-гранной кости с равновероятными граня-
ми. Является ли совершенным шифр по mod7 при ключевой гамме (gi′+gi′′)mod7?
16.Совершенный ли шифр по mod2, если ключевая гамма есть ЛРПmax-n?
—77 —
Раздел 17. АВТОМАТНЫЕ МОДЕЛИ СИММЕТРИЧНЫХ КРИПТОСИСТЕМ
1.Сколько имеется различных шифрующих автоматов (ш.а.) с входным, внутренним и выходным алфавитами мощности соответственно r, n и m и ключевым множеством мощности q при условии, что хотя бы одна из функций z,h,f зависит от ключа существенно?
2.Число состояний и ключей ш.а. A1 (ш.а. A2) равно соответственно n1 и q1 (n2 и q2), и ключевые множества автоматов не пересекаются. Сколько состояний и ключей имеет:
а) последовательное соединение 1 типа ш.а. A1 и A2; б) прямая сумма ш.а. A1 и A2;
в) объединение ш.а. A1 и A2?
3.Следует ли из сильной связности двух ш.а. сильная связность их прямой суммы, объединения? В случае отрицательного ответа приведите пример.
4.Сколько тактов функционирования ш.а.
A=(V1,Vn,V1,Vт,z,g,h,f) достаточно реализовать для распознавания:
а) эквивалентности двух его ключей; б) его сокращённости.
—78 —
Раздел17.Автоматныемоделисимметричныхкриптосистем
5.Каково наибольшее из возможных значений периода выходной последовательности – суммы ЛРПmax-100 и ЛРПmax-99 ?
6.vдлина периода выходной последовательности к.г. A A′ при любом ключе не превышает |S|×max{|K\K′|,|K′\K|, |K′∩K|}, если A=(S,Y,K,z,g,h,f) и A′=(S,Y,K′,z′,g′,h′,f′) – согласованные к.г.
7.Пусть АШ=(Х,S,Y,K,z,g,h,f) – последовательное сое-
динение 2 типа к.г. AГ=(S,W,K,z,gг,hг,fг) и а.п.п. Мили А=(Х,W,Y,fш), где функция выходов fш(w,x) автомата А
биективна по х.
а) v АШ различает входы. Каковы уравнения функционирования автомата, реализующего расшифрование?
б) Оцените длину периода t выходной последовательности ш.а. АШ, если длины периодов выходной последовательности к.г. AГ и входной последовательности а.п.п. А равны соответственно q и t?
8.v Если функции h и f ш.а. АШ=(Х,S,Y,K,z,g,h,f) зависят от ключа несущественно, и Z(K) – область значений функции z, то:
а) ш.а. АШ эквивалентен некоторому м.ш.а.; б) его сокращённый автомат имеет не более
min{|S|,|Z(K)|} состояний.
Сформулируйте критерий эквивалентности ключей ш.а. АШ в терминах автомата Мили, ассоциированного с АШ.
— 79 —
Раздел 18. ПОТОЧНЫЕ ШИФРЫ И КРИПТОГРАФИЧЕСКИЕ ГЕНЕРАТОРЫ
1.Сколько имеется различных ш.а. с внутренним и выходным алфавитами мощности соответственно n и m и ключевым множеством мощности q, реализующих подстановочный СПШ? Управляющая гамма состоит из знаков алфавита мощности r.
2.v СПШ не имеет эквивалентных ключей управляющий блок при различных ключах порождает различную гамму и шифрующий блок является сокращённым автоматом Мили. Сформулируйте аналогичный критерий для шифра гаммирования.
3.Опишите группу подстановок шифра гаммирования по модулю т.
4.Добавьте символы в таблицу функции f(x,g) поточного шифрования, чтобы получить функцию гаммирования
|
f |
0 |
1 |
2 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
по модулю 3: |
1 |
1 |
|
|
. |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— 80 —