Постоянный электрический ток. Расчет электрических цепей постоянного тока. Учебно-методическое пособие для высших учебных заведений

б) Падение напряжения на участке цепи равна сумме падений напряжения на отдельных ее участках:

U U1 U 2 U n .

Рис. 1.20. Последовательное соединение

в) Общее сопротивление участка цепи, состоящей из n отдельных проводников определяется по закону Ома:

I U ,

Rобщ

отсюда следует общее сопротивление:

или

Rобщ R1 R2 Rn .

Параллельное соединение проводников - соединение, при котором все проводники подключаются к одной и той же паре точек (рис. 1.21).

Рис.1. 21. Параллельное соединение При параллельном соединении проводников (рис. 1.21):

a) Сила тока в неразветвленной участке цепи равна сумме токов, текущих в параллельных ветвях участка цепи:

I I1 I 2 I n .

42

б) падение напряжения в параллельных ветвях участка цепи одинаковы:

U U1 U 2 U n .

в) Общее сопротивление участка цепи, состоящей из n проводников,

соединенных параллельно, определяется по закону Ома:

I U .

Rобщ

Отсюда следует общее сопротивление:

т.е. общее сопротивление рассчитывается по формуле:

Рассмотрим простейшую электрическую цепь, содержащую источник электродвижущей силы

Рассмотрим неоднородный участок цепи (рис.1.22), где действует электродвижущая сила на участке 1—2 и обозначим ее через 12 , а

приложенную на концах участка разность потенциалов — через 1 2 .

Рис.1.22

Если ток проходит по неподвижным проводникам, образующим участок 1—2, то работа всех сил (сторонних и электростатических),

совершаемая над носителями тока, по закону сохранения и превращения энергии равна теплоте, выделяющейся на участке.

Работа сил, совершаемая при перемещении заряда q на участке 1—2,

будет определяться так:

А12 12 q q 1 2 .

43

Электродвижущая сила, как и сила тока — величина скалярная. Ее необходимо брать либо с положительным, либо с отрицательным знаком это зависит от знака работы, совершаемой сторонними силами. Если электродвижущая сила способствует движению положительных зарядов в выбранном направлении (в направлении 1→2, рис. 1.22), то 12 >0. Если электродвижущая сила препятствует движению положительных зарядов в данном направлении, то 12 < 0.

За время t в проводнике выделяется количество теплоты:

Q I 2 R t I R I t I R q .

Количество теплоты равно работе по перемещению заряда ( Q A ):

А12 12 q q 1 2 .

Приравнивая количество теплоты и работу Q A , получим

I R q 12 q q 1 2 .

Сократим левую и правую часть на заряд (q), тогда получим следующее уравнение:

I R 12 1 2 .

Следовательно, сила тока будет равна:

I 12 1 2 .

R

неоднородного участка цепи, который является обобщенным законом Ома.

Если на данном участке цепи источник тока отсутствует, то приходим к закону Ома для однородного участка цепи:

I 1 2 U .

R R

При отсутствии сторонних сил напряжение на концах участка равно

разности потенциалов. Если же электрическая цепь замкнута, то выбранные

44

точки 1 и 2 совпадают (рис.1.22), ( 1 2 ) и тогда получаем закон Ома для замкнутой цепи:

I 12 ,

R

где 12 — электродвижущая сила, действующая в цепи, R — суммарное сопротивление всей цепи. В общем случае R R1 r , где r—внутреннее сопротивление источника тока, R1 -сопротивление внешней цепи.

Закон Ома для полной (замкнутой) электрической цепи: сила тока в замкнутой цепи пропорциональна электродвижущей силе источника,

действующий в цепи, и обратно пропорциональна полному сопротивлению цепи.

Следовательно, закон Ома для замкнутой цепи будет иметь вид:

Если цепь разомкнута и, следовательно, в ней ток отсутствует, то из закона Ома получим, что 12 1 2 . Электродвижущая сила, действующая

вразомкнутой цепи, равна разности потенциалов на ее концах.

Следовательно, для того чтобы найти электродвижущую силу источника тока, надо измерить разность потенциалов на его клеммах при разомкнутой цепи.

Закон Ома в электронной теории для плотности постоянного тока в металлах: плотность постоянного тока прямо пропорциональна напряженности E электрического поля в данной точке внутри металлического проводника под напряжением, и обратно пропорциональна его удельному сопротивлению:

j E g E ,

где g - проводимость.

45

1.9.2.Законы Кирхгофа

Законы Кирхгофа - являются основными законами, определяющими

режим работы электрической цепи.

Первый закон Кирхгофа - применяется к узлам электрической цепи.

Правило узлов (первый закон Кирхгофа): алгебраическая сумма токов в узле

(рис.1. 23) равна нулю:

n

I i 0 ,

i 1

где n - количество ветвей, сходящихся в узле.

Потребляемый ток, текущий к узлу, считается положительным, ток который выходит из узла считается отрицательным.

Рис.1.23. Первый закон Кирхгофа

Второй закон Кирхгофа (правило контуров): в любом замкнутом контуре (рис. 1.24) цепи алгебраическая сумма произведений токов на сопротивление цепи, по которым эти токи текут, равна алгебраической сумме электродвижущих сил:

где k – (k – я)- электродвижущая сила, входящая в контур, m - число электродвижущих сил в контуре, n - число сопротивлений в контуре. При составлении уравнений по этому закону со знаком ― + ‖ записываются те эдс,

направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода контура. Со знаком ― - ‖ записываются эдс, которые направлены

46

противоположно обходу контура. Падения напряжения I R записываются со знаком ―+‖, если направление обхода совпадает с направлением тока в сопротивлении. В противном случае падения напряжения записываются со знаком ― - ‖.

Если направление тока совпадает с выбранным направлением обхода контура (по часовой стрелке, например), то этот ток берется со знаком плюс.

Электродвижущая сила считается положительной, если она вызывает ток в направлении обхода контура.

Правила узлов и контуров используются для расчета разветвленных цепей.

Рис.1.24. Второй закон Кирхгофа При расчете сложных цепей постоянного тока с применением правил

Кирхгофа необходимо:

1. Выбрать произвольное направление токов на всех участках цепи.

Действительное направление токов определяется при решении задачи: если искомый ток получится положительным, то его направление было выбрано правильно, отрицательным — его истинное направление противоположно выбранному направлению.

2. Выбрать направление обхода контура и строго его придерживаться.

Произведение I R положительно, если ток на данном участке совпадает с направлением обхода, и, наоборот, электродвижущие силы, действующие по выбранному направлению обхода, считаются положительными, против обхода — отрицательными.

47

3. Составить столько уравнений, чтобы их число было равно числу искомых величин (в систему уравнений должны входить все сопротивления и электродвижущие силы рассматриваемой цепи). Каждый рассматриваемый контур должен содержать хотя бы один элемент, не содержащийся в предыдущих контурах, иначе получатся уравнения, являющиеся простой комбинацией уже составленных.

1.9.3.Работа и мощность электрического тока

При протекании электрического тока по проводнику кулоновские электростатические силы за время t выполняют работу А:

A I U t , А А В с Дж (Джоуль),

где I - сила тока, U - напряжения на проводнике.

Мощность Р электрического тока равна работе А, выполняемой током в единицу времени:

P At IU , Р А В Вт (Ватт).

Если сила тока выражается в амперах, напряжение — в вольтах,

сопротивление — в омах, то работа тока выражается в джоулях, а мощность

— в ваттах.

На практике применяются также внесистемные единицы работы тока:

ватт-час (Вт-ч) и киловатт-час (кВт-ч).

1 Вт-ч — работа тока мощностью 1 Вт в течение 1 ч; 1 Вт-ч=3600 Вт-с=3,6*103 Дж; 1 кВт-ч=103 Вт-ч=3,6 *106 Дж.

Если электрический ток постоянный, а проводники, образующие цепь,

неподвижные, то работа сторонних сил в источнике тока безвозвратно превращается в результате столкновений электронов с положительными ионами узлов кристаллической решетки в тепло: кинетическая энергия

48

электронов отвечает за нагрев проводника - она превращается во внутреннюю энергию.

При прохождении тока в проводнике с сопротивлением R происходит столкновение электрически заряженных частиц с ионами вещества. При этом кинетическая энергия движущихся частиц передается ионам, что и приводит к нагреванию. Скорость преобразования электрической энергии в тепловую энергию характеризуется мощностью:

Р U I .

Так как напряжение равно произведению силы тока на сопротивление

(U I R ) , получаем:

P I U I 2 R U 2 .

R

Количество электрической энергии переходящей в тепловую энергию за время t:

WP t I 2 R t .

Ипри этом выделяется количество теплоты:

формулируется следующим образом: количество тепла, выделенное током в проводнике, пропорционально квадрату тока, сопротивлению проводника и времени прохождения тока.

Или: количество теплоты, выделенной током, текущим по проводнику,

прямо пропорциональна силе тока, времени протекания тока и падения напряжения на концах проводника:

Q I U t .

Единица измерения количества теплоты Джоуль:

Q Дж .

49

1.10.РЕЖИМЫ РАБОТЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ

Электрическая цепь в зависимости от значения сопротивления нагрузки может работать в различных характерных режимах: номинальном,

согласованном, холостого хода и короткого замыкания.

Рассмотрим эти режимы работы для электрической цепи.

Номинальный режим - это расчетный режим, при котором элементы цепи (источники, приемники, линия электропередач) работают в условиях,

соответствующих проектным данным и параметрам.

Изоляция источника, линии электропередачи, приемников расcчитана на определенное напряжение, называемое номинальным. Превышение этого напряжения приводит к пробою изоляции, увеличению токов в цепи и другим аварийным последствиям.

Тепловой режим источников или приемников энергии рассчитан на выделение в них определенного количества тепла, то есть на определенную мощность, а последняя зависит от квадрата тока R I 2 .

Расчетный по тепловому режиму ток называется номинальным.

Номинальное значение мощности для источника электрической энергии - это наибольшая мощность, которую источник при нормальных условиях работы может отдать во внешнюю цепь без опасности пробоя изоляции и превышения допустимой температуры нагрева.

Для приемников электрической энергии типа двигателей - это мощность, которую могут развивать на валу при нормальных условиях работы. Для остальных приемников электрической энергии (нагревательные и осветительные приборы) - это их мощность при номинальном режиме.

Номинальные значения напряжений, токов и мощностей указывают в паспортах изделий.

Согласованный режим работы - это режим, в котором работает электрическая цепь (источник и приемник), когда сопротивление нагрузки R

равна внутреннему сопротивлению источника r. Этот режим характеризуется передачей от данного источника к приемнику максимально возможной

50

мощности. Однако в согласованном режиме коэффициент полезного действия ( = 0,5) будет низкий и для мощных цепей работа в согласованном режиме экономически невыгодна. Согласованный режим применяется,

главным образом, в маломощных цепях, если коэффициент полезного действия не имеет существенного значения, а требуется получить в приемнике возможно большую мощность.

Режим холостого хода и короткого замыкания. Эти режимы являются предельными режимами работы электрической цепи.

В режиме холостого хода внешняя цепь разомкнута и ток равен нулю.

Так как ток равен нулю то падение напряжения на внутреннем сопротивлении источника так же равно нулю ( r I =0) и напряжение на выводах источника равно электродвижущей силе ( = U). Из этих соотношений вытекает метод измерения электродвижущей силы источника:

при разомкнутой внешней цепи вольтметром, сопротивление которого можно считать бесконечно большим, измеряют напряжение на его выводах.

В режиме короткого замыкания выводы источника соединены между собой, например, сопротивление нагрузки замкнуто проводником с нулевым сопротивлением. Напряжение на приемнике при этом равно нулю.

Сопротивление всей цепи равно внутреннему сопротивлению источника, и

ток короткого замыкания в цепи равен:

Ik r .

Он достигает максимально возможного значения для данного источника и может вызывать перегрев источника и даже его повреждение.

Для защиты источников электрической энергии и питающих цепей от токов короткого замыкания в маломощных цепях устанавливают плавкие предохранители, в более мощных цепях - отключающие автоматические выключатели, а высоковольтных цепях - специальные высоковольтные выключатели.

51