Применение концепции неопределенностей при обработке результатов измерений. Учебное пособие

VI. Расширенная неопределенность в предположении нормальности закона распределения результатов измерений при уровне доверия р = 0,95, которому соответствует коэффициент охвата K= 2, вычисляется по формуле:

Таким образом, из приведенных примеров видно, что оценивание результатов измерений и их неопределенности рекомендуется проводить в следующей последовательности:

1.Составление уравнения измерений.

2.Оценка входных величин и их стандартных отклонений (неопределенностей).

3.Оценка измеряемой (выходной) величины и ее неопределенности.

4.Составление бюджета неопределенности;

5.Оценка расширенной неопределенности результата изме-

рений.

6.Представление результата измерений.

Приведенный перечень действий нуждается в пояснении.

К пункту 1 мы еще будем неоднократно возвращаться. Что касается пункта 2, то в приведенных примерах он фигурировал либо как спецификация измерений, либо как составление баланса неопределенностей. Во всяком случае, это необходимый этап оценки неопределенности, заключающийся в анализе источников неопределенности и условий измерений.

Пункт 4 в приведенных примерах нигде в явном виде не фигурировал, поскольку он частично перекрывался с пунктом 2. Тем не менее, ряд руководств и пособий рекомендуют в явном виде составлять так называемый бюджет неопределенностей, под которым понимается формализованный отчет о неопределенности измерений, составляющих неопределенности, их вычислении и суммировании. Бюджет неопределенности может включать модель измерений (имеется в виду уравнение измерений), оценки и неопределенности, связанные с величинами, входящими в модель измерений, ковариации, виды применяемых функций плотности вероятностей, число степеней свободы, тип оценивания неопределенности и коэффициент охвата [10].

31

В табл. 1 приведена рекомендуемая форма представления бюджета неопределенностей [13].

Частные производные, приведенные в 5-м столбце таблицы, называют коэффициентами чувствительности (см., например, [1]) поскольку они показывают, как выходная оценка y изменяется в зависимости от значений входных оценок x1, x2 , .., xn.

Таблица 1

Для примера 3 бюджет неопределенностей может быть представлен в виде, приведенном в табл. 2.

Таблица 2 Бюджет неопределенностей измерения частоты

32

В табл. 2 встречается такое понятие, как число степеней свободы, под которым понимается параметр статистического распределения, равный числу независимых параметров рассматриваемой статистической выборки.

Пояснения относительно числа степеней свободы при оценке неопределенности по типу В, равным ∞, приводятся при обсуждении формулы (53).

3. РАСЧЕТ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ПРИ ОБРАБОТКЕ

РЕЗУЛЬТАТОВ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Прежде чем рассматривать примеры расчета неопределенностей при косвенных измерениях, приведем сначала некие общие соображения, связанные с методологией таких измерений.

Косвенные измерения это определение значения физической величины на основании резльтатов прямых измерений других физических величин, функционально связанных с искомой величиной [2,15]. Таким образом, при косвенных измерениях искомое значение физической величины Y определяют на

В дальнейшем сами физические величины будут обозначаться большими буквами, а их оценки – малыми.

Надо сказать, что косвенные измерения чрезвычайно распространены в измерительной практике. Измерения количества теплоты, расхода теплоносителей, жидких и газовых энергоносителей, мощности передаваемой электроэнергии, длин штриховых мер интерференционными методами и еще множество измерений являются косвенными измерениями, поскольку в подавляющем большинстве искомые величины при таких измерениях вычисляются с помощью известных или предполагаемых функциональных зависимостей типа (45).

Сами входные величины Х1, Х2, .., Хn , от которых зависит

выходная величина Y , являются измеряемыми величинами, в общем случае зависящими от других величин, поправок и поправочных коэффициентов на систематические эффекты, что в принципе ведет к усложнению функциональной зависимости f

33

.Способ оценки неопределенности при косвенных измерениях может быть также серьезно осложнен существенной нелинейностью зависимости f и корреляцией входных величин.

Утверждается [1], что надежную оценку выходной величины при косвенных измерениях можно получить, вычислив функциональную зависимость при некотором k -ом наборе входных величин, т.е. вычислив Yk f ( X1,k , .., X n,k ) . Далее описанную процедуру предлагается повторить при другом наборе данных, получив таким образом набор m значений Yk ( k 1, 2, .., m),

по которым вычисляется среднее арифметическое. Таким об-

При этом каждое наблюдение имеет одну и ту же неопределенность и каждое основано на полном наборе наблюдаемых значений m входных величин X i , каждый из которых задается в

одно и то же время. В этом случае стандартная неопределенность типа А результата косвенного измерения вычисляется по формуле:

uC (xi ) входной оценки получают на основании возможных распределений входной величины X i . Если имеют дело с наборами наблюдений X i,k , то неопределенность uC (xi ) оценивается по

типу А, если с априорными распределениями, – по типу В. Неопределенность оценки измеряемой величины uC( y) в этом случае называют суммарной стандартной неопределенностью

34

и получают с помощью стандартных неопределенностей uC (xi )

входных величин. При этом способ суммирования стандартных неопределенностей зависит от степении корреляции входных величин. В предлагаемом учебном пособии корреляция входных величин рассматриваться не будет. Оценка неопределенности в случае коррелированных входных величин рассмотрена, например в [1].

Таким образом, в случае косвенных измерений при некоррелированных входных величинах для оценки неопределенности результатов измерений предлагается следующая последовательность действий.

1. Определяют оценку у измеряемой величины с помощью функциональной зависимости (45) по формуле:

полученные по результатам прямых однократных ли многократных измерений. В последнем случае

Из этого соотношения видно, что предлагается более простой по сравнению с (46) способ оценки выходной величины, описываемый формулой (48).

2. Находят стандартные неопределенности uC (xi ) оценок входных величин x1 ,x2 , .., xn . Они могут быть получены по типу А только в случае многократных измерений величин Х1, Х2, .., Хn

или по типу В, как в случае однократных измерений.

3. Вычисляют суммарную стандартную неопределенность измеряемой величины по формуле:

35

4. Определяют расширенную неопределенность оценки измеряемой величины у по формуле:

Стьюдента t p ( eff ) для эффективного числа степеней свободыeff , полученного по формуле Велча – Саттерсвейта [4]:

где i – число степеней свободы для i -ой входной величины.

Отметим, для единственной величины, оцененной средним арифметическим из mнезависимых наблюдений(т.е. оцененной по типу А). При оценке по типу В число степеней свободы принимается равным (т.е. большим, что прозволяет считать распределение Стьюдента переходящим в нормальное). Для остальных представляющих интерес случаев число степеней свободы определяется Руководством [4].

5. Записывают результат измерения в виде

Перейдем к рассмотрению конкретных примеров расчета неопределенности косвенных измерений.

Пример 4. (из Рекомендации [7]).

На государственном первичном эталоне длины измеряется длина штриховой меры интерференционным методом.

1. Уравнение измерений

где L – длина штриховой меры;

L0 – опорное значение длины штриховой меры ( L0 = 1,000 м);

– длина волны излучения лазера в интерферометре Майкельсона ( = 0,6329913982 мкм), граница неисключенной систематической погрешности = 6,2×10–9 мкм;

36

A– число импульсов;

nв – показатель преломления воздуха ( nв = 1,00027525),

при этом граница неисключенной систематической погрешности

в = 2×10–8;

t – температура штриховой меры ( t = 20,125°С), границы погрешности температуры меры t = 0,003 °С;

– коэффициент линейного расширения материала меры

( = 1,15×10–5 К–1);

l – поправка на размер коллиматорной щели, при этом границы систематической погрешности равны l =0,002 мкм.

Измерительный процесс сводится к измерению сдвига подвижного зеркала интерферометра Майкельсона на длину штриховой меры L , что в свою очередь приводит к сдвигу интерференционной картины относительно первоначального изображения и прохождению А полос интерференции мимо коллиматорной щели. При прохождении интерференционных полос мимо коллиматорной щели с помощью фотоэлемента образуются электрические импульсы, число которых и подсчитывается в измерительной установке. Хорошо известно (см, например, задачу 5.47 в пособии [14]), что перечисленные параметры измерительной задачи связаны соотношением

L A ,

2nв

что в свою очередь нашло свое отражение в записи первого слагаемого в формуле (56). Остальные слагаемые описывают влияние температурных и приборных эффектов на результат измерения.

2.Нахождение результата измерений.

2.1. В результате измерений (после внесения поправок на известные систематические погрешности в соответствии с уравнением измерений) были вычислены следующие значения Li (i = 1, 2, .., n = 10) длины штриховой меры (м):

1,000001356; 1,000001584; 1,000001383; 1,000001469; 1,000001491; 1,000001466; 1,000001575; 1,000001397; 1,000001405; 1,000001334.

2.2. Оценка длины штриховой меры вычисляется по форму-

ле:

37

2.3. Стандартная неопределенность uA(L) , оцениваемая по типу А и обусловленная случайными причинами, присущими измерениям, вычисляется по формуле:

2.4. Оценивается по типу В стандартная неопределенность, источники которой носят систематический характер.

1. Стандартная неопределенность uB(nв ) , вызванная погрешностью в = 2×10–8 измерения показателя преломления, имеет

ностью t = 0,003 °С измерения температуры меры, определяется выражением:

4. Стандартная неопределенность uB( l) , вызванная погрешностью l = 0,002 мкм поправки на размер коллиматорной щели,

38

где коэффициенты чувствительности (влияния) вычисляются по формулам (см. пояснения к формуле (51)):

Для упрощения расчетов предлагается принять, что A 2 1 м;

2nв

nв 1,00; 0,633 мкм. В результате получается следующая оценка:

при доверительной вероятности р =0,99.

2.10. Результат измерения длины штриховой меры имеет вид:

Аналогично составляются бюджеты неопределенностей для других видов измерений.

Рассмотрим еще один простой пример оценки неопределенности косвенных измерений.

39

Таблица 3

Бюджет неопределенностей измерения длины штриховой меры

L0 (20 t )

l )

40