Сборник задач по криптологии. Сборник задач для студентов, обучающихся по направлению 10.03.01 «Информационная безопасность», профиль «Комплексная защ

Раздел3.Бинарныеотношения

в) ч.у.м., не являющееся ни нижней, ни верхней полурешёткой, но содержащее решётку как подмножество.

г) подмножество решетки X, являющееся решёткой, но не подрешёткой X;

д) решетку, в которой множества атомов и коатомов совпадают.

6.Является ли частичным порядком бинарное отношение на множестве N2, если:

а) (n1,n2) ≤ (m1,m2) n1–n2 ≤ m1–m2; б) n1+n2 ≤ m1+m2;

в) n1 ≤ m1, n2 ≤ m2?

7.v Множество всех минимальных элементов ч.у.м. образует антицепь.

8.Постройте (используя диаграммы):

а) изотонный гомоморфизм ч.у.м. (но не полурешетки) на решетку;

б) -гомоморфизм нижних полурешеток и -гомомор- физм верхних полурешеток;

в) решеточный гомоморфизм f: V3,≤ →V2,≤;

9.Выразите через элементы решеток X и Y множество атомов решетки X×Y.

10.Сколько различных цепей длины m в разбиении Ансе-

ля решетки Vn,≤ , если:

а) n=5, m=3; б) n=6, m=2; в) n=5, m=2?

11.Каков вес максимального и минимального элементов цепей длины 4 в разбиении Анселя решетки V6,≤?

12.Имеется ли в решетке булеана n–множества антицепь порядка m при:

а) n=10, m=250; б) n=8, m=100?

—22 —

Раздел3.Бинарныеотношения

13.Определите в V4 верхнюю и нижнюю грани подмножества:

а) Y={(0100),(0110),(0101)}; б) Y={(0110),(1100),(0010)}.

14.Сколько имеется в множестве V8 векторов с таких, что: а) a<с<b, где a = (00000010), b = (10101110);

б) a<с≤b, где a = (01000010), b = (01101110)?

15.Пусть Аk – множество всех двоичных n–мерных векторов веса k, 0<k<n. Определите в Vn верхнюю и нижнюю грани множества Аk.

16.Пусть а и b – векторы из Vn веса p и q соответственно, a≤b. Сколько в диаграмме Vп:

а) векторов с таких, что a<с<b;

б) простых путей из (0,…,0) в (1,…,1), проходящих че-

рез вершины а и b?

17.Является ли D(18) подрешёткой решётки D(144)?

18.Является ли D(18)∩D(45) подрешёткой решётки D(88)?

19.Определите длину и ширину решёток D(210), D(108)

иD(768).

20.Имеется ли в решётке D(n) антицепь порядка m (если имеется, укажите):

а) n=210, m=8; б) n=1155, m=6?

21.Изоморфны ли решётки D(210) и D(1430)?

22.Изоморфны ли решётки D(1155) и Vn при каком-либо n?

23.v имеется биекция множеств атомов (коатомов) изоморфных решеток.

24.v D(n)@Vs при натуральном s n свободно от квадратов.

—23 —

Раздел3.Бинарныеотношения

25.Сбалансирована ли функция j:Vп→{0,1,…,n}, вычисляющая вес вектора? Найдите мощность полного прообраза числа k относительно функции.

26.Сбалансирована ли функция j:(Vп)2→Vп, где j(х,у)=sup{x,y}? Является ли j инъективной, сюръективной? Какова мощность полного прообраза вектора веса 1 относительно j?

27.v преобразование g цепи X есть изотонная функция

g = e.

28.Определите длину ч.у.м. D(5248); D(888).

29.Определите ширину ч.у.м. V7; V11.

30.Какие векторы покрываются вектором (101010) в V6? Укажите в V6 антицепи порядка 3.

31.Укажите все максимальные элементы ч.у.м.:

а) D(768)∩N260; б) D(640)∩N240.

32.Каков порядок прямых произведений ч.у.м. V3×D(132); D(224)×D(8028)?

33.Изотонна ли функция f:D(n)→D(m), где:

а) n = 210, m = 25, f(2x) = 2x–5;

б) n = 360, m = 30, f(x) = min{x,30};

в) n = 360, m = 120, f(x) = min{360/x,120}?

34.Используя каноническое разложение натурального числа n, опишите множество атомов и множество коатомов решетки D(n).

35.Постройте диаграмму решетки разбиений R4, определите порядок и ширину решетки R4.

—24 —

Раздел 4. ТЕОРИЯ ГРАФОВ

1.Определите число n-вершинных графов: а) без петель и с петлями;

б) без петель с k ребрами;

в) без петель и изолированных вершин.

2.Определите число n-вершинных орграфов: а) без петель и с петлями;

б) без петель с k дугами;

в) без петель и изолированных вершин;

г) без петель с k изолированными вершинами.

3.Вычислите произведение орграфов Г1 и Г2, заданных матрицами смежности вершин М1 и М2 соответственно:

4.Является ли гамильтоновым графом 2-я степень любого гамильтонова графа? Проиллюстрируйте примером.

—25 —

Раздел4.Теорияграфов

5.Постройте алгоритм подсчета в орграфе Г числа различных простых контуров длины 3 с использованием матрицы смежности вершин М.

6.v в 8-вершинном графе без петель с 30 ребрами имеются параллельные ребра.

7.Орграф Г с 5-ю вершинами задан списком дуг: (1,2), (1,3), (1,5), (2,1), (2,4), (3,4), (3,5), (4,1), (4,2), (5,3). Сколько в Г имеется:

а) путей длины 3 из 2 в 3; б) путей длины 4 из 4 в 2; в) циклов длины 2; г) циклов длины 3?

8.В полном n-вершинном орграфе (с петлями и без петель) найти число путей:

а) длины 3 из 1 в i, 1≤i≤n; б) длины l из 1 в n.

9.Орграф с 6-ю вершинами задан списком дуг: (1,2), (1,4), (1,6), (2,1), (2,5), (3,2), (3,6), (4,1), (4,2), (5,3), (5,6), (6,1) (6,4). Возводя в степень матрицу смежности вершин орграфа, определите матрицу расстояний между всеми парами вершин, центры, радиус и диаметр орграфа.

10.Сколько различных простых путей имеется в полноцикловом n-вершинном орграфе; в полном 3-вершинном орграфе?

11.Найдется ли в 10-вершинном графе без петель с 20 ребрами клика порядка 7?

12.В графе с n вершинами без петель имеются две клики порядка k<n. Каково наименьшее возможное число ребер в объединении этих клик?

13.Сколько клик порядка n–1 может иметь n-вершинный граф?

—26 —

Раздел4.Теорияграфов

14.Постройте по таблицам графы преобразований g, g′ и gg′, где

Определите цикловую структуру, циклы и подходы в графах.

15. Определите цикловую структуру подстановок g2 и g3 степени 12, где

16.Для преобразований g и g′ задачи 14 постройте мультиграф Г(S) системы S:

а) S={g,g′}; б) S={g,g3}; в) S={g2,g′,(g′)3}.

17.Сколько подстановок степени n состоит из 2-х независимых циклов?

18.Определите цикловую структуру подстановки Т циклического сдвига простой степени p.

19. Найти цикловую структуру инволюции степени n

сk неподвижными точками.

20.Сколько имеется различных полноцикловых подстановок g степени n>1, если g(1)=2?

21.Сколько различных подстановок степени 5 имеют не менее трёх неподвижных элементов? Сколько среди них инволюций?

22.v в графе преобразования конечного множества число концевых вершин не меньше числа вершин с полустепенью захода 2.

—27 —

Раздел 5. ДИСКРЕТНЫЕ ФУНКЦИИ

1.v для функции j:X→Y конечных множеств верно: а) если j сбалансирована, то Y делит X ;

б) если X=X1×X2→Y, где 1< X1 < X2 < Y =17, то j не сбалансирована.

2.vдля функции j: X1×…×Xm→Y конечных множеств верно: а) если и порядки множеств X1,…,Xm попарно различ- j биективна не более чем по одной переменной;

б) если Y≠Xi , i {1,…,m}, то j не биективна по i-й переменной;

3.Пусть X1≥…≥Xr > Y > Xr+1≥…≥Xm , где r<m. По каким переменным функция j может быть сюръективна, инъективна?

4.vмножество всех преобразований (подстановок) множества X, относительно которых элемент x из X неподвижный, образует полугруппу (группу).

5.Сколько имеется различных преобразований п-множе- ства ранга п–1?

6.v i(g)≤i(gt), t≥1, где i(g) – число неподвижных элементов подстановки g множества X.

7.Коммутативно ли произведение подстановок? Постройте пример.

—29 —