Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Применение производной к исследованию функции и построению графика. Методические указания к индивидуальным заданиям по разделу курса математического а

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

873 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Задание 5

Найти экстремумы функции y 2x3 63x2 120x 11.

Решение

1)Найдем область определения функции: D y : x R .

2)Найдем критические точки:

y 6x2 126x 120,	6x2 126x 120 0,		x2 21x 20 0,
	x1 20,	x2 1.

3)Исследуем критические точки с помощью достаточных условий экстремума:


x	, 20	20	20, 1	1	1,

y		0		0

y		max		min

4) Вычислим значение функции в точках x1 20 и x2 1: ymax 20 2 20 3 63 20 2 120 20 11 6811, ymin 1 2 1 3 63 1 2 120 1 11 48.

Ответ: ymax 20 6811, ymin 1 48.

Задание 6

Найти частные производные функции z x2

3x cos5y e y2 sin x по

каждой их независимых переменных.

Решение

cos x ;

3x cos5y e

sin x 2x 3 cos5y e

z y

sin x 5 x

3x sin 5y 2 y e

sin x

3x cos5y

Ответ: zx 2x 3 cos5y e y2 cos x ,

z y 2 y e y2 sin x 5 x2 3x sin 5y .

Задание 7

Найти производную от функции x4 y10 sin 2x 3y 0, заданной неявно.

Решение

Для нахождения производной y нужно:

1) продифференцировать обе части равенства по x , учитывая, что y есть функция от x :

4x3 10 y9 y cos 2x 3y 2 3y 0,

4x3 4 y9 y 2cos 2x 3y 3y cos 2 3y 0.

2) Из полученного уравнения находим y :

y 4 y9 3cos 2x 3y 4x3 2cos 2x 3y ,

y 2 2x3 cos 2x 3y . 4 y9 3cos 2x 3y

Ответ: y 2 2x3 cos 2x 3y . 4 y9 3cos 2x 3y

		Задание 8
Найти производную функции		y f x указанного порядка в заданной
точке x0 : y sin 4 x ,	y ?,	x0 .
			2
			Решение
Последовательно дифференцируя			y f x , находим первую, вторую и
третью производные:
	y		4 sin 3 x cos ,
			12

			3				3	x							4 3sin			2	x cos			2	x sin	4	x
y 4 sin				x cos x sin				x		sin x					4 3sin				x cos				x sin		x

4 sin 2 x 3cos2						x sin 2	x ,
		2				2	2	x sin				2	x 3 cos		2	x sin			2
y 4 sin				x 3 cos x sin				x sin					x 3 cos			x sin				x

4	2 sin x cos x 3 cos2 x sin 2 x sin 2 x 3 cos x sin x 2 sin x cos
4	sin 2x cos 2x 2 cos2 x sin 2 x 5 sin x cos x
						2			5		2
4 sin 2x cos 2x 2 cos x										sin		x ,
4 sin 2x cos 2x 2 cos x									2	sin		x ,
									2
														2			5			2
				y		4 sin cos							2 cos					sin				0.
				y		4 sin cos							2 cos					sin				0.
					2										2		2				2
Ответ:						0.
Ответ:			y			0.
					2
											Задание 9
Провести полное исследование функции y																	4			и начертить график.

																4	x		2
																4	x		2

Решение

Полное исследование функции и построение графика проводится по схеме:

1)Область определения функции D y : x 2;

2)x 2 точки разрыва второго рода и вертикальные асимптоты;

	4		4
3)	y x				y x четная функция;
		4 x 2		4 x2
4)	точки пересечения с осью Ox :				4			0,	4 0 нет	точек

						4 x2
пересечения;
5)	точки пересечения с осью Oy :					y 0	4		1;

								4 02
6)	уравнение наклонной асимптоты имеет вид y kx b :

	4				4
k lim	x2 x	0,	b lim 0	x		0,
k lim		0,	b lim 0	x	4 x2	0,
x 4			x		4 x2

получаем y 0;

7) находим интервалы возрастания, убывания и экстремумы функции, используя первую производную:

y 0

при

x 0;

4 x2

не

существует

при

x 2,

но

эти

точки

не

принадлежат области

определения

, 2

2,0

0,2

не

существует

не

min

не

существует

ymin y 0 1;

находим интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба,

используя вторую производную:

32 24x2

y 0.

4 x2

не существует

при

x 2, но точки

x 2 не принадлежат области

определения

, 2

2, 2

не

существует

не

существует

9)Построим график функции


	1
2	0	2	x

Задание 10

Исследовать функцию z 4x2 8xy y2 2x 3y 1 на экстремум.

Решение

1) Находим частные производные первого порядка zx 8x 8y 2,

z y 8x 2 y 3.

Составим и решим систему уравнений

8x 8y 2 0,

8x 2 y 3 0.

10 y 1 0,	y		1
		10

8x 8		1	2 0,				x	7	.
8x 8	10		2 0,				x	20	.
	10							20
		7			1
Таким образом, точка M				,		критическая.
Таким образом, точка M				,		критическая.
		20 10

2) Находим частные производные второго порядка

							8,		z		2	2 .
				z		2	8,	zxy 8,	z	y	2	2 .
					x					y
	7	,	1
Для точки					получим A 8,				B 8,				C 2 .
Для точки	20		10		получим A 8,				B 8,				C 2 .
	20		10

Вычислим B2 AC 64 16 80 0 .
	7		1
Согласно достаточному условию в точке M		,		экстремума нет.
Согласно достаточному условию в точке M	20	,	10	экстремума нет.
	20		10

Ответ: экстремума нет.

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

КОМПЛЕКТ 1

Вариант 1

1.	y	ex		ln x 1 sin 2x .
		ex 10
2.		2 x
	y ln 3x .
3.	y	x4 x	2	,	x 1.

		6			0

4.	x tg3t,				t0		.
			4			4
	y sin 3t

5.y 43 x3 14x2 24x 11.

6.z x 4 cos 4 y e y 2 x 3 .

7.x3 y4 cos 5x 6y 0.

8. y sin 3 x,	y ?,	x .
		0	2
			2

9. y	12x
		.
	9 x2

10. z 3x2 2xy 4 y2 x y 7 .

Вариант 2

1. y x2 4x	1 x	.

	arccos 3x

2.			x3		1	.
2.	y tg5x					.
		x6	x4
3.	y			,		x 2.
3.	y			,		x 2.
			4			0
			4

			1
			1
x t					,	t0	1.


4.				t
	3
y 3t		9t

5.y 43 x3 22x2 40x 7 .

6.z x3 2x cos 3y e3 y 4 x4 .

7.x8 4 y3 cos x3 2y2 0.

8. y 4x2 3 ,	y ?,	x 0 .
		0

9. y	3		.

		1 x3

10. z x3 2xy y4 4x 3y 7 .

Вариант 3

	y 4				3x			3sin x		.
1.			x					3sin x
1.			x
							1 ctgx
2.	y ln x 3 cos x .
		x5			x2
3.	y					,		x 1.
3.	y					,		x 1.
				6			0
				6
4.	x t 2				sin 3t,				t0			.

				t cos3t							4
	y 3			t cos3t							4

5.y 23 x3 x2 12x 11.

6.z 3x e y 3 x3 1 2 y .

7.x5 y3 cos 5x 3y 0.

8. y sin 2 3x,	y ?,	x .
		0	9
			9

9.y x2 x 1 .

10. z 4x2 xy 12 y2 x 3y 3.

										Вариант 4
1.	y 4x log 2			x		1 sin x				.
1.	y 4x log 2			x						.
2.	y 2x2 1 cos3x .					1 sin x
		sin
		sin	4x		6
3.	y				6		,	x				.
3.	y						,	x				.
			5					0			24
			5								24
4.	x cos 3t 1,							t0			.
4.								t0	4		.
	y ctg3t								4

5.y 43 x3 2x2 24x 25 .

6.z 4x 2 e y 5 sin 5x y .

7.x6 2 y3 e9x2 y3 0.

8. y e x3 5 ,	y ?,	x 0 .
		0

9.y 8 x 1 .

x 1 2

10.z 4x2 xy 3y2 x y 3.

									Вариант 5
1.	y x2 1 e3x							4x	.


							1 x
2.	y 5x 2 1 ln x .
3.	y	sin x 1			, x		.
3.	y				, x		.
			4			0	6
			4				6
4.	x et		t 2 4t,					t0 1.
4.			3	1				t0 1.
	y et			1
							18

5.y 23 x3 x2 12x 3.

6.z x3 1 cos3y sin 2 y x .

7.x5 y3 cos 8x 5y 0.

8. y tg4x,	y ?,	x		.
8. y tg4x,	y ?,	x		.
		0	12
			12

9. y		1	.

		2
	x 2
10. z 3x2		xy 2 y2 2x 3y 7.

													Вариант 6
	y 3									2x
1.			x arccos x							2x			.
1.			x arccos x										.
								1 x2
	y ln x2 x					1

2.						2x 1 .
3.	y	e2x e 2x					, x			1.
3.	y			3			, x		0	1.
									0

4.	x ctg2t,						t0					.
4.				2	2t		t0				4	.
	y cos				2t						4

5.y 23 x3 7x2 12x 9.

6.z x3 y cos y e2 y 1 x 3 .

7.x3 2 y4 tg 5y 4x 0.

8. y 2x2 x 1,	y ?,	x 1.
		0

2
9. y				.
	x2 2x
10. z x2		1	xy y2		2x y 2 .
		2

Вариант 7

1.	y e5x sin		2x			2x	.
1.	y e5x sin		2x		1 2x		.
					1 2x
2.	y x2 3 tg 2x .
		e3x e 3x
3.	y			,		x 1.
3.	y			,		x 1.
		3			0
		3
4.	x t 4 t3		t 2 ,			t0			.
4.						t0			.
	y sin 2 2t							6

5.y x3 212 x2 18x 1.

6.z x2 1 cos3y e y 1 x 2 .

7.x3 2 y4 tg 2 y 5x 0.

8. y 4x2 x 3 ,	y ?,	x 0 .
		0

9.y x3 4 .

10.z x2 2xy 4 y2 x y 1.

Вариант 8

	y 4			sin x				arcsin x			.
1.			x					arcsin x


										1 x2
2.	y tg 3x 4 cos 3x 4 .
3.	y	x3		3		, x			1.
3.	y					, x			1.
		4				0
		4
4.	x t5			t 4 t			3 ,			t0		1.
4.					t3					t0		1.
	y t 4				t3
5.	y x4 8x2 5.

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]