Практикум по дисциплине «Имитационное моделирование»
.pdfзначениями его элементов. Если размерность массива больше 9, то для его отображения используются таблицы вывода с номерами строк и столбцов.
Массивы можно редактировать, вставляя или удаляя элементы, строки, столбцы. Для этого выделяется один из элементов и используется кнопка Matrix or Vector (Матрица или вектор) на палитре векторов и матриц, после чего в диалоговом окне указывается число строк (столбцов), которые надо вставить или удалить.
Копирование, перемещение и удаление массивов или их фрагментов, а также поиск и замена элементов массива производятся стандартными способами, принятыми в Windows, например, с помощью команд меню:
Edit-Cut, Copy, Paste, Find, Replace (Правка-Вырезать, Копировать,
Вставить, Найти, Заменить).
Создание графиков в системе MathCad
MathCad представляет широкие возможности для представления числовых зависимостей в виде различных двумерных и трехмерных графиков. С этой целью в системе используется программный графический процессор, который позволяет строить множество графиков в декартовой и полярной системах координат, графики уровней, двумерные и трехмерные поверхности, контурные поверхности и другие.
Для построения двумерных графиков следует ввести выражение, описывающее некоторую функцию f(x), а затем вывести шаблон командой меню: Insert-Graph-X-Y Plot (Вставка-График-Двумерный график) или путем использования кнопки X-Y Plot (Двумерный график) на палитре графиков. В результате появляется шаблон графика с заданной функцией, где надо задать имя переменной x по оси X, имя функции f(x) по оси Y и щелкнуть левой кнопкой мыши вне области графика, после чего график будет построен.
Форматирование двумерных графиков в декартовой системе координат заключается в выборе типа линий, установке параметров осей, задании надписей и цветов и т.д. Для начала операции форматирования выполняется двойной щелчок внутри графической области или используется команда меню: Format-Graph-X-Y Plot (Формат-График- Двумерный график). В результате этого появляется окно диалога с четырьмя вкладками, которые позволяют менять основные параметры графиков и осуществлять различные установки.
21
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ СМО В СРЕДЕ MATHCAD
ПРИМЕР – МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ СМО В СРЕДЕ
MATHCAD
Рассмотрим СМО при трех состояниях прибора обслуживания S0, S1, S2. Известна матрица перехода для данного процесса J и вектор вероятностей его начального состояния Р(0).
J = |
Р(0) = |
Каждая строка в матрице J равна единице и отражает вероятности перехода из состояния строки в состояние столбца. Так, из первой строки видно, что исправный прибор через некоторое время, принимаемое за единицу, останется в исправном состоянии с вероятностью 0,7, «забарахлит» с вероятностью 0,2 и перейдет в неисправное состояние с вероятностью 0,1.
Для оценки качества такой системы рассмотрим ее поведение за 50 интервалов времени, отраженное в документе Mathcad. При этом потребуется знание правил обработки массивов в Mathcad.
Следует отметить, что при первом описании переменной в MathCad используется знак :=, он вводится с клавиатуры клавишей : (двоеточие) а при расчете значений переменных используется знак равенства =. Символ
.. (две нижние точки подряд) указывает на изменение переменной в заданных пределах, он вводится с клавиатуры клавишей ; (точка с запятой).
ПРИМЕР ДОКУМЕНТА MATHCAD
Поведение системы за 50 интервалов времени
|
0.7 |
0.2 |
0.1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
J |
0.1 |
0.6 |
0.3 |
P |
0 |
N 50 |
i 0 |
N |
P |
JT P |
|
|
|
|
0 |
|
i 1 |
i |
|||
|
0.2 |
0.1 |
0.7 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0.366 |
|
|
0.346 |
|
0.346 |
|
|
|
|
P5 |
0.283 |
P20 |
|
0.269 |
P30 |
0.269 |
|
|
|
|
|
0.351 |
|
|
0.385 |
|
0.385 |
|
|
|
22
Очевидно, что примерно через 20 шагов по времени распределение вероятностей стабилизируется, и 35% приборов останутся исправными, 27% будут «барахлить» и 38% потребуют капитального ремонта.
Отметим, что подобным образом моделируется не сам вероятностный процесс, а его детерминированные вероятностные характеристики, отражающие усреднение множества отдельных процессов.
ПОРЯДОК ПРОВЕДЕНИЯ РАБОТЫ
1.Откройте программу Mathcad.
2.Создайте документ в соответствии с приведенным примером
Mathcad.
3.Создайте новый документ, изменив значения элементов матрицы перехода J и сохранив равенство единице суммы элементов в каждой строке.
4.В новом документе измените также значения элементов вектора вероятностей начального состояния системы Р(0) и число интервалов времени N.
5.Рассчитайте несколько элементов вектора 
и определите момент стабилизации распределения вероятностей.
6.Представьте отчет в виде конспекта теоретического материала, результатов моделирования, выводов по работе и ответов на контрольные вопросы.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.Дайте определение систем массового обслуживания.
2.Приведите примеры распространенных СМО.
3.Почему для исследования СМО целесообразно использовать имитационное моделирование?
4.Какие системы называются марковскими?
5.Перечислите детерминированные характеристики, используемые для оценки работы СМО.
6.Что представляет собой матрица перехода в СМО?
23
ТЕМА № 4 МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
В НЕПРЕРЫВНОМ ВРЕМЕНИ
Теоретическая часть УРАВНЕНИЯ КОЛМОГОРОВА
ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ КОЛМОГОРОВА В СРЕДЕ MATHCAD ПРИМЕР ДОКУМЕНТА MATHCAD
Практическая часть ПОРЯДОК ПРОВЕДЕНИЯ РАБОТЫ КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
УРАВНЕНИЯ КОЛМОГОРОВА
При анализе систем массового обслуживания (СМО) для исследования изменения вероятностных характеристик в непрерывном времени используются дифференциальные уравнения Колмогорова как предельный случай дискретного марковского процесса при переходе к непрерывному времени.
Дифференциальное уравнение Колмогорова имеет вид:
где P – вероятность; t – время; J – переходы; S – состояния.
В качестве примера рассмотрим поведение марковской СМО, которая
может |
находиться в четырех различных состояниях с вероятностями |
, |
Система уравнений Колмогорова с начальными условиями |
, отражающими вероятность нахождения такой СМО одном из состояний в начальный момент времени t = 0, имеет вид:
24
где 
– интенсивности перехода из одного состояния в другое; сумма вероятностей:
ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ КОЛМОГОРОВА В СРЕДЕ
MATHCAD
Рассмотрим пример интегрирования уравнений Колмогорова с интенсивностями перехода в среде MATHCAD.
Рассмотрим СМО в четырех состояниях, для которой заданы матрица интенсивностей g, правые части системы обыкновенных дифференциальных уравнений Колмогорова, вектор вероятностей его начального состояния х = Р(0), число шагов интегрирования N и конечное время Т:
0 |
8 |
1 |
1 |
0.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
5 |
1 |
2 |
x 0.7 |
|
|
g |
|
|
|
N:=200 |
Т:=1 |
|
5 |
0 |
2 |
|
|||
0 |
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
Для оценки качества такой системы проведем интегрирование системы обыкновенных дифференциальных уравнений Колмогорова. С этой целью может быть использован метод Рунге-Кутта с фиксированным шагом, для которого в среде Mathcad имеется функция rkfixed со следующими аргументами:
rkfixed(х,x1,x2, N,f) – выдает матрицу решений методом Рунге-Кутта с фиксированным шагом интегрирования для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями в векторе х, правые части которых записаны в символьном векторе f, на интервале от x1 до x2 при фиксированном значении числа шагов N.
При этом потребуется знание правил обработки массивов, построения графиков и решения дифференциальных уравнений в Mathcad.
Следует также отметить, что при работе с массивами нижняя граница индексов по умолчанию принимается равной нулю.
25
ПРИМЕР ДОКУМЕНТА MATHCAD
Интегрирование уравнений Колмогорова с интенсивностями перехода
0 |
8 |
1 |
1 |
g0 1 |
g0 2 g0 3 g3 0 |
g3 0 |
g3 0 |
|
0 |
5 |
1 |
2 |
|||||
|
|
|
|
|||||
g |
|
|
|
A |
g0 1 |
g1 2 g1 3 |
g2 1 |
|
0 |
5 |
0 |
2 |
|||||
2 |
0 |
0 |
0 |
|
g0 2 |
g1 2 |
g2 1 g2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Начальные вероятности |
|
12 |
2 |
2 |
|
g |
3 0 |
0.3 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
8 |
3 |
5 |
B |
|
0 |
x 0.7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
7 |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Правые части уравнений |
Конечное время |
|||||||
f(t x) |
A x |
B |
N |
200 |
T |
1 |
i 0 N |
z rkfixed(x 0 T N f) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
zi 1 |
|
|
|
|
|
|
Вероятности Pj |
|
|
|
|
|
|
|
нахождения системы в |
||
zi 2 |
|
|
|
|
|
|
||
0.5 |
|
|
|
|
|
состояниях j=1,2,3 |
||
zi 3 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
времени i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
0.5 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
zi 0 |
|
|
|
|
ПОРЯДОК ПРОВЕДЕНИЯ РАБОТЫ
1.Откройте программу Mathcad.
2.Создайте документ в соответствии с приведенным примером
Mathcad.
3.Создайте новый документ, изменив значения элементов матрицы интенсивностей g.
4.В новом документе измените также значения элементов вектора вероятностей начального состояния системы х и конечное время Т.
5.Представьте отчет в виде конспекта теоретического материала, результатов моделирования, выводов по работе и ответов на контрольные вопросы.
26
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.В каких случаях для описания СМО используются уравнения Колмогорова?
2.Как выполняется ввод массивов в документ Mathcad?
3.Какие виды графиков используются в системе Mathcad?
4.Как выполняется построение двумерных графиков в документе
Mathcad?
5.Что представляет собой метод Рунге-Кутта?
27
ТЕМА № 5 МОДЕЛИРОВАНИЕ ОДНОКАНАЛЬНОЙ СМО С ОТКАЗАМИ
Теоретическая часть УРАВНЕНИЯ КОЛМОГОРОВА ДЛЯ ОДНОКАНАЛЬНОЙ СМО
МОДЕЛИРОВАНИЕ ИЗМЕНЕНИЙ В ОДНОКАНАЛЬНОЙ СМО В СРЕДЕ
MATHCAD
ПРИМЕР ДОКУМЕНТА MATHCAD
Практическая часть ПОРЯДОК ПРОВЕДЕНИЯ РАБОТЫ КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
УРАВНЕНИЯ КОЛМОГОРОВА ДЛЯ ОДНОКАНАЛЬНОЙ СМО
Структура |
системы |
массового |
обслуживания |
определяется |
количеством и |
взаимным |
расположением каналов |
обслуживания |
|
(механизмов, приборов и т.п.). Независимо от характера процесса, протекающего в СМО, все системы делятся на две большие группы:
системы с отказами, в которых заявка, поступившая в систему в момент, когда все каналы заняты, получает отказ и сразу покидает систему; 
системы с ожиданием (очередью), в которых заявка, поступившая в систему в момент, когда все каналы заняты, становится в очередь и ждет,
пока не освободится один из каналов.
В одноканальной СМО с отказами имеется один прибор для обслуживания, и если он занят, заявка покидает систему. Примером подобной системы может служить справочная с одной телефонной линией.
Такая система может находиться в двух состояниях: |
|
||
S0 |
– канал свободен (ожидание иначе простой); |
|
|
S1 |
– канал занят (идет обслуживание заявки). |
|
|
Обозначим интенсивность потока заявок (число заявок в единицу |
|||
времени) |
через , интенсивность потока обслуживания через . Введем |
||
вероятности состояний: |
– «канал свободен», |
– «канал занят». |
|
Среднее время между заявками и среднее время обслуживания составят соответственно величины 1/ , и 1/ .
Система уравнений Колмогорова запишется в виде:
28
Используя равенство |
, можно получить одно |
дифференциальное уравнение: |
|
Решая его с начальным условием |
, получим выражение для |
вероятности свободного канала: |
|
При t можно получить установившуюся вероятность, не зависящую от того, в каком состоянии была система в начальный момент времени:
В такой системе вероятность отказа составляет:
Очевидно, что при 
вероятность отказа 
будет близка к единице.
МОДЕЛИРОВАНИЕ ИЗМЕНЕНИЙ В ОДНОКАНАЛЬНОЙ СМО В СРЕДЕ MATHCAD
Рассмотрим пример моделирования изменения вероятностей состояния одноканальной СМО с отказами в среде MATHCAD.
В качестве примера исследуем изменение вероятностей состояний в одноканальной марковской СМО, которая может находиться в двух
состояниях – свободном и занятом. Заданными величинами являются: |
|
|
Интенсивность заказов |
= 5, интенсивность обслуживания |
= 7, |
начальная вероятность Р0 = 1, время работы системы t изменяется от 0 до
1 с шагом 0.01.
Для оценки качества такой системы рассмотрим ее поведение в интервале изменения времени от 0 до 1, отраженное в документе Mathcad. При этом потребуется знание правил обработки переменных в Mathcad. (См., например, электронный учебник LABMATHCAD раздел ОСНОВЫ РАБОТЫ С СИСТЕМОЙ Mathcad).
29
ПРИМЕР ДОКУМЕНТА MATHCAD
Изменение вероятностей в одноканальной СМО с отказами
Интенсивность заказов Интенсивность обсл. Начальная вероятность
|
5 |
|
|
|
7 |
P |
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
P0(t) |
|
1 e ( |
) t |
P e ( |
) t |
|
|
|
|
t 0 0.01 1 |
P1(t) |
1 P0(t) |
|||
|
|
|
|
0 |
1 |
|
P0(t) |
|
P1(t) |
|
0.5 |
|
0 |
0 |
P0(t) - вероятность простоя
P1(t) - вероятность отказа
0.5 |
1 |
t t |
|
ПОРЯДОК ПРОВЕДЕНИЯ РАБОТЫ
1.Откройте программу Mathcad.
2.Создайте документ в соответствии с приведенным примером
Mathcad.
3.Создайте новый документ, изменив значения интенсивностей
заказов и обслуживания .
4.В новом документе измените также значение начальной вероятности P0, период времени t и шаг исследования.
5.Постройте график изменения вероятностей в новом документе
Mathcad.
6.Представьте отчет в виде конспекта теоретического материала, результатов моделирования, выводов по работе и ответов на контрольные вопросы.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.Перечислите основные категории систем массового обслуживания.
2.В каких состояниях может находиться одноканальная СМО?
3.Как определяется интенсивность потока заявок?
4.Как определяется интенсивность обслуживания заявок?
5.Каким образом можно уменьшить вероятность отказа в СМО?
30