Правовая статистика. Учебное пособие-1
.pdfвеличины, которая становится все более точной по мере того, как некий параметр приближается к предельному значению.
Асимптотические формулы же в свою очередь представляют собой не что иное, как связывание более сложной функции с меньшей функцией при учете того, что аргументы либо большие, либо малые. Это чисто математическое понимание асимптотических формул. Нам же следует разобраться, какое значение данные формулы имеют для статистики (в том числе правовой статистики), и определить сферы их применения в данной области науки.
Обычно на практике для того, чтобы провести обработку исследуемой информации, в том числе правового характера, первоначально строится статистическая модель. Так осуществляется переход от реальности к статистико-математической плоскости.
Когда необходимо полученные в результате стадии наблюдения выводы перенести на более широкую совокупность (предположим, осуществить прогноз роста преступности), прибегают к помощи вероятностно-статистической модели. Независимо от пути решения поставленных задач и выбора модели это лишь ориентировочно отвечает реальной ситуации. С помощью асимптотических формул данная задача сводится к желаемому максимуму.
При помощи асимптотических формул в статистике определяются функции распределения, обозначаемого через F(x). Говоря иначе, прямое назначение асимптотических формул заключается в том, чтобы установить распределение вероятностей.
При статистическом определении функции распределения решаются следующие задачи:
1)существует неизвестный закон распределения F(x);
2)на основе этого закона осуществляется n независимых наблюдений;
3)на основе данных наблюдений формируется и составляется эмпирический (опытный) закон распределения Fn(x).
Далее необходимо определить, в какой степени можно по полученной ступенчатой функции говорить о виде функции F(x). Для статистики очень важно в данном случае установить максимально точную оценку уклонения Fn(x) от F(x).
Рассмотрением указанного выше вопроса занимались разные ученые. Так, вопросом о приближении функций Fn(x) и F(x) занимался В.И. Гливенко.
Первая же асимптотическая формула была выведена Н. Колмогоровым. Вклад в развитие этой проблематики также внес Н.В. Смирнов, который дает всесторонний анализ уклонения и соотношения функций Fn(x) и F(x), тем самым делая шаг вперед в изучении данного вопроса. Работы названных ученых сыграли важную роль в развитии симптоматики математической статистики.
На основе асимптотических данных разрабатываются асимптотические методы, которые применяются для исследования и изучения вероятностно-математических моделей.
37. Асимптотическая формула Пуассона
В асимптотике теории вероятностей центральное место занимает асимптотическая формула Пуассона. Факторов для ее применения несколько. Во-первых, формула Бернулли (которая в свою очередь также имеет широкий спектр применения и считается одной из наиболее распространенных) при проведении большого количества опытов n приводит к весьма громоздким и не очень удобным вычислительным процессам. Поэтому для облегчения вычислений встала необходимость применения более приближенной, но менее усложненной формулы, получаемой из биномиального распределения. В случае, когда для какого-либо исследования, в том числе в правовой сфере, требуется проведение большого числа независимых экспериментов (опытных действий), а вероятность успеха в каждом конкретном опыте ничтожно мала, необходимо прибегать к помощи асимптотической формулы Пуассона. Данная формула дает нам возможность без сложных и громоздких
расчетов выявить степень вероятности Pn (k), что из общего количества проведенных независимых опытов n количество опытов, носящих характер успешных, будет равно k. Суть формулы Пуассона заключается в следующем: формула Пуассона представляет собой асимптотику биномиального распределения, при этом количество проводимых опытов, т.е. n >> 1, тогда вероятность успеха в каждом конкретном опыте будет выглядеть следующим образом: p << 1, поскольку: λ = np << n.
Далее обратимся к выводу формулы Пуассона из λ = np << n и подставим ее в формулу Бернулли. Таким образом, мы получаем:
Pn (k) = |
|
n! |
æ |
λ |
ö |
k æ |
|
|
λ ö n− k |
|
|
n(n - 1) (n - k + 1) |
æ |
λ ö |
k æ |
|
λ ö |
n− k |
||||||
|
|
|
ç |
|
÷ ç |
1- |
|
÷ |
|
|
= |
|
|
|
ç |
÷ |
ç |
1- |
÷ |
= |
||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
k! |
|||||||||||||||
|
|
|
k!(n - k)!è |
ø |
è |
|
|
n ø |
|
|
λ ö n− k |
è |
n ø |
è |
|
n ø |
|
|||||||
= |
λ k |
[1(1- |
1 |
) (1- |
|
k - 1 |
æ |
1 |
- |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
)]ç |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
k! |
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
è |
|
|
n ø |
. |
|
|
|
|
|
|
||
При n >> 1 наивероятнейшее число k0 распределения Бернулли равно k0 = np, а согласно k0 << n. Это означает, что Pn(k) имеет существенные значения только при k << n, а с увеличением k вероятность
Pn(k) 0.
Поэтому, полагая в k << n, получаем:
Pn (k) » λkk! (1- λn )n (1- λn )− k .
Разложим в ряд Тейлора функцию ln(1 + x) при малом х:
ln(1+ x) = x - |
1 |
x |
2 |
+ |
1 |
x |
3 |
- |
2 |
|
3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
. |
Используем эту формулу для преобразования выражения:
ln(1− λn )n = nln(1− λn ) = n(− λn − 12 λn22 + ) = − λ −
Оставляя здесь только первое слагаемое, получим:
n
1ne−λ.
Аналогично рассмотрим:
1 λ 2 |
+ |
|
2 n |
||
. |
ln(1− |
λ |
) |
− k |
= − k(− |
λ |
− |
1 λ 2 |
+ ) ≈ 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
n |
|
n |
2 n2 |
||||||
|
|
|
|
|
. |
||||
Подставим в формулу, тогда:
P(k)k!e−λ, λ = np, k = 0,1,...,n.
Данное равенство имеет название «асимптотическая формула Пуассона», или «распределение Пуассона».
Отметим, что асимптотику можно рассматривать в пределе при n → ∞ и p = λ/n → 0 ,
где λ не зависит от n. Тогда: |
λ k |
|
||
P(k) = lim P (k) = |
e− λ |
|||
|
||||
n→ ∞ |
n |
k! |
, k = 0,1,... |
|
|
||||
Распределение вероятностей удовлетворяет условию:
∞ |
|
|
|
∞ |
λ k |
= e− λ eλ = 1 |
|
|
å P(k) = e− λ å |
k! |
. |
||||||
k = 0 |
|
k = 0 |
|
31 |
||||
|
|
|
|
|||||
Таким образом, выводится асимптотическая формула Пуассона: |
||||||||
p |
n |
k = |
λk e−λ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
k! |
|
|
|
|
||
Заслуга |
указанной |
выше |
формулы состоит в том, что при ее использовании |
|||||
появляется возможность определить вероятность к возникновения успеха при n количестве независимых опытов.
38. Простейший (пуассоновский) поток событий
В теории вероятности принято считать формулу Пуассона математической моделью простейшего потока событий. Прежде всего следует отметить, что поток событий — это случайная последовательность каких-либо событий, ограниченная определенными временными рамками. В данном случае момент времени носит случайный характер.
Для того чтобы поток был признан простейшим, Пуассон говорит о наличии в нем следующих свойств: стационарность, ординарность и отсутствие последствия.
Для уяснения смысла данного вопроса раскроем каждое свойство простейшего потока в понимании Пуассона.
Стационарность потока предполагает, что вероятность появления k событий на какомлибо участке длины t не зависит от начала его отсчета, но зависит от его длины. Отсюда следует, что среднее число событий, которые возникают в единицу времени (т.е. интенсивность потока), является постоянной величиной (стационарной).
Ординарность потока говорит о том, что данные события в его рамках появляются не группами, а одиночно. Иначе говоря, вероятность того, что появится более одного события за маленький промежуток времени, очень мала, в отличие от вероятности появления единичного события в этот период.
Свойство отсутствия последствия означает, что вероятность появления k событий на каком-либо участке длины t не находится в какой-либо зависимости от того, сколько событий возникло на другом участке, который не пересекается с этим участком (например, поток людей, которые только что вошли в магазин, не зависит от потока людей которые его покинули час назад, и т.д.). Отсюда следует, что «будущее» не пересекается с «прошлым», и наоборот.
39. Повторение опытов
Принцип повторения опытов имеет большое значение в математической статистике и теории вероятностей.
Понятие независимости может распространяться не только на события, но также и на сами опыты, эксперименты. А именно независимыми будут признаны опыты в случае, если вероятность какого-либо исхода каждого из этих опытов не зависит от исходов, т.е. результатов, остальных опытов.
Вопрос независимости опытов отражен в ряде теорем. Так: «если производится количество независимых опытов — n, в каждом из опытов событие А возникает с равной
31Выск Н.Д. Конспект лекции по теории вероятностей и математической статистике. М. МАТИ-РГТУ. Каф. «Высш. мат.», 2003.
вероятностью р, тогда вероятность того, что событие А появится ровно m раз, и устанавливается с помощью формулы (формула Бернулли)»:
Pn m =Cmn pm qn−m .
Применение формулы Бернулли возможно, когда количество проводимых опытов сравнительно невелико, но вероятности появления, напротив, велики.
При рассмотрении вопроса о повторении опытов целесообразно сказать также о применении формулы Пуассона. Она применяется, если число опытов стремится к 0, вероятность возникновения события А в каждом конкретном опыте p стремится к 0, необходимо определить вероятность появления события А равна m раз, применяют формулу:
Pm= am e−a , при этом a = nxp. m!
Если же количество экспериментов достаточно велико, но не является бесконечным, а вероятность появления события А в каждом конкретном эксперименте не стремится к 0, тогда следует применять локальную и интегральную теорему Лапласа. Суть локальной теоремы Лапласа: «Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А равна р, причем 1 > р >0, то это событие наступает ровно m раз, приблизительно равна»:
Pn m = |
1 |
|
|
|
|
ϕ x , |
|||
|
|
|
|
|
|||||
npq |
|||||||||
|
|
−x2 |
, |
||||||
|
1 |
|
|
|
|||||
ϕ x = |
|
e2 |
........ x= m−np |
||||||
|
|
|
|||||||
|
2π |
|
|
|
|
mpq |
|||
Интегральная теорема Лапласа: «Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А равна р, причем 1 > р > 0, то событие А наступит не менее m1 раз и не более m2 раза, приблизительно равно»:
Pn m1≤m≤m2 =ϕ x2 −ϕ x1 ,
1 |
|
|
∫e |
−x2 |
m −np . |
|||
|
|
2 |
|
n |
||||
ϕ x = |
|
|
|
|
dx ........ xn= |
|
|
|
|
|
|
|
mn pq |
||||
2π |
|
|
||||||
40. Случай постоянных условий опыта
«Случай», «случайное событие» является неотъемлемой стороной повседневной жизни. Со случайными событиями мы сталкиваемся повседневно и повсеместно. Приведем такой простой пример, как внезапный дождь в солнечный летний день либо совершенно случайная встреча. При помощи теории вероятности и математической статистики человек получает возможность в какой-то мере контролировать случайность в нашей жизни. Люди, хотя и неосознанно, но готовы к наступлению случайного события, т.е. допускают возможность его появления. Так, например, каждый раз, возвращаясь домой в позднее время, люди часто носят газовый баллончик, т.е. они допускают возможность наступления противоправного действия в отношении них, и т. д.
В теории вероятностей и математической статистике под случаем понимается случайное событие. Необходимо отметить, что отличительной, характерной чертой события как такового является тот факт, что оно неподвластно воли лица и не зависит от его желания о наступлении либо ненаступлении.
Под событием в общем виде принято понимать такой факт, который либо может произойти, либо не произойти при определенном испытании. Также можно заметить, что один и тот же результат испытания может произойти с различной степенью возможности. Таким образом, в некоторых ситуациях можно говорить, что вероятность того, что какоелибо событие произойдет, очень большая, а другое событие произойдет маловероятно. Исход
же случайных событий предугадать практически невозможно. Можно лишь определить его вероятность при конкретных условиях опыта.
Для правовой статистики случай имеет большое значение. Имея определенный набор условий правового характера, можно определить вероятность случайного развития событий. На основе такого исследования строится дальнейший план, что способствует предотвращению нежелательных последствий и минимизации ущерба и урона в это сфере. Вопрос случая при постоянных условиях опыта нередко звучит как опыт со случайным исходом. Обе формулировки легальны и тождественны между собой. Таким образом, при варьировании результата опытных действий, но фиксированных условиях говорят о присутствии случая в опыте.
Попробуем на основе формулы представить случай при постоянных условиях опыта. Для этого обозначим постоянные условия опыта через U. Условия опыта характеризуются свойством постоянности, т.е. они неизменны и фиксированы. Опыт (эксперимент, испытание) обозначим через G. Допустим, что при неизменных условиях испытания (U) оно
(G) может быть проведено неограниченное количество раз, при этом, когда опыт повторяется (условия его фиксированы), его итоги могут быть различными. Значит, имеет место испытание со случайным исходом.
Основная особенность, отличие таких испытаний от остальных заключается в том, что его итог непредсказуем. Наряду со сказанным случай постоянных условий опыта влияет на динамику нерегулярных исходов, несмотря на то, что испытание выполняется при одинаковых условиях. Комплекс фиксированных условий представляет собой множество факторов. При каждом испытании существует множество побочных факторов, условий, которые взять под контроль практически не представляется возможным.
В теории вероятности и математической статистике приводят несколько хрестоматийных примеров случая постоянных условий опыта (опыта со случайным исходом).
Пример
1.Бросание монеты. Здесь результат каждого опыта — это выпадение герба, или обратной стороны монеты — решки. Таким образом, всего имеется два возможных исхода опыта.
Всякий результат эксперимента со случайным исходом в теории вероятностей принято называть событием (или случайным событием). Поэтому в данном эксперименте результатами являются случайное событие A — выпадение герба при бросании монеты и событие B — выпадение «решетки».
2.Бросание игральной кости. Игральная кость — это кубик из однородного материала, шесть граней которого перенумерованы числами от 1 до 6. Здесь в качестве
результата эксперимента можно рассматривать шесть случайных событий: A1 — выпадение грани с номером 1, ... , А6 — выпадение грани с номером 6. Однако в данном случае не обязательно исходом эксперимента считать выпадение одной из шести граней. Можно, например, условиться, что эксперимент имеет не шесть, а лишь три исхода: событие А — это выпадение любой из грани с номером 1, 2 или 3, В — выпадение одной из граней с номером 4 или 5 и, наконец, C — выпадение грани с номером 6. Но и в этом случае
удобно выделить события Ai — выпадение грани с номером i, а все остальные события описывать через Ai. Дело в том, что события Ai в данном опыте являются самыми простыми или, как говорят, элементарными. Кроме того, ни один из элементарных исходов
Ai, i = 1, ... , 6 нельзя считать более предпочтительным или более вероятным, чем другой. Поэтому каждому элементарному исходу естественно приписать одинаковую вероятность 1/6.
3.Стрельба по мишени. Пусть мишень состоит из центрального круга и 9 концентрических колец. В данном случае результат опыта — это одно из событий:
попадание в круг, попадание в любое из 9 колец или мимо мишени; всего 11 случайных событий.
4.На отрезок [a, b], длины b—a наугад случайным образом бросается точка. В качестве исхода опыта можно взять событие A, состоящее в том, что точка попадет на отрезок [α, β], содержащийся в [a, b].
5.На отрезок [a, b], длины b—a наугад случайным образом бросаются 2 точки. Такой опыт эквивалентен тому, что на квадрат [a, b] x [a, b] бросается наугад одна точка. В данном случае результат опыта — это попадание точки в заданную область S из квадрата [a, b] x [a, b]32.
41. Вероятность возникновения хотя бы одного события
Определение вероятности возникновения хотя бы одного события имеет большое значение не только для общей теории статистики, но и для правовой статистики в частности. Это связано с тем, что вычисление такой вероятности дает возможность начального прогноза развития правовых событий. Вероятность наступления хотя бы одного события, носящего юридически значимый характер, является сигналом либо положительной, либо отрицательной «окраски».
Получение таких данных положено в основу разработки дальнейшей программы по контролю за правовой сферой и, как следствие, минимизации негативных последствий в дальнейшем. Для того чтобы определить вероятность наступления хотя бы одного из событий, в теории вероятностей и математической статистике существует соответствующая теорема. Допустим, что все события носят независимый характер, обозначим их через А1, А2, …, Аn. Терема вероятности появления хотя бы одного события звучит следующим образом: «Вероятность появления хотя бы одного из независимых событий А1, А2, … , Аn равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий Ā1, Ā2, …, Ān». Отсюда следует, что вероятность появления хотя бы одного события можно вычислить по следующей формуле:
Р(А) = 1 – Р(Ā1) × Р(Ā2) × … × Р(Ān).
Из указанной выше формулы возникает следствие: «Если события А1, А2, … , Аn имеют одинаковую вероятность, равную p, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий определяется по формуле (q – вероятность возникновения противоположного события):
Р(А) = 1 – qn.
Использование данных этой теоремы и ее формул в правовой статистке возможно на основе следующего примера. Допустим, что совершена кража бытовой техники из магазина. В ходе расследования преступления у следователя имеются три подозреваемых в данной краже, но прямых доказательств у него нет. Вероятность того, что кто-либо из подозреваемых находился в момент совершения кражи на месте преступления, равна 0,8 (это число выведено на основе соответствующих доказательств). Необходимо определить вероятность того, что кражу совершил хотя бы один из имеющихся подозреваемых. Обозначим через А виновность подозреваемого, тогда Ā — невиновность подозреваемого, отсюда получаем:
p + q = 1, q = 1 – p = 0,2, Р(А) = 1 – qn = 1 – 0,23 = 0,992.
Таким образом, мы получаем, что вероятность того, что хотя бы один из подозреваемых находился на месте преступления в момент кражи, равна 0,992. На основе этих данных следователь будет далее выстраивать версии.
42. Случайные величины
32Чернов Н.И. Теория вероятностей и математическая статистика М. 2004
Прежде чем говорить о случайной величине как таковой, необходимо отметить, что опыт (испытание) — это не что иное, как всякая реализация конкретных условий или ряда каких-либо действий, при которых происходит наблюдение исследуемого случайного явления. Опыт дает как качественную, так и количественную характеристику исследуемых случайных явлений. Вопросу случая и его влиянию на конечный исход в праве посвящено множество статей и публикаций. Случай (казус), безусловно, важен в правовой статистике. Следовательно, прежде чем говорить о его роли и значении в праве, необходимо обратиться к истокам его природы. Речь идет о рассмотрении случая (случайных величин) с вероятностной точки зрения.
Случайная величина ― это термин, который получил широкое распространение в теории вероятностей и используется в вероятностно-статистических методах. Понятие случайной величины наряду с понятием события и вероятности является основой теории вероятности и математической статистики.
Сущность случайной величины заключается в том, что ее значение целиком зависит от случая, под которым понимается элементарное событие. Величина будет случайной только тогда, когда вследствие испытания (опыта) будет получаться такое значение, которое заранее не может быть известно. Говоря математическим языком, случайная величина — это функция, которая расположена на пространстве элементарных событий. Примером случайной величины может служить то число, которое выпало на верхней грани игрального кубика, и другие аналоги.
Случайные величины в теории вероятности обычно обозначают X, Y, Z, а соответствующие данным величинам значения — x, y, z.
В теории вероятности существуют следующие случайные величины: дискретные и непрерывные. Дискретные случайные величины — это такие величины, для которых характерно установление отдельного значение. Такое значение носит конечный характер. Но такое значение в дальнейшем можно подвергнуть переоценке. Непрерывные случайные величины представляют собой возможное значение, впоследствии заполняя собой определенный диапазон, и множество значений такой случайной величины несчетно.
На практике нередко имеет место смешанный тип случайной величины, которому присущи признаки как дискретности, так и непрерывности.
Законом распределения случайных величин считается установление взаимосвязи между возможным значением случайной величины и ее вероятностью наступления.
43. Скалярные и векторные случайные величины
Случайные величины находятся в прямой взаимосвязи со случаем, поэтому принимают разнообразные значения с обусловленной вероятностью. Случайные величины имеют весьма различный характер. Наряду с делением на дискретные и непрерывные случайные величины могут быть также векторными и скалярными.
Понятие скалярных величин было разработано Евклидом еще в III в. до н.э. и подробно изложено в его работе «Начала». Он четко закрепляет свойства, которые являются характерными для данных величин. Такое понятие величины представляет собой некое обобщение для определенных понятий, таких как масса, площадь, длина, объем и т.д. Все «не скалярные» случайные величины в общем смысле слова принято именовать векторными случайными величинами.
Векторные величины носят характер многомерности. Векторные случайные величины можно наблюдать при совместном исследовании двух случайных величин. В этом случае случайные величины определяют как точку на плоскости либо как составляющую
случайного вектора.
Если случайные векторные величины обозначить как X, Y, Z, число случайных событий — n, тогда можно построить совокупность случайных величин. Таким образом, получаем совокупность случайных величин x1( ), x ( ),.., x ( ), заданных на пространстве элементарных событий. Данные величины можно объединить как одну векторную, случайную величину:
XT(ω) = [x1(ω),...,xn(ω)].
Следует обратить внимание на то, что векторная случайная величина может принимать такие значения, которые непосредственно зависят от элементарного события.
В теории вероятности и математической статистике случайную многомерную величину рассматривают как вектор-функцию, которая расположена (задана) на каком-либо пространстве элементарных событий. Каждое значение такой многомерной случайной величины представляет собой вектор.
Как скалярные, так и векторные случайные величины напрямую зависят от такого скалярного параметра, как время, пространство и т.д.
44. Распределение случайной величины
Совокупность всех значений, которые может принимать случайная величина, и ее вероятностей именуется в теории вероятности распределением случайной величины.
Поскольку случайная величина ― это некая функция, которая определена на пространстве элементарных событий Ω, то распределение случайной величины тогда представляется как функция, которая дает конкретное определение вероятности того, что случайная величина принимает заданное значение либо принадлежит к некоторому заданному интервалу. Используя функцию распределения случайной величины, мы получаем возможность применять общий способ задания разнообразных типов случайных величин, не применяя в каждом случае индивидуальный подход. Это очень облегчает исследование.
Втеории статистики для распределения случайной величины используют функцию, обозначаемую F(x), где х ― действительное число. Функция распределения случайной величины находит вероятность того, что случайная величина Х по итогам эксперимента примет значение, которое будет меньше х. Таким образом, мы получаем формулу вычисления функции распределения случайной величины:
F(x) = P(X < x).
Втеории вероятности и математической статистике такую функцию принято называть интегральной (либо интегральным законом распределения). Данная функция является одной из форм закона распределения. Она применяется как к дискретным, так и к непрерывным величинам, но соответственно с рядом отличий, которые учитываются при определенном виде случайной величины. Так, для дискретной случайной величины функция распределения рассчитывается по формуле:
Fx = ∑ P X=xi .
xi <x
Интегральной функции присущи следующие свойства:
1) значения функции распределения принадлежат отрезку [0, 1]:
0 ≤ F(x) ≤ 1;
2)F(x) – неубывающая функция:
F(x2) ≥ F(x1) при x2 ≥ x1;
3)вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в
интервале (a, b), равна приращению функции распределения на этом интервале:
P(a ≤ X ≤ b) = F(b) – F(a);
4)на минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности функция распределения равна единице;
5)вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю.
Таким образом, не имеет смысла говорить о каком-либо конкретном значении случайной величины. Интерес представляет только вероятность попадания случайной величины в какой-либо интервал, что соответствует большинству практических задач33.
Нередко функция распределения случайной величины изображается при помощи графического способа, т.е. посредством построения графика. Данный способ характерен для правовой статистики, поскольку помогает наглядно представить исследуемую информацию. Для дискретной случайной величины график будет выступать в виде ступенчатого рисунка со скачками. Непрерывная случайная величины будет представлена в виде кривой, которая изменяется в границах от 0 до 1.
45. Дискретная случайная величина
Как известно, в теории вероятности и математической статистике существует основное деление случайных величин на дискретные и непрерывные. Дискретной является случайная величина в том случае, когда в итоге эксперимента (опыта) она примет значение из конечного либо счетного множества всех возможных числовых значений. Иными словами, дискретность величины проявляется в результате опыта, когда она принимает определенное значение с определенной вероятностью, образуя тем самым некое счетное множество. Счетным множество является, при котором каждому из его элементов может быть присвоен порядковый номер. Счетное множество может быть как конечным, так и бесконечным. В качестве примера можно привести некое количество выстрелов до того, как стрелок попадет в цель впервые. В этом примере речь идет о дискретной величине, поскольку данная случайная величина может иметь бесконечное, несмотря на то, что число значений является счетным.
Вероятностное пространство дискретной случайной величины обозначается следующим образом:
X={x1 ,x2 ,...,xn }, где n — конечное либо бесконечное. p1 ,p2 ,... ,pn
46. Распределение дискретной случайной величины
Распределение дискретной случайной величины, часто именуемое дискретным распределением, представляет собой не что иное, как распределение случайной величины, если она принимает какое-либо счетное значение. Как известно, существуют дискретные и непрерывные случайные величины, соответственно способы, при помощи которых производится распределение, также различны. Так, для непрерывных случайных величин обычно используется равномерное показательное, экспоненциальное и нормальное распределение. Для определения распределения дискретной случайной величины применяют биномиальное распределение, а также распределение Пуассона. Нас интересует распределение, которое используется в отношении дискретных величин.
Биномиальное распределение представляет собой такой вид распределения случайной дискретной величины, в результате которого определяется число появления какого-либо
33Ларин А.А. Курс высшей математики (курс лекций). М. 2000.
события в n экспериментах, с учетом того, что вероятность появления события в каждом конкретном опыте постоянна. Иными словами, если осуществляется количество независимых опытов, равное n, в каждом из каких опытов, событие А может появиться с равной вероятностью р в каждом конкретном из испытаний (опытов), то вероятность того, что событие не появится, равна q = 1 – p. Число появления события А в испытаниях n обычно обозначается через Х.
Для того чтобы вычислить именно числовое значение характеристик, в данном виде распределения необходимо применит вероятность, которая вычисляется по формуле Бернулли. Таким образом, мы получаем:
n
M [ x ]=∑ xi Pi , D[x] = npq.
i=1
Биномиальное распределение вычисляется по формуле:
Pn m =Cmn pm qn−m .
При этом высчитывается сумма вероятностей, которая в теории вероятности и математической статистике именуется бином Ньютона, по следующей формуле:
C0n p0 qn +Cnn p1 qn−1 +Cnn pn q0= 1+q n=1. .
Обычно в учебной и научной литературе приводят следующие примеры биномиального распределения.
«В партии 10 % нестандартных деталей. Наугад отобраны 4 детали. Написать биноминальный закон распределения дискретной случайной величины Х — числа нестандартных деталей среди четырех отобранных и построить многоугольник полученного распределения.
Вероятность появления нестандартной детали в каждом случае равна 0,1. Найдем вероятности того, что среди отобранных деталей:
1) Вообще нет нестандартных
P4 0 =0 !4 !4 ! 0,10 0,94=0,6561 ; 2) одна нестандартная:
P4 1 = |
4! |
|
1 |
3 |
|
|
0,1 |
0,9 |
|
=0,2916 ; |
|
1! 3! |
|
3) две нестандартные детали:
P4 2 = 2 4! !2 ! 0,12 0,92=0,0486 ;
4)три нестандартные детали:
P4 3 = 34! !1! 0,13 0,91=0,0036 ;
5)четыре нестандартных детали:
P4 |
4 = |
|
4 ! |
0,14 0,90=0,0001 . |
|
4 |
! 0 ! |
||||
|
|
|
Также следует обратить внимание на другой предмет: 2 игральные кости одновременно бросают 2 раза. Написать биноминальный закон распределения дискретной случайной величины Х ― числа выпадений четного числа очков на двух игральных костях.
Каждая игральная кость имеет три варианта четных очков ― 2, 4 и 6 из шести возможных, таким образом, вероятность выпадения четного числа очков на одной кости равна 0,5.
Вероятность одновременного выпадения четных очков на двух костях равна 0,25. Вероятность того, что при двух испытаниях оба раза выпали четные очки на обеих
костях, равна:
P2 2 =0!2!2! 0,252 0,750=0,0625 .