Постоянный электрический ток. Расчет электрических цепей постоянного тока. Учебно-методическое пособие для высших учебных заведений

РАЗДЕЛ 2. РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА

2.1. РАСЧЕТ ПРОСТЫХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Целью расчѐта электрической цепи постоянного тока является определение электротехнических параметров на основе исходных данных, по условию задачи. На практике используют несколько методов расчѐта простых цепей. Один из них базируется на применении эквивалентных преобразований, позволяющих упростить цепь.

Под эквивалентными преобразованиями в электрической цепи подразумевается замена одних элементов другими таким образом, чтобы электромагнитные процессы в ней не изменились, а схема упрощалась.

Одним из видов таких преобразований является замена нескольких потребителей, включѐнных последовательно или параллельно, одним эквивалентным.

2.1.1. Электрическая цепь с последовательным соединением элементов

Определить силу тока в цепи и падение напряжения на соответствующих участках цепи.

РЕШЕНИЕ

При последовательном соединение элементов цепи (см. раздел 1.9.1), во всех включенных в цепь элементах возникает один и тот же ток I (рис. 2.1).

На основании второго закона Кирхгофа (см. раздел 1.9.2) общее напряжение U всей цепи равно сумме напряжений на отдельных участках:

U U1 U 2 U3 .

Используя закон Ома для участка цепи (см. раздел 1.9.1) можно определить эквивалентное сопротивление цепи:

52

I U ,

Rэкв

отсюда следует эквивалентное сопротивление:

Или после арифметических преобразований получаем:

Rэкв R1 R2 Rn .

Рис.2.1.Последовательное соединение сопротивлений Таким образом, при последовательном соединении элементов цепи

общее эквивалентное сопротивление цепи равно арифметической сумме сопротивлений отдельных участков. Следовательно, цепь с любым числом последовательно включенных сопротивлений можно заменить простой цепью с одним эквивалентным сопротивлением Rэкв (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Цепь с эквивалентным сопротивлением

После этого расчет цепи сводится к определению силы тока I всей цепи по закону Ома, если известно подаваемое напряжение на цепь:

I U .

Rэкв

53

Соответственно падение напряжения на сопротивлениях:

U1 3,6 3 10,8В ,

U 2 3,6 2 7,2В ,

U 2 3,6 5 18В .

Проверим соответствие напряжений:

U U1 U 2 U3 10,8 7,2 18 36 B .

Недостаток последовательного включения элементов заключается в том, что при выходе из строя хотя бы одного элемента, прекращается работа всех остальных элементов цепи.

2.1.2.Электрическая цепь с параллельным соединением элементов

ПРИМЕР. В цепь параллельно включены (рис. 2.3) сопротивления

R1 3Ом , R2 2Ом , R3 5Ом и подано напряжение на цепь U=36В.

Определить силу тока в цепи и силу тока на каждом потребителе.

РЕШЕНИЕ

При параллельном соединение потребителей (см. раздел 1.9.1), все включенные в цепь потребители электрической энергии, находятся под одним и тем же напряжением (рис. 2.3):

54

UU1 U 2 U3 .

Вэтом случае они присоединены к двум узлам цепи а и b, и на основании первого закона Кирхгофа (см. раздел 1.9.2) можно записать, что общий ток

I всей цепи равен алгебраической сумме токов текущих в параллельных ветвях участка цепи:

I I1 I2 I3 .

Рис.2.3. Параллельное соединение сопротивлений Эквивалентное сопротивление участка цепи, состоящей из

проводников, соединенных параллельно, определяется по закону Ома:

I U .

Rэкв

Отсюда следует эквивалентное сопротивление цепи:

После арифметических преобразований получаем формулу для эквивалентного сопротивления:

1 1 1 1 .

Rэкв R1 R2 R3

В данном случае, когда параллельно включены сопротивления, они заменяются одним эквивалентным сопротивлением (рис.2.4).

Для рассматриваемого примера рассчитаем эквивалентное сопротивление цепи (рис.2.4).

55

Расчет параллельно соединенных потребителей можно проводить,

используя проводимости g.

Рис.2.4. Цепь с эквивалентным сопротивлением Считая, что эквивалентная проводимость цепи равна арифметической

сумме проводимостей отдельных ветвей:

gэкв g1 g2 g3 ,

тогда

Сила тока в цепи определим по закону Ома:

Соответственно сила тока на каждом сопротивлении будет равна:

I1 U 36 12 А ,

R1 3

56

Проверим соответствие сил тока в ветвях:

I I1 I2 I3 12 18 7,2 37,2 А .

По мере роста числа параллельно включенных потребителей

проводимость цепи g экв возрастает, и наоборот, общее сопротивление уменьшается.

По параллельно включенной схеме работают в номинальном режиме потребители любой мощности, рассчитанные на одно и то же напряжение.

Причем включение или отключение одного или нескольких потребителей не отражается на работе остальных. Поэтому эта схема является основной

схемой подключения потребителей к источнику электрической энергии.

2.1.3.Электрическая цепь со смешанным соединением элементов

Смешанным называется такое соединение, при котором в цепи имеются группы параллельно и последовательно включенных

сопротивлений.

ПРИМЕР. Для смешенной цепи (рис.2.5), представляющей собой параллельное и последовательное соединение сопротивлений, рассчитать

эквивалентное сопротивление цепи, если в данной схеме сопротивления являются одинаковыми: R1 R2 R3 R4 R5 2Ом .

РЕШЕНИЕ

Для цепи, представленной на рис. 2.5, расчет эквивалентного сопротивления необходимо начинать с конца схемы, т.е. расчет начнем с сопротивлений R4 , R5 .

Как видно из схемы (рис.2.5) сопротивления R4 и R5 включены

параллельно, тогда на участке цепи cd сопротивление Rcd будет равно:

57

1 1 1 .

Rcd R4 R5

Рис. 2.5. Электрическая цепь со смешанным соединением элементов Или после арифметических преобразований:

последовательно, а тогда сопротивление участка цепи Rad будет равно:

Rad R3 Rcd 2 1 3Ом .

Рис. 2.6

После таких преобразований схему (рис. 2.6) можно заменить на более простую схему, которая изображена на рисунке 2.7.

По измененной схеме (рис. 2.7) видно, что сопротивление R2 и Rad

соединены параллельно, т.е. сопротивление участка цепи Rab будет равно:

58

1 1 1 .

Rаb R2 Rad

Рис. 2.7

Или после арифметических преобразований получаем:

Схему (рис. 2.7) можно заменить на более простую схему, которая представлена на рисунке 2.8.

Рис. 2.8

Из данной схемы следует, что сопротивления R1 и Rab включены последовательно, т.е. ее тоже можно представить в упрощенном варианте

(рис.2.9).

Тогда эквивалентное сопротивление преобразованной схемы (рис. 2.9)

будет равно:

Rэкв R1 Rab 2 1,2 3,2Ом .

В результате преобразований исходная схема (рис. 2.5) представлена в виде схемы (рис. 2.9) с одним сопротивлением Rэкв .

59

Рис. 2.9

Расчет токов и напряжений для всех элементов схемы выполняют по

законам Ома и Кирхгофа.

2.2.РАСЧЕТ СЛОЖНЫХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Входе расчѐта сложной цепи необходимо определить электротехнические параметры (в первую очередь токи и напряжения на элементах) на основе исходных величин, заданных в условии задачи. На практике используются несколько методов расчѐта таких цепей.

Для определения токов ветвей используют методы, базирующиеся на основании непосредственного применения первого и второго закона Кирхгофа. Такими методами являются: метод уравнений Кирхгофа, метод контурных токов, метод узловых напряжений.

При расчете сложных цепей постоянного тока для проверки правильности вычисления токов составляют баланс мощностей, используя закон сохранения энергии. Из закона сохранения энергии следует, что алгебраическая сумма мощностей всех источников питания цепи равна алгебраической сумме мощностей всех потребителей.

Математически баланс мощностей записывают в следующем виде:

где n – количество источников питания в цепи; m – количество потребителей.

60

n

электродвижущей силы на величину тока k I k , протекающего через

k 1

данный источник. Если направление электродвижущей силы и направление тока в источнике совпадают, то мощность получается положительной. В

противном случае она отрицательна.

Мощность потребителя всегда положительна и равна произведению

m

квадрата тока в потребителе на величину его сопротивления I k2 Rk .

k 1

Если баланс мощностей соблюдается, то расчет токов выполнен правильно.

В процессе составления баланса мощностей определяют, в каком режиме работает источник питания. Если его мощность положительна, то он отдает энергию во внешнюю цепь (например, как аккумулятор в режиме разряда). При отрицательном значении мощности источника последний потребляет энергию из цепи (аккумулятор в режиме заряда).

2.3. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ СЛОЖНЫХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО

ТОКА

Рассмотрим примеры решения задач для электрических цепей

постоянного тока.

ЗАДАЧА

1.Определить токи в ветвях следующими методами:

а) методом уравнений Кирхгофа;

б) методом узлового напряжения;

в) методом контурных токов.

2.Составить уравнение баланса мощности.

Всложную цепь постоянного тока (рис.2.10) включены: сопротивления

R1 , R2 , R3 , R4 , R5 и источники питания с электродвижущей силой 1 , 2 и

внутренним сопротивлением r01 , r02 .

61