Применение концепции неопределенностей при обработке результатов измерений. Учебное пособие

ее составляющих. Это означает, что составляющие суммарной неопределенности прямых однократных измерений должы оцениваться по типу В, поскольку статистика для оценивания неопределенности по типу А в данном случае отсутствует.

В качестве исходных данных для вычисления неопределенности по типу В используют [4]:

данные предшествовавших измерений величин, входящих в уравнение измерения;

сведения о виде распределения вероятностей; данные, основанные на опыте исследователя или общих зна-

ниях о поведении и свойствах соответствующих приборов и материалов;

неопределенности констант и справочных данных; данные поверки, калибровки, сведения изготовителя о при-

боре и т.п.

Рассмотрим, как эти общие положения могут быть использованы при расчете неопределенности конкретных измерений.

2.1. Расчет неопределенности при обработке результатов прямых однократных измерений

Пример 1.(из Рекомендации [7]).

Вольтметр В7-37 при измерении напряжения источника постоянного тока показал Vx = 1, 347 В. Необходимо определить правильный результат измерения и оценить неопределенность измерения напряжения.

Руководство [4] и Рекомендация [8] предлагают следующую последовательность действий.

I. Проводится анализ: а) условий измерений:

измерения проводятся в лабораторных условиях при температуре окружающей среды +25 °С;

б) схемы измерения:

напряжение измеряется на выходе источника с внутренним сопротивлением R= (100 ± 10) кОм;

предел измерений прибора – 2 В; в) технических характеристик прибора:

рабочие условия применения вольтметра – температура окружающей среды – от 5 до 40 °С;

11

ступень квантования прибора составляет единицу меньшего разряда;

предел основной относительной погрешности при измерении постоянного напряжения в поддиапазоне [0,2; 2В] вычисляется по формуле:

предел дополнительной погрешности прибора, вызванной изменением температуры окружающей среды от нормальной до любой в пределах рабочей области температуры, не более предела основной погрешности на каждые 10 °С изменения температуры;

активное входное сопротивление Rвх прибора (10±1) МОм при измерении постоянного напряжения.

Приведенный анализ показывает:

1. В рассматриваемом случае результат измерения существенно определяется условиями измерений, когда возникает дополнительная погрешность, обусловленная отклонением условий измерений от нормальных, определяющих основную погрешность средства измерений. Напомним, что под основной погрешностью средства измерений понимается погрешность, которая нормируется для нормальных условий измерений. В большинстве случаев под нормальными условиями измерений понимаются следующие [2]:

температура окружающей среды 293 К ± 3К (20 °С); относительная влажность 65 % ±15 %; атмосферное давление 100 кПа ± 4 кПа (750 мм. рт. ст.

±30 мм. рт. ст.);

напряжение питающей электрической сети (для электрических и других средств, имеющих электрические цепи) 220 В ± 4,4 В, частота 50 гц.

2. В большинстве отечественных нормативных и технических документов никакого упоминания неопределенности нет, они сформулированы на языке и с использованием понятий теории погрешностей. Если придерживаться концепции неопределен-

12

ностей, то приведенный анализ следует понимать как установление (перечисление) источников неопределенностей, обусловленных как самим используемым средством измнрений, так и измерительной процедурой (так называемая спецификация измерений).

II. Определяется исправленный результат измерений с учетом поправки на систематическую погрешность, обусловленную шунтированием сопротивления источника входным сопротивлением вольтметра.

Имеется в виду следующее. При так называемом «холостом ходе» падение напряжения I R на источнике тока равно VR , т.е. I R VR . Шунтирование источника большим сопротивлением вольтметра (параллельное подсоединение вольтметра к источнику) означает, что теперь напряжение падает на эквивалентном

было учтено, что из-за большого значения сопротивления вольтметра ток, проходящий через источник, практически не меняется при подключении вольтметра.

Тем самым учтены все факторы, влияющие на результат измерения, и внесены все поправки в результат измерения. Теперь можно переходить к оценке неопределенности результата измерения.

III. Оценивается неопределенность результата измерения напряжения источника постоянного тока.

1. Основная неопределенность измерения в рассматриваемом случае определяется основной относительной погрешностью δ

13

(см. формулу (2)) в предположении о равновероятном распределении погрешности внутри интервала ее изменения.

Подставляя в формулу (2) численные значения, приведенные в пп. I и II, для границ относительной погрешности получим:

Границы абсолютной погрешности равны

Vx 0,00467 В.

Отсюда основная неопределенность измерений равна

Здесь и далее для обозначения неопределенности будет использоваться буква u (от англ.uncertainty).

Напомним, что дисперсия 2 равномерного распределения плотности вероятности определяется выражением [2]

2 a2 , 12

где а– ширина области определения случайной величины. Обычно под апонимается полуширина интервала равномер-

ного распределения случайной величины. Тогда 2 (2a)2 a2 . 12 3

Отсюда для оценки СКО случайной величины, распределенной по равномерному закону, получаем:

которое и определяет вид формулы (4).

Теперь необходимо учесть влияние всех факторов, приводящих к появлению дополнительной неопределенности.

2. Неопределенность, обусловленная отклонением температуры от нормальной.

Поскольку измерения проводятся при температуре 25 °С, а предел дополнительной погрешности вольтметра, вызванной изменением температуры, не более предела основной погрешности на каждые 10 °С изменения температуры, то дополнительная температурная неопределенность равна:

14

3. Неопределенность, вызванная квантованием аналогового сигнала.

Эта неопределенность равна погрешности квантования,

Как уже отмечалось, ступень квантования (аналог цены деления) – это единица меньшего разряда, т.е. 0,001 (см. показания вольтметра). В свою очередь погрешность квантования равна половине ступени квантования, отсюда следует цифра 0,0005

вформуле (6).

4.Неопределенность, вызванная неопределенностью uвх

входного сопротивления Rвх вольтметра и неопределенностью uR внутреннего сопротивления источника R . Эта неопределенность находится из выражения для поправки(см. (3):

q (Vx VR ) Vx RR

вх

Рассматривая это выражение как уравнение косвенных измерений (см. далее) при отсутствии корреляции между погрешностями измерения входного сопротивления вольтметра и внутреннего сопротивления источника можно записать [2, 9]:

Значения внутреннего сопротивления источника и входного сопротивления вольтметра известны только в пределах границ [Rmin , Rmax ] и [Rвх min , Rвх max ]. Считая все значения сопротивлений внутри этих границ равновероятными, можно оценить по типу В неопределенности рассматриваемых сопротивлений:

uB(R) (Rmax Rmin ) / 12 20 / 3,4641 5,7735 кОм,

uB(Rвх ) (Rвх max Rвх min ) / 12 2 / 3,4641 0,57735МОм.

Стандартная неопределенность, вызванная поправкой к измеренному напряжению, вычисленная по формуле (7), равна:

15

видим, что неопределенностью квантования можно пренебречь по сравнению с вкладом от остальных источников неопределенности. Неопределенность поправки u4 существенна, поскольку источник может обладать довольно большим внутренним сопротивлением R . Однако при малых R по сравнению с входным сопротивлением вольтметра Rвх этой неопределенностью можно также пренебречь.

V. Расширенная неопределенность U рассматриваемого измерения находится умножением суммарной неопределенности (10) на коэффициент охвата К. При этом в большинстве случаев предполагается, что если бы проводились многократные измерения, то их погрешность подчинялась бы нормальному распределению. В этом случае для уровня доверия р = 0,95 коэффициент охвата К = 2 и расширенная неопределенность

где расширенная неопределенность измерения напряжения источника постоянного тока U 0,006В при уровне доверия р = 0,95.

Рассмотренный расчет по типу В неопределенности при кажущейся простоте поставленной задачи представляет пример детального рассмотрения всех факторов, оказывающих влияние на результат измерения. Обратим внимание также на то, что существенная часть информации об источниках неопределенности была получена как из анализа условий измерений, так и из технической документации, где метрологические характеристики прибора приведены в виде соответствующих погрешностей.

16

2.2. Расчет неопределенности при обработке результатов прямых многократных измерений

Пример 2.Люксометром «Эколайт-01» проведены измерения освещенности на рабочем месте. Получены следующие значения:

Известно, что допускаемая основная относительная погрешность измерения освещенности с использованием данного люксометра (приборная погрешность) составляет 8 %. Если следовать терминологии концепции неопределенностей, то написанную фразу надо было бы сформулировать так:

относительная неопределенность, вносимая люксометром в результаты измерений, не превышает 8 %.

Необходимо вычислить неопределенность результатов измерений.

В данном случае имеем дело с прямыми многократными измерениями (прямыми потому, что результаты измерений получаются путем считывания показаний прибора). Поэтому в последовательности действий следует руководствоваться рекомендациями ГОСТ Р 8.736–2011 [9]. Этим ГОСТом и всеми нормативными документами, имеющими отношение к расчетам неопределенности измерений, рекомендуется следующая последовательность действий:

I. Учитываются и вносятся все необходимые поправки в результаты измерений. Для этого необходимо проанализировать измерительную процедуру и установить все источники неопределенности. В нашем случае источниками неопределенности могут быть:

неопределенность, обусловленная случайными причинами, присущими процессу измерения;

неопределенность, вносимая средством измерений (люксометром) в результаты измерений;

неопределенность, обусловленная неправильным отсчетом (так называемая погрешность отсчета);

неопределенность, причиной которой может быть влияние сторонних факторов (условий измерения) (температура, питающее напряжение, сторонняя засветка или затенение фотодатчика);

влияние присутствия человека.

17

Тем самым составлен баланс неопределенностей, под которым понимается общий перечень отдельных источников неопределенностей, относящихся к измерению определяемого параметра.

Анализ процесса измерения освещенности показывает, что

вобычных, нормальных условиях измерений при соблюдении всех рекомендованных процедур, последними тремя вкладами

внеопределенность можно пренебречь по сравнению с первыми двумя, и никаких поправок в показания прибора вносить не следует.

II. Вычисляется среднее значение E освещенности по формуле:

где n 6 – число измерений; Ei – результаты измерений.

Видно, что среднее значение освещенности рекомендуется оценивать как среднее арифметическое результатов измерений. Основанием для этого являются требования, предъявляемые в метрологии к оценкам величин, характеризующим случайные события, а в концепции неопределенностей именно оценки играют важную роль, поскольку в ней основным результатом является оцененное значение измеряемой величины.

Одно из требований сводится к тому, что оценка должна быть состоятельной. Это означает, что при числе измерений n (т.е. при большом числе измерений) оценка среднего значения должна стремиться к обоснованно приписанному значению измеряемой величины, которое будем обозначать через E .

Таким образом, результаты последовательных измерений xi

могут быть представлены в виде

x1 E 1

x2 E 2 ,

..................

xn E n

где через i обозначены случайные добавки, приводящие к раз-

бросу измеренных значений относительно обоснованно приписанного значения измеряемой величины. Складывая обе части

18

написанных выражений и деля получившийся результат на число измерений n , приходим к соотношению:

1n (x1 x2 ... xn ) E 1n ( 1 2 ... n ).

Переходя в этом выражении к пределу n , получаем формулу (14). Действительно, слева при любом n имеем среднее арифметическое, справа получаем E , поскольку выражение

1n ( 1 2 ... n ) при n стремится к нулю. Таким образом,

из приведенных соображений следует, что оценка среднего значения измеряемой величины может проводиться с помощью среднего арифметического, поскольку эта оценка является состоятельной в описанном выше смысле.

III. Вычисляется стандартная неопределенность по типу А, как СКО результатов измерений, по формуле:

Формула (15) требует пояснений.

По формуле (15) проводится оценка дисперсии (разброса) измеренных значений освещенности относительно оценки среднего значения. С точки зрения статистики результаты измерений освещенности являются выборкой из генеральной совокупности возможных ее значений в условиях измерений, а соответствующие оценки, описываемые формулами (14) и (15), являются выборочными оценками, значения которых зависят от объема выборки. Как уже отмечалось, ко всем оценкам в метрологии предъявляются определенные требования. О требовании состоятельности уже говорилось, теперь настал черед рассмотрения требования несмещенности оценки.

Оценка называеться несмещенной, если ее математическое ожидание оказывается равной самой характеристике. Другими словами, оценка не должа быть ни заниженной и ни завышенной.

19

Для пояснения сказанного вспомним, что в статистике (например, [2]) математическое ожидание m дискретной случайной величины определяется формулой:

где pi – вероятность реализации значения Еiслучайной величины

Е;

М (Еi ) обозначает математическую операцию взвешенного (с весами pi ) суммирования случайной величины Еi, определяемую формулой (16).

В свою очередь дисперсия (разброс) 2 дискретной случайной величины относительно среднего значения вычисляется по формуле:

n

2 (E) pi (Ei m)2 D(E), (17)

i 1

где через D обозначена операция взвешенного (с весами pi ) суммирования квадратов отклонений значений случайной величины Ei от математического ожидания m.

Напомним, что математическое ожидание m и дисперсия 2 являются характеристиками генеральной совокупности всех значений освещенности, которые в принципе могут быть измерены люксометром при фиксированных условиях измерений, в то время, как E является выборочной оценкой математического

ожидания m, а S2 – выборочной оценкой дисперсии 2 .

С учетом определений (16) и (17) требование несмещенности

20