Сборник задач по криптологии. Сборник задач для студентов, обучающихся по направлению 10.03.01 «Информационная безопасность», профиль «Комплексная защ

Раздел 9. ФУНКЦИИ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ

1. v число б.ф. от n переменных, зависящих существенно

2.Найти существенные переменные б.ф. f и g, заданных таблицами. Какие б.ф. получатся из f и g после удаления

несущественных переменных? Постройте их таблицы. Постройте таблицы б.ф. f , fg, f g.

3.v б.ф. f(x1,...,xn) зависит от xi несущественно все мономы её АНФ не зависят от xi, j=1,…,n.

4.v множества существенных переменных б.ф. f(x1,...,xn)

иf*(x1,...,xn) совпадают.

5.vесли б.ф. f(x1,...,xn) имеет m несущественных переменных, m≤n, то ее вес кратен 2m.

—43 —

Раздел9.Функцииалгебрылогики

6. Сколько существенных переменных может иметь б.ф.

f(x1,...,xn) веса m:

а) n = 10, m = 94; б) n = 12, m = 104.

7.Найдите многочлен Жегалкина и его степени нелинейности для б.ф.:

а) x1x2 x1 x3; б) x1x2 x2x3 x1x3; в) (x1 x2)( x1 x3); г) x1 x2 x3.

8.Разложите по переменным x1 и x3 б.ф. из задачи 7.

9.Определите число б.ф. от n переменных веса k, k=0,1,...,n; нечётного веса.

10.При каких коэффициентах линейная б.ф. а1x1 ... апxn самодвойственна?

11.v если б.ф. f(x1,...,xn) и g(xn+1,...,xm) не имеют общих переменных, m>n, то:

а) fg неравновероятна, если обе функции f,g не константы;

б) f g равновероятна равновероятна одна из них.

12.v б.ф. равновероятна, если линейна по некоторой переменной.

13.Посчитайте degf(x1,...,xn) и ||f(x1,...,xn)|| при n>6:

1)f(x1,...,xn) = x1 ... xп x1...xп;

2)f(x1,...,x10) = x1 ... xп x1x5x9;

3)f(x1,...,x8) = 1 x1…x8;

4)f(x1,...,x6) = 1 x1x2x3x4;

5)f(x1,...,xn) = x1 x2 x3 x1x2 x3 x1 x2 x3 x1x2x3;

6)f(x1,...,xn) = (x1 x2 x3)(x5x6...xn) x5;

7)п=2т, f(x1,...,xn) = (x1x3...x2т–1) (x2x4...x2т) x1x2;

8)п=3т, f(x1,...,x3т) = (x1 … xт)(xт+1 ... x3т) x1x3т.

14.Упроститеформулуf(x1,...,xn)ипосчитайте||f(x1,...,xn)||: f(x1,...,xn) = x1x2 x3x4...xn x1 x2 x3 x4 ... xn x2x3.

—44 —

Раздел9.Функцииалгебрылогики

в) x1x3 x2x5 x4x5 x3x6 x2x3x5 x1x4x5; г) (x1 x4)(x2 x3) x5x6?

Сколько б.ф. эквивалентны данной б.ф. относительно

S6?

36. Имеются ли в системе F б.ф., эквивалентные относительно группы Q4:

F = {x1x2x4 x3 x1x4, x1x2 x3 x4, x1x2x3 x1x2x4}.

37. Какая из б.ф. имеет группу инерции наибольшего порядка в группе S4:

f1=x1x2 x1x3 x1x4 x2x3 x2x4 x3x4, f2=x1x2 x3x4, f3=(x2 x3)(x1 x4), f4=x1x2 x3 x4.

38.Определите JQ10(f) и её порядок для б.ф. f = x1 … x10.

39.v б.ф. f от n переменных симметрическая в многочлене Жегалкина f все члены степени k, k = 0,1,…,n, одновременно либо присутствуют, либо отсутствуют. Определите число симметрических б.ф. n переменных степени нелинейности k.

40.v б.ф. f от n переменных симметрическая постоянна на множестве векторов веса k=0,1,…,n.

41.Образует ли векторное пространство множество симметрических б.ф. от n переменных? Если да, то укажите базис и размерность этого пространства.

42.Являются ли (G,H)-эквивалентными при G=АGL2(n), S1 б.ф.:

y, n=2;

б) xy z и xy xz yz, n=3?

43.Составьте таблицу функции взаимной корреляции б.ф. f1 и f2:

—48 —

Раздел 10. СБАЛАНСИРОВАННОСТЬ

ИБИЕКТИВНОСТЬ ФУНКЦИЙ

1.Даны функции V3→V3: g={x1 1, x1 x2, x1 x2 x3}, j={x1, x1 x3 1, x1 x3}. Найдите координатные функции функций g2, j2, gj и jg.

2.Вычислите весовые характеристики N0,1,01,2,3 , N1,0,11,2,3 , N1,12,3 ,

N1,01,3 , N1,01,2 , N02 системы б.ф. j = {f1=x1 x2 x1x2x3, f2=x2 x1x3, f3=x1 x2}.

3.v система {f1(x1,…,xn),…,fm(x1,…,xn)} не сбалансирована (алгебраически зависима) при т>п; при т≤п, если содержит функцию-константу.

4.v если система {f1(x1,…,xn), …, fm(x1,…,xn)}:

а) сбалансирована (алгебраически независима), то сбалансирована (алгебраически независима) и любая её подсистема;

б) не сбалансирована (алгебраически зависима), то не сбалансирована (алгебраически зависима) и любая система, ее содержащая.

5.Является ли система {f1(x1,…,xn),…,fm(x1,…,xn)} алгебраически независимой, если она линейно зависима; линейно независима?

—50 —