Практикум по дисциплине «Имитационное моделирование»

Поле Случайное рассеивание (=1) позволяет при повторных запусках генератора получить те же значения случайных величин, что и при первом.

Поле Параметры вывода определяет место расположения полученных результатов. В данном случае это блок ячеек с именем Перем_расх.

Генерация значений переменных Q и P выполняется аналогичным образом.

Для получения генеральной совокупности потока платежей NCF и их чистой приведенной стоимости NPV необходимо скопировать формулы базовой строки D13:E13 требуемое число раз (99). С целью упрощения этих операций можно выполнить следующие действия:

Выделить и скопировать в буфер ячейку D13.

Нажать клавишу [F5] – на экране появится диалоговое окно Переход. В поле Ссылка указать имя блока Поступления и нажать кнопку

[OK]. Результатом этих действий будет выделение заданного блока.

Нажать клавишу [Enter]. Итогом будет заполнение блока формулами и результатами вычислений.

Аналогичным образом копируется формула из ячейки Е13. При этом в поле Ссылка диалогового окна Переход необходимо указать имя блока

ЧПС.

Пятый этап имитационного моделирования предполагает проведение анализа полученных результатов и принятие решения.

Величина ожидаемого параметра NPV равна_______ (ячейкаF8) при стандартном отклонении _______(ячейкаF9). Полученный при этом коэффициент вариации _______ (ячейкаF10) меньше (больше) единицы, таким образом, риск данного проекта в целом ниже (выше) среднего риска инвестиционного портфеля фирмы. Общее число отрицательных значений NPV в выборке составляет _____ (ячейкаF13) из _____, т.е. не превышает____%. Следовательно, с вероятностью ______% можно утверждать, что чистая приведенная стоимость NPV будет больше (меньше) 0. При этом вероятность того, что величина NPV окажется больше, чем M(NPV)+ равна_____% (ячейкаF19). Вероятность попадания значения NPV в интервал [M(NPV)- ; M(NPV)] равна_____% (ячейкаF20).

ПОРЯДОК ПРОВЕДЕНИЯ РАБОТЫ

1.Откройте программу MS Excel.

2.Создайте шаблоны двух рабочих листов Имитация и Результаты анализа, используя таблицы MS Excel: Исходные условия эксперимента

иИмитационный анализ (Метод Монте-Карло).

11

3.На обоих листах введите значения постоянных переменных и диапазонов изменений ключевых переменных.

4.На обоих рабочих листах задайте имена блокам и ячейкам, указанным в таблицах.

5.На обоих рабочих листах запишите формулы, указанные в таблицах.

6.Получите генеральные совокупности ключевых переменных V, Q, P.

7.Рассчитайте генеральные совокупности значений результирующих переменных NCF и NPV.

8.Оцените результаты проведенного имитационного моделирования.

9.Представьте отчет по работе в виде результатов вычислений и ответов на контрольные вопросы.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

10.Дайте определение имитационного моделирования. В чем его сущность?

11.Перечислите основные этапы имитационного моделирования.

12.В чем заключается основная цель моделирования методом Монте-

Карло?

13.Назовите критерии, используемые для оценки эффективности инвестиционного проекта.

14.Каким образом можно выделить большие диапазоны ячеек в MS Excel и заполнить их формулами?

15.Перечислите задачи, которые можно решать с помощью пакета Анализ данных.

12

ТЕМА № 2 СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ИМИТАЦИИ

Теоретическая часть КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ ОПИСАТЕЛЬНАЯ СТАТИСТИКА

Практическая часть ПОРЯДОК ПРОВЕДЕНИЯ РАБОТЫ КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Статистический анализ результатов имитации

Определение количественных характеристик для оценки тесноты взаимосвязи между случайными величинами в среде MS Excel можно выполнить двумя способами:

1.С помощью статистических функций КОВАР() и КОРРЕЛ().

2.С помощью специальных инструментов статистического анализа. Если число исследуемых переменных больше двух, более

рациональным является использование инструментов анализа. Определим с помощью инструмента Анализ данных степень тесноты взаимосвязи между переменными Q, P, V, NCF, NPV, используя в качестве показателя коэффициент корреляции R. Выполним следующие действия:

На вкладке Данные в группе Анализ выбирается пункт Анализ данных.

В появившемся диалоговом окне Анализ данных из списка

Инструменты анализа выбирается пункт Корреляция.

В диалоговом окне Корреляция указываем: в поле Входной интервал

–$А$12:$Е$112, Группировка – по столбцам, Метки в первой строке,

Параметры вывода – новый рабочий лист.

Результаты корреляционного анализа, полученные на новом рабочем листе, представлены в виде квадратной матрицы, заполненной только наполовину, поскольку значение коэффициента корреляции между двумя переменными не зависит от порядка их обработки. Матрица симметрична относительно главной диагонали, элементы которой равны 1, так как каждая переменная коррелирует сама с собой. Остальные коэффициенты

13

корреляции позволяют оценить тесноту связи между всеми рассматриваемыми переменными.

ОПИСАТЕЛЬНАЯ СТАТИСТИКА

Другим средством статистического анализа результатов имитационного моделирования является использование описательной статистики. При этом выполняются следующие действия:

На вкладке Данные в группе Анализ выбирается пункт Анализ данных.

В появившемся диалоговом окне Анализ данных из списка

Инструменты анализа выбирается пункт Описательная статистика.

В появившемся диалоговом окне указываем: в поле Входной интервал –$А$12:$Е$112, Группировка – по столбцам, Метки в первой строке, Параметры вывода – новый рабочий лист, Итоговая статистика, Уровень надежности – 95%.

ПОРЯДОК ПРОВЕДЕНИЯ РАБОТЫ

1.Откройте программу MS Excel.

2.Проведите статистический анализ результатов моделирования.

3.Представьте определения коэффициентов ковариации и корреляции

иосновных характеристик описательной статистики: Среднее, Стандартная ошибка, Медиана, Мода, Стандартное отклонение, Дисперсия выборки, Эксцесс, Асимметричность, Интервал, Минимум, Максимум, Сумма, Счет, Уровень надежности.

4.Постройте график распределения значений параметров V, Q, P.

5.Представьте отчет по работе в виде результатов вычислений и ответов на контрольные вопросы.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Перечислите задачи, которые можно решать с помощью пакета

Анализ данных.

2.Перечислите статистические характеристики, используемые в

работе.

3.Какое решение можно принять по результатам проведенного имитационного моделирования?

14

ТЕМА № 3 МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ СИСТЕМ МАССОВОГО

ОБСЛУЖИВАНИЯ

Теоретическая часть СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ РАБОТЫ В СРЕДЕ MATHCAD МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ СМО В СРЕДЕ MATHCAD ПРИМЕР ДОКУМЕНТА MATHCAD

Практическая часть ПОРЯДОК ПРОВЕДЕНИЯ РАБОТЫ КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Системой массового обслуживания (СМО) называется любая система, предназначенная для обслуживания какого-либо потока заявок. Это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание и обрабатываются с помощью прибора обслуживания и имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания.

Обращение к СМО носит случайный характер, такой же характер имеет и время обслуживания каждой заявки. Однако для оценки работы СМО используются детерминированные характеристики, которыми могут быть вероятность обслуживания, среднее время обслуживания, средняя длина очереди заявок (если она есть) и др. На основе таких оценок можно делать выводы о качестве системы и давать рекомендации по повышению эффективности ее работы.

СМО принято классифицировать по ряду признаков. Прежде всего, они разделяются на марковские и немарковские. В марковских СМО для любого момента времени t вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент t и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние. Переходы системы из состояния в состояние происходят под действием каких-то потоков событий (поток заявок, поток отказов). В немарковских системах процессы протекают более сложно.

В качестве примера рассмотрим поведение марковской СМО, которая может находиться в различных состояниях S0, S1,…, Sn,… Например, прибор может находиться в состояниях: S0 – исправен, S1 – «барахлит» и требует мелкого ремонта, S2 – неисправен и требует капитального ремонта.

15

Обозначим вероятность нахождения системы в состоянии Sn в дискретный момент времени i через Pn(i). Тогда в дискретные моменты времени i состояние системы будет характеризовать стохастический вектор

Для марковского процесса его будущее состояние зависит только от состояния в текущий момент времени и не зависит от предыстории перехода системы в это состояние. При этом каждой паре состояний n,n’ можно поставить в соответствие условную вероятность Pn,n’ того, что система, находясь в состоянии Sn, перейдет в состояние Sn’ в следующий момент времени. В марковских процессах эта вероятность должна зависеть только от состояния n,n’. Для вероятности Pn’(i+1) можно получить формулу, учитывая все возможные варианты перехода в это состояние:

n’ = 1,2,…

В векторной форме эта система записывается в следующем виде:

где квадратная матрица образована из элементов Pn,n’ и называется матрицей перехода.

Таким образом, марковский процесс полностью определяется матрицей перехода и начальным состоянием системы Р(0).

ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ РАБОТЫ В СРЕДЕ MATHCAD

Системы класса MathCad широко используются во всем мире для решения различных задач математики, физики и большого круга вычислительных задач в других научных направлениях. MathCad разработан американской фирмой MathSoft Inc. в середине 80-х годов. Последние версии пакета представляют собой универсальные математически ориентированные системы для автоматизации трудоемких расчетов. Файлы документов в MathCad по умолчанию имеют расширение

.mcd. Для сохранения, открытия и печати файлов MathCad используются обычные приемы работы с документами в Windows.

MathCad дает возможность решать математические задачи различной сложности, включающие следующие основные операции:

Расчет результатов математических операций с использованием в формулах числовых констант, переменных и размерных физических величин.

Векторные и матричные операции. Построение графиков и диаграмм.

16

Решение уравнений и систем уравнений.

Тождественное преобразование и упрощение выражений в символьной форме, аналитическое решение уравнений и систем.

Аналитическое и численное дифференцирование и интегрирование. Статистические расчеты и анализ данных.

Основные объекты рабочего листа MathCad

Загрузка программы MathCad может производиться по стандартной схеме:

Пуск –Все программы - MathSoft Apps – MathCad N, где N – номер версии.

После загрузки программы MathCad большую часть экрана занимает окно редактирования рабочего листа. Вначале рабочее поле этого окна является пустым, а в верхней части окна обычно располагаются следующие объекты: строка заголовка; строка меню; панель инструментов Стандартная; панель инструментов Форматирование; панель инструментов для ввода математических объектов.

Строка операционного меню включает команды:

File – работа с файлами, сетью Интернет и электронной почтой; Edit – редактирование документов;

View – изменение вида окна и элементов интерфейса; Insert – вставка объектов и их шаблонов, включая графику; Format – изменение формата (параметров) объектов;

Math – управление процессом вычислений; Graphics – работа с графическим редактором; Symbolic – выбор операций символьного процессора; Window – управление окнами системы;

Help – работа со справочной базой данных о системе.

Панель инструментов для ввода математических объектов содержит кнопки для вызова удобных перемещаемых маленьких панелей, так называемых палитр (palletes), с помощью которых можно вводить в

документы практически все известные математические символы, операторы и греческие буквы.

Редакторы текста и формул

Сразу после запуска MathCad готов к составлению нового документа с необходимыми пользователю вычислениями и комментариями.

Для запуска формульного редактора следует установить курсор мыши на свободном месте окна и щелкнуть левой клавишей. При этом появляется визир, имеющий вид маленького красного крестика + , который можно

17

переносить клавишами перемещения курсора. Визир указывает место, с которого надо начинать набор вычислительных блоков. В зависимости от места расположения визир может менять свою форму – в области записи формул он превращается в синий уголок, указывающий направление и место ввода. Расширение области, охваченной синим уголком, производится при помощи клавиши пробела.

Комментарии к задаче записываются с помощью текстового редактора, что делает документ с формулами и графиками более наглядным. Запуск текстового редактора начинается с использования команды меню: Insert-

Text Region (Вставка-Текстовая область) или ввода символа “ (одна двойная кавычка), после этого появляется прямоугольник, куда можно вводить текст. В текстовом блоке курсор имеет вид красной вертикальной черточки , которая указывает на место ввода очередного символа. Текстовая область при вводе ограничена рамкой, расширяющейся по мере ввода текста и пропадающей после выхода из текстовой области. Редактирование и форматирование текста осуществляется общепринятыми средствами для текстовых редакторов в Windows.

Ввод простейших математических выражений производится обычным способом, например, с использованием арифметических операторов сложения, умножения и т.п.: 4 + 5 = 2 * 3 = 7.5 / 5 =

Результаты вычислений появляются сразу после ввода знака равенства. При записи формул часто используются буквенные обозначения переменных, для которых должны быть заданы соответствующие числовые значения. Переменными называются поименованные объекты, имеющие некоторое значение, которое может изменяться по ходу выполнения программы. Значения переменных в MathCad задаются оператором присваивания, который вводится символом на английской раскладке клавиатуры : (двоеточие), а на экране изображается сдвоенным символом := (двоеточие и равенство). В новейших версиях MathCad знак равенства

допустимо применять и как знак присваивания.

Когда все значения переменных, входящих в формулу, заданы, следует записать саму формулу с оператором вычисления, который вводится символом = .

Переменные в MathCad могут быть ранжированными (дискретными),

т.е. создавать ряды значений. Они меняются от начального до конечного значения с определенным шагом. Для задания такой переменной используется выражение:

Имя_перем.:=Нач.значение,(Нач._знач.+шаг)..Кон.знач.

Средняя часть выражения, содержащая величину шага ранжирования, может быть опущена. Тогда, если начальное значение переменной больше

18

конечного, значение шага по умолчанию равно +1, в противном случае -1. Символ .. (две нижние точки подряд) указывает на изменение переменной в заданных пределах, он вводится с клавиатуры клавишей ; (точка с запятой).

Примеры: i := 1..5 (задано 5 значений); x := 0, 0.1..2 (задано 21 значение).

Винтегрированной среде MathCad существует несколько

предопределенных системных переменных. У них есть имена и значения,

присваиваемые системой по умолчанию. Эти переменные заданы глобальным образом и доступны в любом месте рабочего листа. К ним относятся:

TOL – погрешность числовых расчетов (значение по умолчанию

0.001);

CTOL – погрешность для условий ограничения при решении задач оптимизации (значение по умолчанию 0.001);

ORIGIN – нижняя граница значения индекса векторов и матриц (значение по умолчанию 0).

Всистеме MathCad имеется большой набор встроенных стандартных функций, которые определены в самой системе и готовы к использованию.

Кним относятся элементарные функции: показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные геометрические, гиперболические, обратные гиперболические, функции комплексного аргумента, например: exp(x), ln(x), tan(x), atan(x). Наряду с ними MathCad

содержит ряд встроенных специальных математических функций, в частности, функции Бесселя, гамма-функция, полиномы Функции задаются своим именем и значением аргументов в круглых скобках. Для расширения возможностей системы в MathCad можно вводить новые функции, нужные для пользователя. Они называются пользовательскими и вводятся в виде:

занимает на рабочем листе определенную область прямоугольной формы. Блоки выполняются строго поочередно с просмотром их слева – направо и сверху – вниз. Это объясняется тем, что входной язык MathCad является интерпретатором, поэтому в ходе работы блоки просматриваются в заданном порядке, распознаются, компилируются и исполняются. Таким образом, расположение блоков в документе является очень важным аспектом работы. Например, при формульных вычислениях в самом начале должны исполняться блоки, задающие значения входных переменных, а

19

затем блоки, содержащие формулы. При построении графика функции или таблицы ее значений вначале должны исполняться блоки, задающие саму функцию и пределы изменения аргумента, а затем блок, задающий вывод таблицы или построение графика функции. Блоки можно перемещать по рабочему полю документа.

Использование массивов в MathCad

Массивом называется упорядоченная совокупность числовых или символьных элементов. В MathCad различают одномерные массивы – векторы и двумерные – матрицы. Массивы в системе MathCad задаются с помощью имен. Расположение элементов массивов указывается с помощью нижних индексов: для вектора – один индекс, для матрицы – два. Нижняя граница индексов задается системной переменной ORIGIN, принимающей значения 0 или 1 (по умолчанию оно равно 0). Индексы могут иметь только целочисленные значения. Таким образом, обычно элементы вектора V обозначаются Vi (где i = 0,1,2,…N-1; N – число элементов), а элементы матрицы W обозначаются Wi,j (где i = 0,1,2,…M-1; j = 0,1,2,…N-1; M –

число строк, N – число столбцов). Если M=N, то матрица называется квадратной N–го порядка, если же M N, то матрица называется прямоугольной.

Для ввода нижнего индекса используется знак прямой открывающей скобки [ . Обозначение отдельных столбцов матрицы производится с помощью верхних индексов, для записи которых используется сочетание клавиш Ctrl+6. На экране верхний индекс отображается в угловых скобках. Для выхода из поля индексов используется клавиша пробела.

Для ввода массивов в MathCad можно использовать различные способы: ввод элементов; заполнение пустых полей шаблонов; считывание данных из файлов.

Ввод элементов массивов выполняется путем задания значений индексированных переменных. При этом после имени переменной массива для указания подстрочных индексов вводится знак открывающей квадратной скобки.

Ввод массивов с помощью шаблонов производится с помощью команды меню: Insert-Matrix (Вставка-Матрица) либо с помощью комбинации клавиш Ctrl+M, либо с помощью вызова палитры векторов и матриц (Vector and Matrix Pallete). В любом случае на экране появляется диалоговое окно, в котором надо указать размер матрицы: число строк - M и число столбцов - N. Для ввода вектора один из этих параметров должен быть равен 1. При M = 1 будет введен вектор-столбец, а при N = 1 вводится вектор-строка. Полученный шаблон массива последовательно заполняется

20