Правовая статистика. Учебное пособие-1
.pdfявляются тем каркасом знаний, на основе которых осуществляется дальнейшее формирование науки. Отсюда следует, что аксиоматизация какой-либо теории — это не что иное, как итоговый набор аксиом.
Теория вероятности, которая является математической дисциплиной, должна отвечать ряду требований, которые применяются к данным дисциплинам, в частности требованию об аксиоматизации. Требование об аксиоматизации означает, что после того, как изучаемые и исследуемые объекты получили свои названия, очерчен круг проблем, которые рассматриваются в рамках данной дисциплины (т.е. определен ее предмет), выделены основные отношения, обозначены аксиомы, которые подчиняют данные отношения, последующее изложение научных данных должно быть основано на обозначенных аксиомах.
Аксиоматизация может быть проведена при помощи различных способов, например в отношении выбора аксиом, выбора основных понятий или соотношений данных понятий. Научные знания базируются на аксиомах.
Аксиоматический метод имеет невероятную ценность для систематизации и детальной разработки научного знания в какой-либо области. Применение аксиоматического метода является вполне оправданным в области теории вероятности.
Аксиоматика теории вероятности призвана сформировать определенный комплекс аксиом, которые регламентируют основные вопросы области исследования. Только в случае, когда такая система сформирована, можно говорить о законченности процесса аксиоматизации.
Использование аксиоматического метода в математической статистике позволяет оперировать понятиями и находить применение математическому материалу, делая полученную информацию более сложенной и логичной.
Проблема аксиоматизации теории вероятностей была затронута еще Д. Гильбертом и впервые упомянута в его работе «Математическое изложение основ физики»: «С исследованиями по основаниям геометрии близко связана задача об аксиоматическом построении по этому же образцу тех физических дисциплин, в которых уже теперь математика играет выдающуюся роль: это в первую очередь теория вероятностей и механика. Что касается аксиом теории вероятностей, то мне казалось бы желательным, чтобы параллельно с логическим обоснованием этой теории шло рука об руку строгое и удовлетворительное развитие метода средних значений в математической физике, в частности в кинетической теории газов…».
Применяя аксиоматический подход к теории вероятности, можно рассматривать теорию вероятностей и математически статистику как часть математики со всеми «вытекающими последствиями». Особый вклад в развитие и внедрение данного метода внес отечественный академик А.Н. Колмогоров. Он разработал ряд аксиом применительно к теории вероятности:
1)аксиома I (алгебра событий);
2)аксиома II (существование вероятности событий);
3)аксиома III (нормировка вероятности);
4)аксиома IV (аддитивность вероятности).
На сегодняшний день данная система аксиом является общепризнанной и служит основой теории вероятности. Таким образом, аксиоматика теории вероятностей представляет собой строгую систему аксиом:
1)построение вероятностного пространства;
2)теорема о продолжении меры;
3)определение вероятностного пространства;
4)классическое определение вероятности;
5)условная вероятность;
6)независимые события;
7)формула сложения вероятностей;
8)формула полной вероятности;
9)формула Байеса;
10)композиции испытаний;
11)биномиальное распределение;
12)случайная величина и т.д.
24. Теорема сложения вероятности несовместных событий
Следует иметь в виду, что теоремы для сложения вероятностей различны в зависимости от того, является ли данное событие для несовместным, либо совместным.
Для начала следует рассмотреть понятие «несовместные события». Несовместные события ― это такие события, которые никогда не произойдут в итоге одного, конкретного испытания (эксперимента), т.е. появление одного из них полностью исключает возможность появления другого в рамках единого опыта.
В статистике применяется теорема сложения вероятностей несовместимых событий. В данной теореме используются обозначения: событие А, событие А, сумма событий А и Б ― А
U В.
Данная теорема такова: вероятность суммы двух несовместных событий будет равна сумме вероятностей этих событий (например, если из ружья произведены два выстрела и А ― попадание в цель в результате первого выстрела, В — попадание в цель в результате при второго выстрела, то А + В ― попадание при первом выстреле, или при втором, или в обоих случаях).
Ниже представлена формула сложения вероятности несовместных событий:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В).
Из теоремы сложения вероятности несовместных событий можно вывести следующее следствие: «Когда события В1, В2………Вn (в том числе юридического характера) образуют некую полную группу событий несовместного характера, сумма будет равна единице», а именно:
n
∑ P Ai =1 .
i=1
25. Теорема сложения вероятностей совместных событий
Прежде чем раскрывать содержание теоремы сложения вероятностей совместных событий, следует отметить, что такое совместные события. Так, в теории вероятности совместными событиями именуются такие случайные события, которые могут произойти в результате одного испытания, при этом возникновение одного из таких событий не исключает появление другого.
Сущность теоремы сложения вероятностей совместных событий заключается в следующем: вероятность суммы двух совместных событий будет равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
Р(А) + Р(В) = Р(А) + Р(В)-Р(А x В). Необходимо помнить, что Р — вероятность.
Следует иметь в виду, что события A и B могут быть как независимыми, так и зависимыми. Для независимых событий применяется следующая формула:
P (A + B) = P (A) + P(B)-P(A)·P(B).
Для событий, носящих зависимый характер, используется формула:
P (A + B) = P(A) + P(B)-P(A)·P(A|B).
26. Противоположные события
Противоположные события являются одним из видов событий, которые используются в математической статистике. Противоположные события применяются также и в правовой статистике.
Важность понятия «противоположные события» заключается в том, что, прибегая к нему, в теории вероятности определяют количественную оценку возможности возникновения того или иного явления. Следовательно, для правовой статистики понятие «противоположные события» является немаловажным, поскольку с его помощью определяется количественная сторона возникновения преступлений и других юридически значимых явлений. Прежде чем говорить о противоположных событиях, следует сказать о несовместных событиях, в которые в свою очередь входят противоположные события. Следовательно, эти понятия неодинаковы. Несовместные события обладают более широким объемом. Несовместность событий заключается в том, что при появлении одного из них вероятность появления другого исключается.
Когда говорят о нескольких событиях, имеется в виду, что они образуют некую полную группу (при условии, что по итогам опыта должно произойти хотя бы одно из них).
Вслучае, если два несовместных события образуют такую полную группу, они именуются противоположными. В теории вероятности отмечается, что противоположным будет событие А по отношению к событию В при условии, что А не произойдет, когда произойдет В.
Вотношении противоположных событий существует и применяется следующая теорема: «Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления» и рассчитывается по формуле:
Р(А +В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).
27. Операции над событиями
Событием является итог, результат какого-либо испытания над исследуемыми явлениями. В общей теории статистики над событиями проводят ряд операций. Данные операции могут проводиться над событиями, которые носят юридический характер.
1. Сложение событий. Так, событие С будет называться сложением (суммой) А + В только в том случае, если оно будет состоять из элементарных событий (т.е. определенный результат испытания), который входит в событие А и событие В. При такой ситуации событие, которое входит в А и Б, будет входить в событие С только один раз. Отсюда следует, что итогом испытания будет вывод о том, что событие С произойдет только тогда, когда произойдет событие, либо в А, либо в В.
Применительно к правовой статистике следует понимать, что события, которые должны произойти, носят юридически значимый характер. Например, можно за А взять нарушение правил дорожного движения водителем, следующим по дороге к перекрестку, В
— также нарушение правил дорожного движения другим водителем, следующим по иной дороге, но к тому же перекрестку. В результате таких нарушений может произойти С, т.е. дорожно-транспортное происшествие. Но вероятность дорожно-транспортного происшествия (столкновения машин на перекрестке) будет зависеть от ряда побочных фактов, итог которых выяснится в результате испытания. Аналогичным образом используются и остальные операции в правовой статистике (см. диаграмму Эйлера-Венна).
2.Произведение событий. Событие С будет являться результатом произведения (т.е. умножения) А на Б при условии, что состоит из элементарных событий, которые входят и в А, и в Б. Событий может быть произвольное число (см. диаграмму Эйлера-Венна).
3.Разность событий, т.е. процесс вычитания одного события из другого, происходит
следующим образом: если из события А, которое состоит из элементарных событий, вычисть событие В, в которое не входят события, которые входят в событие А, то результатом, будет являться событие С (см. диаграмму Эйлера-Венна.).
4. Противоположность событий. Какое-либо событие будет признано противоположным, если оно будет отвечать двум свойствам. Для этого обратимся к формуле де Моргана: A+B=A B и A B= A B (см. диаграмму Эйлера-Венна.).
5. Несовместимость событий. Несовместимость событий А и В будет иметь место, если в результате одного испытания над ними они не произошли. Несовместимость событий возникает тогда, когда А и В не имеют общих элементарных событий. Тем самым делается вывод о том, что данные исследуемые события являются несовместимыми по своему характеру. Несовместимость событий может быть выражена следующей формулой: C = A × B = V (где V ― пустое множество).
28. Частота и вероятность
С главным термином математической статистики ― «вероятность» — тесно связано понятие «частота». Обычно при вычислении какой-либо вероятности проводится ряд опытов. Нередко результатом таких эмпирических наблюдений (опыта) является повторяемость каких-либо явлений, которая носит устойчивый характер. В данном случае принято говорить о частоте вероятности. Такие закономерности были впервые выявлены и обнаружены в азартных играх, таких как «кости», различные карточные игры и т.д.
Выявление частоты вероятности наступления каких-либо явлений имеет не только сугубо статистическое значение, но и правовое. Выявление частоты наступления либо ненаступления явлений, имеющих юридическое значение, расширяет «горизонты» прогнозирования. А именно при выявлении частоты вероятности явления можно предположить тенденции его развития, а также принять соответствующие меры реагирования. Выявление частоты вероятности часто используется для контроля роста преступности в определенной административно-территориальной единице.
Для того чтобы уяснить смысл частоты вероятности, необходимо обратиться к арифметическому способу. Допустим, что А1, А2, А3…….и т.д. — это число опытов в каждой серии; В1, В2, В3….. и т. д. ― число испытаний, которые приводят к завершению событий в каждой серии. Также допустим, что в каждом конкретном опыте наступает либо не наступает событие С. Тогда для того, чтобы вычислить частоту вероятности наступления события, необходимо построить ряд частот: В1/А1, В2/А2…… и т.д. Отсюда следует, что если доля испытаний В будет неизменна (в которых появится событие С), то при конечном числе испытаний А будет выявлена определенная частота вероятности появления события. Примечательно, что чем больше будет количество проводимых опытов, тем меньше будет проявляться отклонение от частоты вероятности.
Частоте вероятности присуще такое качество, как статистическая устойчивость. Устойчивость заключается в том, что при увеличении количества опытов частота приобретает значение, которое близко к некому постоянному.
При непосредственном применении данных, полученных в результате выявления частоты вероятности, остро встает вопрос о достоверности полученных данных. Решение данного вопроса носит комплексный характер и находится за рамками теории вероятности и статистики. В каждом конкретном случае достоверность данных должна быть в дальнейшем проверена и сопоставлена с сопутствующими фактами. Если в результате испытания частота
вероятности события или явления очень мала, то принято считать, что при однократном опыте данное событие или явление не произойдет.
29. Свойства частности
Частота событий, о которой шла речь в предыдущем параграфе, обладает рядом отличительных черт, которые дают ее всестороннюю характеристику.
1. 0≤W n A ≤1 .
Суть данного свойства состоит в том, что частота испытаний всегда больше или равна нулю, т.е. частота того, что наступит событие А, в результате опыта больше, но имеется вероятность ненаступления данного события вообще. Вместе с тем частота наступления события А меньше 1 либо равна ее.
2. Частность достоверного события равна 1, т.е. Wn(U)=1.
Данное свойство характеризует частоту наступления (ненаступления события), носящего достоверный характер, равную 1. При этом под достоверными событиями принято понимать такое событие, вероятность происхождения которого в результате испытания возрастает, что, собственно, и отражает приведенная выше формула.
3. Частность суммы попарно несовместных событий равна сумме частностей.
А именно обратимся к следующей системе: Ai, i = 1, ..., k; события попарно
cSub |
{ |
size 8{i¹j} A rSub |
{ |
size 8 {i} |
} |
cdot A rSub |
{ |
size 8 { j } =V |
несовместны, т.е. |
} |
{} |
|
} |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
k |
|
k |
|
|
|
|
|
|
Событие A=∑ Ai |
W n A =∑W n Ai |
|
|
|
|
|||
i= 1 |
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
Допустим, что в итоге какого-либо эксперимента, испытания произошло событие A. Следуя определению суммы, это означает, что в данном, конкретном испытании произошло какое-либо событие Ai.
Поскольку все события обладают характером попарной несовместимости, следует,
что никакое другое событие Aj (i¹j) в данном эксперименте не может возникнуть. Следовательно:
nA = nA1 + nA2 + ... + nAk
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
nA |
|
∑ nAi |
k |
|
nAi |
k |
|
W n A = |
= |
i=1 |
=∑ |
=∑W n A . . |
||||
|
|
n |
||||||
|
n n |
i= |
1 |
i= |
1 |
|||
Указанное свойство говорит нам о том, что при сложении событий, носящих несовместимый характер (т.е. появление одного из них полностью исключает появление другого события) сумма их частостей будет им равна.
30. Условная вероятность
Вероятность обладает рядом характеризующих ее свойств, в том числе условностью. Понятие условной вероятности было введено А. Муавром в 1718 г.25.
На практике при применении положений теории вероятности (например, когда необходимо определить вероятность наступления какого-либо явления, в том числе
25Орлов А.И. Математика случая. Вероятность и статистика ― основные факты. Учебное пособие. М.: МЗПресс, 2004.
правового), когда о рассматриваемом явлении имеются дополнительные фактические сведения, говорят о применении условной вероятности. Иначе говоря, необходимо определить вероятность наступления явления А, если стало известно, что некое явление В (находящееся во взаимной связи с явлением А) уже наступило. Далее обозначим, что число всех благоприятных исходов D, тогда s ― благоприятствуют наступлению явления В.
В данном случае условной вероятностью наступления явления А (при условии, что явление В уже произошло) будет отношение благоприятствующих наступлению явления А исходов, но которые одновременно благоприятствуют и наступлению явления В. Обычно такая вероятность обозначается как Р (А/В). Если предположить что В ― это невозможное явление, тогда Р (А/В) будет равна нулю. Когда явлениям АВ благоприятствуют n исходов, тогда: Р (А/В) = n /s.
Таким образом, сущность термина «условная вероятность» заключается в том, что если произошло событие А, тогда вероятность осуществления событии В равна: Р (В/A). Следует учитывать, что в данном случае P(A) > 0 по определению.
P(B| |
A) |
P(A |
B |
) |
PA() |
|
. |
Если речь идет о независимых событиях А и В, очевидно, P(B/A) = P(B)26. Следует иметь в виду, что для того, чтобы совокупность событий была независимой в целом, попарной независимости будет недостаточно.
На практике доказать формулу условной вероятности равновероятностных событий не представляется возможным, поэтому ее следует воспринимать как правило.
В рассмотрении данного вопроса обычно в теории вероятности приводится следующий классический пример. «…Пусть одна грань тетраэдра окрашена в красный цвет, вторая ― в зеленый. Третья грань окрашена в синий цвет и четвертая ― во все эти три цвета. Пусть событие А состоит в том, что грань, на которую упал тетраэдр при бросании, окрашена красным (полностью или частично), событие В ― зеленым, событие С ― синим. Пусть при бросании все четыре грани тетраэдра имеют одинаковые шансы оказаться внизу. Поскольку граней четыре и две из них имеют в окраске красный цвет, то Р (А) = 1/2.
Легко подсчитать, что P(B) = P(C) = P(A/B) = P(B/C) = P(C/A) = P(B/|A) = P(C/A) = P(A/C) = 1/2.
События А, В и С, таким образом, попарно независимы. Однако если известно, что осуществились одновременно события В и С, то это значит, что тетраэдр встал на грань, содержащую все три цвета, т.е. осуществилось и событие А. Следовательно, Р (АВС) = 1/4, в то время как для независимых событий должно быть Р(А)Р(В)Р(С) = 1/8. Следовательно, события А, В и С в совокупности зависимы, хотя попарно независимы»27.
31. Независимость события
Понятие независимости является одним из главных понятий теории вероятности и математической статистики. Независимость в общем виде ― это такое свойство события, когда в результате операций над ним его смысл не изменится. Другими словами, существование одного события либо его отсутствие никак не отражаются на существовании либо отсутствии другого события.
Независимость лежит в основе вероятностно-статистического метода. Например, при применении статистических методов к юридической сфере независимость проявляется в следующих случаях: независимость деяний одного субъекта преступления от действий субъекта иного преступления, независимость данных, полученных в результате анализа преступности, от воли лица, которое проводит исследование, и т.д.
26Орлов А.И. Прикладная статистика. М.: Экзамен, 2004.
27Анализ нечисловой информации в социологических исследованиях (в соавторстве). М.: Наука, 1985. 220 с.
Если говорить о независимости случайных событий, то в теории вероятности она проявляется следующим образом: события (которые обозначаются А и В) будут являться независимыми, только если Р(АВ) = Р(А) Р(В)28. Отсюда следует, что независимость событий проявляется в их произведении и равна независимости каждого. Событий может быть сколько угодно, но на результат, т.е. на итог опыта (испытание), это не должно повлиять.
Таким образом, в теории вероятности принято следующее понимание независимости событий: независимыми будут являться такие события, если вероятность совместного осуществления которых равна произведению вероятностей осуществления каждого из них отдельно друг от друга.
Хрестоматийным в данном случае является пример с кубиком, который обычно приводится в учебной литературе по теории вероятности: «Опыт состоит в бросании игрального кубика, на гранях которого написаны числа 1, 2, 3, 4, 5,6. Считаем, что все грани имеют одинаковые шансы оказаться наверху. Построим соответствующее вероятностное пространство. Покажем, что события «наверху — грань с четным номером» и «наверху ― грань с числом, делящимся на 3» являются независимыми. Пространство элементарных исходов состоит из 6 элементов: «наверху ― грань с 1», «наверху ― грань с 2 «,…,» наверху ― грань с 6». Событие «наверху ― грань с четным номером» состоит из трех элементарных событий: когда наверху оказываются 2, 4 или 6. Событие «наверху ― грань с числом, делящимся на 3» состоит из двух элементарных событий: когда наверху оказываются 3 или 6. Поскольку все грани имеют одинаковые шансы оказаться наверху, то все элементарные события должны иметь одинаковую вероятность. Поскольку всего имеется 6 элементарных событий, то каждое из них имеет вероятность 1/6. По определению 1 событие «наверху ― грань с четным номером» имеет вероятность 1/2, а событие «наверху ― грань с числом, делящимся на 3» ― вероятность 1/3. Произведение этих событий состоит из одного элементарного события «наверху ― грань с 6», а потому имеет вероятность 1/6. Поскольку 1/6 = 1/2 × 1/3, то рассматриваемые события являются независимыми в соответствии с определением независимости»29.
32. Теорема умножения вероятностей независимых событий
В теории вероятности и математической статистики над событиями совершаются различные операции, в том числе и умножение события. Если говорить о теореме вероятностей независимых событий, следует обратить внимание на то, что операция совершается с независимыми событиями (т.е. появление одного из них не влияет на появление другого). Теоремы умножения вероятностей в зависимости от того, является событие зависимым либо нет, различны. Нас интересуют лишь независимые события.
Теорема умножения вероятностей независимых событий: «вероятность совместного появления нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий» и выражается формулой:
Р (АВ) = Р (А) РA (В).
Доказательство теоремы: во-первых, если применить указанную формулу к событиям ВА, то тогда мы получаем:
Р (ВА) = Р (В) РB (А).
Если сравнить обе формулы, получится следующее:
Р (А) РA (В) = Р (В) РB (А).
Если исходить из точного смысла условной вероятности, то получается, что:
РA (B) = Р (АВ) / Р (A).
28Орлов А.И. Теория принятия решений Учебное пособие. М.: Март, 2004.
29Орлов А.И. Математика случая. Вероятность и статистика ― основные факты. Учебное пособие. М.: МЗПресс, 2004.
Из этого следует, что:
Р (АВ) = Р (А) РA (В).
Таким образом, мы доказали теорему умножения вероятностей независимых событий. Если за основу брать три события, например А, В, С, то мы получаем формулу:
Р (AВС) = Р (АВ × С).
Поскольку речь идет об умножении независимых событий независимо от их числа, то в своей совокупности события А, В и С независимы. Также будут независимы АВ и С, А и В и т.д. Используя теорему умножения вероятностей независимых событий, получаем:
Р (АВ x С) = Р (АВ) Р (С) и Р (АВ) = Р (А) Р (В). В итоге: Р (AВС) = Р (А) Р (В) Р (С).
33. Формула полной вероятности
Формула полной вероятности является основной из основных формул теории статистики. Формула полной вероятности существовала и применялась в математике примерно с начала XVIII в., но как утверждение теории вероятности данная формула была предложена П. Лапласом. В правовой статистике формула полной вероятности пригодится для вычисления среднего уровня преступности при ряде условий и в других аналогичных случаях.
Суть данной формулы заключается в следующем: допустим, что событие В может произойти только с одним n попарно несовместных событий (явлений) A1, A2,…, Ak. Из этого получается, что:
k
B = å BAj ,
j=1
В данной формуле BAi и BAj обладающие знаками i и j, несовместны. Если применить теорему сложения вероятностей, в конечном итоге получаем:
P(B)P(BA).
Если же применить теорему умножения вероятностей, получим следующую формулу:
Таким образом, получается формула полной вероятности.
Пример Имеются урны трех составов:
1) |
5 |
урн, 6 |
белых и 3 черных шара |
2) |
3 |
урны, 10 белых и 1 черный |
|
3) |
7 |
урн, 0 |
белых и 10 черных |
Все шары в каждой урне перемешаны.
Испытание ― извлекается шар. Какова вероятность того, что при этом будет извлечен белый шар?
B1 ― Вытащить любой шар из урны 1.
B2 ― Вытащить любой шар из урны 2.
B3 ― Вытащить любой шар из урны 3. A ― Извлечь белый шар.
A = B1A + B2A + B3A
B1, B2, B3 ― попарно несовместны.
Формула полной вероятности: P(A) = P(B1)P(A/B1) + P(B2)P(A/B2) + P(B3)P(A/B3)
P(B1)=1/3 ― P(A/B1) = 6/9 = 2/3 P(B2)=1/5 ― P(A/B2) = 10/11 P(B3)=7/15 ― P(A/B3) = 0
P(A)= 1/3 × 2/3+1/5 × 11/10+7/15 × 0 = 2/9 + 2/11 = 40/99 × 0,430.
Рассмотрим пример применения формулы полной вероятности в правовой статистике. Существует три колонии-поселения, в которых отбывают свои сроки наказания осужденные. Из них в первой колонии 25 % заключенных, осужденных за преступления, небольшой тяжести, совершенные по неосторожности; во второй колонии такой процент равен 35 %, в третьей колонии ― 40 % таких заключенных от общего количества
заключенных в колонии.
По истечении определенного срока осужденные отбыли наказание и выпущены на свободу. Из первой колонии досрочно освобождены 5% осужденных в связи с примерным поведением, из второй колонии ― 3% осужденных освобождены на том же основании, а из третьей колонии такой процент равен 4%.
Следует найти, во-первых, вероятность осужденных, которые выпущены досрочно за примерное поведение, во-вторых, условную вероятность того, что конкретное лицо, которое вышло на свободу, вышло из первой колонии и было досрочно освобождено именно за примерное поведение.
Так, первая вероятность равна доле досрочно освобожденных за примерное поведение от общего объема всех освобожденных, т.е. (0,05 x 0,25) + (0,03 x 0,35) + (0,04 x 0,4).
Вторая вероятность будет равна доле освобожденных досрочно за примерное поведение из первой колонии, а именно: (0,05 x 0,25 + 0,03) / ((0,05 x 0, 25) + (0,03 x 0,35)+ (0,04 x 0,4)).
34. Формула Байеса
Формула Байеса является основополагающей формулой теории вероятности. Для того чтобы вывести данную формулу, необходимо провести соответствующее испытание. Напомним, что в теории вероятности условные вероятности часто именуются апостериорными, безусловные же вероятности — априорными.
Суть испытания заключается в следующем: совершено событие А (например, убийство). Следует определить, какова вероятность того, что при данном испытании (эксперименте) совершилось событие В (предположим, кража с убитого ценных вещей) Bi.
Тогда:
P(ABi) = P(A)P(Bi/A) = P(Bi)P(A/Bi)
|
|
P B |
/ A = P Bi P A/ Bi = |
P Bi P A/ Bi . |
|||||
Отсюда следует что, |
i |
|
|
|
P A |
|
k |
|
|
|
|
|
|
∑ P Bi P A/ Bi |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Итак, вот формула Байеса: |
|
|
|
|
|
i=1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
P Bi / A = |
P Bi P A/ Bi |
|
. |
. |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|||
|
∑ P Bi P A/ Bi |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
На сегодняшний день в прикладной статистике разработано целое направление на основе рассматриваемой формулы, получившее одноименное название — «байесовская статистика». В рамках байесовской статистики рассматриваются вопросы вычисления
30Орлов А.И. Математика случая. Вероятность и статистика ― основные факты. Учебное пособие. М.: МЗПресс, 2004.
уточных параметров при помощи априорного распределения параметров после проведения, наблюдений, опытов, измерений, испытаний, а также анализов.
35. Формула Бернулли
Швейцарский математик Я. Бернулли (1654—1705 г.г.) внес весомый вклад в формирование теории вероятности. В теории вероятности встречается выражение «схема Бернулли». Это идентичное понятие формуле Бернулли.
Бернулли разработал формулу, которая заключается в некой последовательности испытаний, которые носят характер независимости. Результатом каждого испытания являются либо «успех», либо «неудача». Другого варианта нет. Бернулли утверждает, что
вероятность успеха в конкретном испытании = p [0,1], в свою очередь вероятность неудачи в этом испытании q = 1 ― p. Последовательность испытаний с двумя исходами в теории статистики (теории вероятности) именуется «последовательность Бернулли». Применяя на практике формулу Бернулли, можно высчитать исход испытания юридически значимых явлений и событий. Следовательно, использование формулы Бернулли в разрезе правовой статистики также возможно.
Формула Бернулли используется для повторения опытов, но не при любом повторении опытов, а только когда их число сравнительно невелико, при этом имеется большая вероятность возникновения события. Для подобной ситуации Бернулли разработал следующую формулу:
Pn m =Cmn pm qn−m .
Вуказанной формуле n — количество независимых испытаний, m ― количество раз,
когда появится событие А. В каждом испытании появление события А связано с равной вероятностью p.
После смерти Я. Бернулли была обнаружена, а впоследствии опубликована теорема Бернулли. Данная теорема также внесла весомый вклад в развитие теории вероятности.
В теории теорема Бернулли звучит как «Закон больших чисел». Обозначим число появления события А во всех испытаниях ― f, сущность теоремы следующая: «Если вероятность наступления некоего случайного события А в последовательности n независимых испытаний постоянна и равна p, то, каково бы ни было положительное число с вероятностью, сколь угодно близкой к 1, при достаточно большом n разность f / n – p по абсолютной величине кажется меньше, чем e». Иными словами, совместное действие случайных событий, рассматриваемое при сходных условиях, приведет к результату, не зависящему от случая, в силу которого совместное действие случайных факторов приводит при некоторых весьма общих условиях к результату, почти не зависящему от случая.
36. Асимптотические формулы
В математической статистике и теории вероятностей существует понятие «асимптота», под которым понимают некую прямую или кривую линию, если продолжить которую, приближается к другой кривой, но с последней никогда не пересекается в силу того, что расстояние между ними делается бесконечно малой величиной. Асимптота широко используется в статистике для моделирования математических моделей.
Сам термин «асимптотика» имеет греческое происхождение и в буквальном смысле означает «никогда не соединяющиеся». На сегодняшний день данный термин понимается в более широком смысле и используется для определения какой-либо приближенной