Применение концепции неопределенностей при обработке результатов измерений. Учебное пособие

Проверим несмещенность оценки по формуле (14)

оценка среднего значения по формуле (14) является не только состоятельной, но и несмещенной.

Проверим теперь несмещенность оценки дисперсии по формуле (19).

При вычислении квадрата суммы в этом выражении ее следует записать в виде двойной суммы:

При суммировании индексы i и j могут принимать как одинаковые значения, так и разные. При одинаковых индексах (i=j)получаем квадраты разности между результатами измерений

21

и матаматическим ожиданием, при разных индексах соответствующие произведения скобок будут встречаться дважды,

иэто обстоятельство можно учитывать введением множителя 2

идополнительным условием на значения индексов, а именно: i<j. В самом деле, при суммировании в написанной двойной

Поэтому можно записать 2(E2 m)(E3 m), при этом всегда дол-

жно выполняться условие, что i=2 <j=3. После этих замечаний написанное выше выражение может быть записано в виде:

Далее следует учесть, что результаты измерений являются статистически независимыми. Это означает, что можно воспользоваться свойством операции вычисления математического ожидания, справедливым для статистически независимых величин, и записать:

При записи этого выражения было использовано определение дисперсии (20). Затем воспользуемся еще одним свойством операции математического ожидания, которое следует из формулы (16):

формуле (19) является смещенной, т.е. не удовлетворяет условию (18). Чтобы это условие удовлетворялось, необходимо обе части

оценка дисперсии должна проводиться по формуле:

22

Понятно, что оценка (22) является также и состоятельной. Это еще не все. На самом деле при оценке расширенной

неопределенности, как и при интервальной оценке погрешности [11], должна учитывается не дисперсия результатов измерений

S2 , а дисперсия среднего арифметического SE2 , которая также является случайной величиной, зависящей как от результатов измерений, так и от объема выборки, т.е.

При выводе формулы (24) были использованы следующие свойства операции D [1,2]:

1.Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя при этом его в квадрат, т.е. D(aE) a2 D(E).

2.Дисперсия алгебраической суммы независимых случайных

величин равна алгебраической сумме их дисперсий, т.е.

D(X Y Z) D(X ) D(Y) D(Z).

Формула (24) является ключевой для обоснования применения многократных измерений, поскольку из нее видно, что увеличение числа измерений (объема выборки) приводит к уменьшению дисперсии (погрешности) и, следовательно, неопределенности измерений.

Таким образом, с учетом (10–12) окончательно получаем формулу (15) для оценки неопределенности, обусловленной случайными причинами, как СКО результатов измерения освещенности.

23

Наконец, чтобы в определенной степени закрыть проблему требований к оценкам в метрологии, следует упомянуть о таком требовании, как требование эффективности оценок.

Оценка называется эффективной, если по сравнению с другими возможными оценками она обладает наименьшей дисперсией.

Например, дисперсия оценки математического ожидания с помощью среднего арифметического является эффективной,

n

(Ei E )2

в то время как оценка диспесии по формуле SE i 1

n(n 1)

таковой не является [2].

Для нахождения эффективных оценок существует ряд методов. Наиболее распространенным является метод максимального правдоподобия. Идея метода заключается в отыскании таких параметров зависимостей и распределений, при которых достигается максимум так называемой функции правдоподобия. Последняя определяется как вероятность появления всех

ности вероятности; – набор параметров функции плотности, то для независимых результатов наблюдений появление всего ряда наблюдений x1, x2 , .., xn есть произведение этих вероятностей, т.е.

n

P(x1, x2 , .., xn ) f (xi , ) x . В соответствии с принципом

i 1

максимального правдоподобия находятся такие значения параметров функции распределения f (x, ) , при которых вероятность P(x1, x2 , .., xn ) достигает максимального значения.

Отметим, что одной из возможных реализаций принципа максимального правдоподобия является метод наименьших квадратов (МНК).

IV. Следуя ГОСТ Р 8.736–2011 необходимо убедиться в том, что в результатах измерений отсутсутствуютгрубые промахи, т.е.такие результаты, погрешности которых существенно превышают зависящие от объективных условий измерений значения систематической и случайной погрешностей [10]. На языке неопределенностей это утверждение должно звучать так:

24

в результатах измерений должны отсутствовать такие их значения, которые приводят к неопределенностям, существенно превышающим неопределенности, оцененные при объективных условиях измерений.

ГОСТ Р 8.736–2011 рекомендует не учитывать грубые промахи при обработке измерений. Для этого предлагаются разные критерии исключения таких результатов из обработки, например критерий Граббса. Детали применения этого критерия можно найти в указанном ГОСТе. Следует также упомянуть хорошо известный в метрологии критерий 3 , который применяется для тех же целей. Если внимательно посмотреть на результаты измерений (13), то подозрения в с этой точки зрения будет вызывать значение 388 лк.

Для исключения грубых промахов критерием 3 следует воспользоваться оценкой (22) и с помощью этой оценки построить интервал [E 3S, E 3S] (ширина интервала равна 6S ). Согласно критерию 3 в результатах измерений отсутствуют грубые промахи, если все результаты находятся внутри построенного интервала. Если же какие-то результаты оказываются за пределами этого интервала, то их не следует учитывать при обработке результатов измерений. Основанием для такого утверждения является то, что если бы результаты измерений описывались нормальным законом распределения плотности вероятности, то вероятность нахождения результатов внутри интервала E 3S была бы равной 0,99.

С учетом оценки (22) ( S = 7,0 лк) интервал для критерия 3 имеет вид [353 лк, 395 лк]. Видно, что подозрительный результат, равный 388 лк, попадает в этот интервал, т.е. удовлетворяет критерию 3 и должен учитываться при обработке результатов измерений. Таким образом, оценки среднего значения освещенности и стандартной неопределенности остаются прежними, т.е.

E 374 лк и uA 3лк.

Необходимо отметить, что не все согласны с необходимостью исключения грубых промахов из обработки результатов измерений. Существует точка зрения [12], что грубые промахи имеют такое же право на учет, как и обычные погрешности, удовлетворяющие критериям принадлежности к «нормальным» измерениям, поскольку причины их возникновения в больщинстве случаев носят тоже случайный характер. Правда,

25

в этом случае функция распределения плотности вероятности будет отличаться от нормального (гауссова) распределения, эта функция будет отягощена так называемыми «тяжелыми хвостами», а соответствующие оценки будут отличаться от «нормальных». К числу таких функций распределения относится, например распределение Коши.

V. Далее ГОСТ Р 8.736–2011 рекомендует проверку результатов измерений (13) на принадлежность к нормальному распределению. Это необходимо сделать, поскольку дальнейшие оценки неопределенности существенно используют свойства и характеристики нормального распределения.

Существуют разные методы определения принадлежности результатов измерений к нормальному распределению. К их

числу относятся, например, критерий 2 Пирсона и критерий Мизеса – Смирнова [11], которые используются для выборок больших объемов (n>50). При малых выборках проверка ее принадлежности к нормальному распределению не проводится [11]. Рассматриваемый нами случай характеризуется малой выборкой, поэтому без всякого дополнительного рассмотрения будет предполагаться, что результаты измерений описываются нормальным распределением.

VI. Вычисляется неопределенность результатов измерений по типу В.

При составлении баланса неопределенностей было отмечено, что одной из составляющих неопределенности является неопределенность, вносимая средством измерений (люксометром) в результаты измерений. Эта неопределенность проявляется в цене деления прибора и носит систематический характер. С этой точки зрения методы статистики для ее оценки вроде бы не подходят.

С другой стороны, в рассматриваемом случае измеренные значения освещенности Еiнаходятся в границах от Ei E до

Ei E , где E – половина цены деления шкалы люксометра. В этом случае можно утверждать, что «вероятность того, что значение Еiнаходится в интервале от Ei E до Ei E равна

единице, а вероятность того, что Еi находится за пределами этого интервала существенно равна нулю» [2]. Если нет конкретных сведений о возможных вероятностях реализации значениях Еi , то можно только предположить, что с одинаковой вероятностью

26

Еiможет находиться в любом месте в пределах указанного интервала, т.е. для Еi реализуется равномерное (прямоугольное) распределение возможных значений. Это означает, что при отсутствии случайных причин для разброса измеренных значений среднее значение освещенности E 374 лк является средней точкой интервала [E E, E E ] с дисперсией равномерного распределения [2], т.е. соответствующая неопределенность имеет вид

где стандартные неопределенности uA и uB оцениваются по формулам (15) и (26). Подставляя численные значения, получаем

Uизмерения освещенности как произведение суммарной неопределенности на коэффициент охвата, который для доверительной вероятности р = 0,95 полагается равным 2, т.е.

27

Пример 3. (Пример взят из Рекомендации [7]).

Производится измерение с многократными наблюдениями частоты синусоидального сигнала с помощью электронносчетного частотомера ЧЗ-63. Показания частотомера (кГц) составляют:

151348; 151342; 151344; 151346; 151348; 151349; 151345; 151351; 151343; 151344; 151359; 151350; 151347; 151348; 151346; 151352; 151345; 151349; 151347; 151346. (32)

Оценить неопределенность измерения частоты.

Рекомендуется следующая последовательность действий.

I. Составляется так называемая спецификация измерений, включающая в себя анализ условий измерений, метода измерений и технических характеристик прибора.

а) анализ условий измерений:

измерения производятся в лабораторных условиях при температуре окружающего воздуха 25 °С.

б) анализ схемы измерений: время счета прибора – 10 мс;

время, прошедшее после установки действительного значения частоты опорного генератора частотомера, – 3 месяца.

в) анализ технических характеристик прибора:

прибор применяется при температуре окружающего воздуха от –30 до +50°С;

относительная погрешность измерения частоты синусоидальных сигналов f находится в пределах значений, рассчитанных по формуле:

где 0 – относительная погрешность по частоте внутреннего

опорного генератора, равная после самопрогрева в течение не менее 2 часов ±1,5×10–7 за 30 дней и ±5×10–7 за 12 месяцев после установки действительного значения частоты;

tcч – время счета, с.

28

температурный коэффициент частоты опорного генератора не более ±1,0×10–9 на 1°С.

Спецификацию измерений можно представить просто в виде перечисления указанных условий и характеристик.

II. Исключаются из рассмотрения грубые промахи с помощью критерия 3 .

Сэтой целью рассчитывается среднее значение результатов

(32)и СКО по формулам:

рия р = 0,99, в предположении нормального закона распределения для результатов наблюдений

Границы этого интервала fmin f 3S 151336,11 кГц;

fmax f 3S 151358,79 кГц.

Наибольший результат наблюдений 151 359 кГц находится на границе рассчитанного интервала, можно даже сказать, немного выходит за него, и согласно ГОСТ Р 8.736–2011 должен быть исключен из числа результатов наблюдений, поскольку, по всей видимости, является грубым промахом.

III. Оценивается стандартная неопределенность результатов наблюдений по типу А.

Снова вычисляется среднее значение частоты и СКО теперь по исправленным результатам наблюдений:

III. Оценивается по типу В составляющая суммарной неопределенности, которая содержит ряд составляющих, в том числе:

1) Неопределенность u1 частоты внутреннего опорного генератора частотомера, которая вычисляется с помощью выражения

29

для основной относительной погрешности f в предположении о равномерном распределении погрешности внутри границ.

Из спецификации следует, что границы относительной по-

3) Неопределенность u3 , обусловленная изменением частоты опорного генератора при изменении температуры окружающей среды от 20 °С (температуракалибровки частотомера tк ) до 25°С (температура среды в момент измерения tизм ) и вычисленная через температурный коэффициент частотыkt= ±1,0×10–9 в предположении о равновероятном распределении внутри границ, равна

Вклад от неопределенности u2 можно существенно уменьшить, увеличив время счета.

IV. Вычисляется суммарная неопределенность по формуле:

30