Применение производной к исследованию функции и построению графика. Методические указания к индивидуальным заданиям по разделу курса математического а

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Найти производную функции y

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

873 Кб

Скачать

☆

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

МОСКОВСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СВЯЗИ И ИНФОРМАТИКИ СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ ФИЛИАЛ

КАФЕДРА ОБЩЕНАУЧНОЙ ПОДГОТОВКИ

Л.В. ГРИЦЕНКО, Г.С. КОСТЕЦКАЯ

Применение производной к исследованию функции и построению графика

Методические указания к индивидуальным заданиям по разделу курса математического анализа

Ростов-на-Дону

2013

УДК 517.1 (07) ББК 22.161 Е 91

Гриценко Л.В., Костецкая Г.С. Применение производной к исследованию функции и построению графика. Методические указания к индивидуальным заданиям по разделу курса математического анализа. Ростов-на-Дону: СКФ МТУСИ, 2013. – 49 с.

Качественное усвоение курса математики невозможно без регулярной самостоятельной работы студентов. Настоящее пособие содержит индивидуальные задания для самостоятельной работы. Приведен образец выполнения задания и 2 комплекта по 25 индивидуальных заданий. Может быть использовано для проведения практических занятий по математике, самостоятельных работ под руководством преподавателя, для проведения проверочных работ.

Печатается в соответствии с решением кафедры общенаучной подготовки СКФ МТУСИ, протокол № 1 от 2 сентября 2013 г.

Рецензент: Константинова Я.Б., кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры ОНП СКФ МТУСИ

И з д а т е л ь с т в о С К Ф М Т У С И

Сдано в набор 24.02.14г. Изд. №207. Подписано в печать 04.03.14г. Зак. №221. Печ. листов 3.1. Учетно-изд. л. 2,45. Печать оперативная. Тир. 50 экз. Отпечатано в Полиграфическом центре СКФ МТУСИ, Серафимовича, 62.

Оглавление
СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ...............................................................................	4
Образец задания.........................................................................................................	7
Образец выполнения задания...................................................................................	8
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ........................................................................................	16
КОМПЛЕКТ 1..........................................................................................................	16
КОМПЛЕКТ 2..........................................................................................................	32
Литература ...............................................................................................................	49

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Правила дифференцирования y f (x)

1. y lim	y		;
x 0	x
y lim		f	x x f (x)	.

x 0			x

2.y k f (x0 ) ; k tg ; tg f (x0 ) .

3.y y0 f (x0 ) x x0 – уравнение касательной.

y y

x x

– уравнение нормали.

f (x0 )

5. u u(x);

v v(x);

c const .

(cu) c u ,

u v u

v ,

(u v)

u v v u

y y[u(x)] – сложная функция.

или

y y

u .

y f (x)

– взаимообратные функции.

x ( y)

y y(t)

– параметрически заданные функции.

x x(t)

y x x y

или yx

;

, т.е.

tt t t t

dx2

xt 3

Таблица производных

1.c 0, c const ;

2.xn nxn 1 ;

3.x 1;

4. x 2 1 x ;

	1	1

5.			;
		x2
x

6.(ax ) ax ln a , a 0 , a 1;

7.(ex ) ex ;

8.log a x x ln1 a , a 0 , a 1;

9.(ln x) 1x ;

10.(sin x) cos x ;

11.(cos x) sin x;

12.

(tgx)

;

cos2 x

13.

(ctgx)

;

sin 2

14.

(arcsin x)

;

1 x2

15.

(arccos x)

;

1 x2

16.

(arctgx)

;

17.

(arcctgx)

;

18.(shx) chx ;

19.(chx) shx ;

20. (thx)	1	;
	ch2 x

21. (cthx) sh12 x .

Таблица производных сложной функции

1.(un ) nun 1 u ;

2.u 2u u ;

	1	1

3.			;
		u2
u

4.(eu ) eu u ;

5.(au ) au ln a u , a 0 , a 1;

6.(ln u) uu ;

7. log a u

a 0 , a 1;

u ln a

8. (sin u) cos u u ;

9. (cos u) sin u u ;

10.

(tgu)

;

cos2 u

11.

(ctgu)

;

sin 2 u

12.

(arcsin u)

;

1 u2

13.

(arccos u)

;

1 u2

14.

(arctgu)

;

15.

(arcctgu)

;

16.(shu) chu u ;

17.(chu) shu u ;

18.	(thu)	u		;

		ch2u
19.	(cthu)		u		.

			sh2u

Образец задания

1.	Найти производную функции y		ex			ln x2	1 .
1.	Найти производную функции y		x			ln x2	1 .
		e	x	2
		e		2
2.	Используя логарифмическое дифференцирование, найти производную
функции y xarcsin x .
3.	Составить уравнение касательной		к		кривой y			4x x2	в точке с
3.	Составить уравнение касательной		к		кривой y			4	в точке с
								4

абсциссой x0 1.

4. Найти производную yx , если функция задана параметрически:

x 2tgt,			при t0		.
	2	t sin 2t,	при t0	6	.
y 2 sin		t sin 2t,		6

5.	Найти экстремумы функции y 2x3	63x2	120x 11.
6.	Найти частные производные функции	z x2	3x cos5y e y2	sin x

по каждой их независимых переменных.

7.Найти производную от функции x4 y10 sin 2x 3y 0, заданной неявно.

8.Найти производную функции y f x указанного порядка в заданной

точке x0 : y sin 4 x ,	y ?, x0		.
			2
9. Провести полное	исследование		функции	y	4	и начертить

					x2
				4	x2
график.
10. Исследовать функцию z 4x2		8xy y2		2x 3y 1 на экстремум.

Образец выполнения задания

Решение

Используя правила дифференцирования и таблицу производных, получим:

y	ex				ex		ln x2 1
			ln x2 1

	x	2			x	2
e				e

ex ex 2 ex ex

ex ex 2 ex

ex 2

ex 2 2

e2 x 2ex e2 x

2ex

ex 2 2

x2 1

ex 2 2

x2 1

Ответ:

2ex

ex 2 2

x2 1

Задание 2

Используя логарифмическое дифференцирование, найти производную функции y xarcsin x .

Решение

Логарифмическое дифференцирование выполняется в следующей последовательности:

1)обе части уравнения логарифмируем по основанию "e"

ln y ln xarcsin x ;

2)применяем свойство логарифма, получим ln y arcsin x ln x;

3)дифференцируем обе части равенства

arcsin x

ln x arcsin x ln x

ln x

;

1 x

после упрощения получим

xarcsin x 1 x ln x

arcsin x

1 x2

xarcsin x 1 x ln x

arcsin x

Ответ:

1 x2

Задание 3

Составить уравнение касательной

к кривой

4x x2

в точке с

абсциссой x0 1.

Решение

Уравнение касательной имеет вид:

y f x0 x x0 f x0

Найдем производную				f x0 .
		4x x	2		1			1
			2				2
						4x x	2
f	x								4	2x
f	x	4			4			4	4	2x
		4			4			4

1	2	x ,		1

2			f 1	2

Вычислим			f x . f 2						4 2 22				1.
Вычислим			f x . f 2										1.
			0					4
								4
Запишем уравнение касательной:
y	1	x 1 1,					y	1		x	1	1,		y	1	x	1	.
y		x 1 1,					y			x		1,		y		x		.
2								2			2				2		2
Ответ:			y	1	x	1	.
Ответ:			y		x		.
			2			2

Задание 4

Найти производную yx , если функция задана параметрически:

x 2tgt,			при t0		.
	2	t sin 2t,	при t0	6	.
y 2 sin		t sin 2t,		6

Решение

Производная yx находится по формуле:

x t

Найдем

yt :

yt 2 2sin t cost 2cos 2t,

yt 2sin 2t 2cos 2t,

yt 2 sin 2t cos 2t .

Найдем

cos2 t

Отсюда

2 sin 2t cos 2t

cos2 t

yx sin 2t cos 2t cos2 t,

x 2tgt.

Вычислим

						cos					cos	2		,
	y		sin			cos					cos			,
	x	6			3					3			6
		6			3					3			6

			2tg
	x		2tg
		6			6
		6			6
							3				1 ,
							3
			yx						3
			yx				8		3
Ответ:					6		8
Ответ:							2
							2
				x						.


					6			3
					6			3


			3 3		3
yx						,
yx		6	8		8	,
		6	8		8
			2
			2
	x			.


		6	3
		6	3

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]