Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основы теории надежности. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 109 10 > Следующая >>>

В случае безотказных испытаний из формулы (5.1) при m = 0 сле-

дует, что Pн связано с доверительной вероятностью и числом испытанных изделий выражением

0	n!
		(1 Pн)i Pн Pнn 1	Pн n 1 .

i 0 i!(n i)!

Пример 5.2. n = 10; = 0,7; m = 0. Найти Pн. Решение. Pн n 1 10 1 0,7 0,887.

При больших n и m формулами (5.1) и (5.2) пользоваться неудобно. В этом случае выполняют приближенные вычисления нижней и верхней доверительных границ, заменяя биномиальное распределение нормальным распределением [6]:

P P u	P (1 P )	,	(5.3)

н	n

P P u	P (1 P )	,	(5.4)

в	n

где P* = (n – m)/n – частость сохранения работоспособности (при

больших n частость стремится к вероятности P); u – квантиль нормального распределения, соответствующая выбранной доверительной

вероятности .

Приближение нормальным распределением используют, если выполняются два условия [6]: nP* > 10 и n (1 – P*) > 10.

Пример 5.3. Оценить Pн, Pв, если n = 100, m = 20, = 0,95.

Решение. Вычисляем

P* = 0,8; nP* = 80 > 10; n (1 – P*) = 20 > 10.

Следовательно, нормальное распределение может быть использовано. При = 0,95 по табл. 2.1 (см. разд. 2) для нормального распределе-

ния u = − 1,64. Тогда

u	P (1 P )		0,0656 .
	n

Окончательно имеем Pн = 0,734,		Pв = 0,866.

Определим требуемый объем выборки n, если требуемая вероятность безотказной работы равна P*, заданы доверительный интервал

d = Pв – Pн и односторонняя доверительная вероятность α. Предполагается применимость нормального распределения.

Из формул (5.3) и (5.4) следует, что

d 2u	P (1 P )	→ n 4u2 P (1 P ) .

	n	d 2

Пример 5.4. Оценить n, если P* = 0,8, Pв = 0,866, Pн = 0,734,

= 0,95, d = Pв – Pн = 0,132, uα = −1,64 при = 0,95.

Решение

n	4u2 P (1 P )		4 1,642 0,8(1 0,8)	100 .
	d 2		0,1322

Для восстанавливаемых изделий (с заменой или восстановлением элементов после отказа) часто предполагают распределение наработки на отказ экспоненциальным (справедливо, например, для станков, ро-

ботов). Средний ресурс Tр оценивается средней наработкой на отказ испытанных изделий (оценка снизу) [6]

Tр = tΣ/m,

где t ti − суммарное время испытаний n изделий; m – общее чис-

ло отказов, возникших в процессе испытаний. Величина 2tΣ /Tр имеет распределение χ-квадрат со степенями свободы 2m либо 2(m + 1) в зависимости от того, прекращаются испытания после наступления очередного отказа или после истечения времени испытаний. Если испытания прекращают после истечения времени испытаний, то вероятност-

ные соотношения для величины 2tΣ /Tр имеют вид

	2	2t
Вер ; 2m			;
Вер ; 2m		Tр	;
		Tр

			2t
Вер 2			2t	,
Вер 2				,
	1 ; 2(m 1)		Tр

откуда

T	2t	; T	2t	.	(5.5)
	2
р н		р в	2
	1 ;2(m 1)		;2m

Пример 5.5. Испытано три изделия в течение 600 ч каждое. В процессе испытаний получено четыре отказа. После отказов работоспособность изделий восстанавливали. Оценить нижнюю границу средней наработки на отказ с односторонней доверительной вероятностью

α = 0,8.

Решение. tΣ = nt = 3 · 600 = 1800 ч.

При α = 0,8 имеем 12 ; 2(m 1) 13,4 [6, табл. 6.1]. По первой формуле (5.5) получаем Tр н = 269 ч.

По планам испытаний [5]. Буквы в обозначениях планов испытаний указывают следующие особенности объектов:

N – число одновременно испытываемых объектов;

U – невосстанавливаемые и незаменяемые при испытаниях в случае отказа объекты;

R – невосстанавливаемые, но заменяемые при испытаниях в случае отказа объекты;

М – восстанавливаемые при испытаниях в случае отказа объекты; r – число отказанных объектов.

При испытаниях по плану [NUM] на испытания ставятся N объектов, испытания ведутся до отказа всех объектов, время отказа ti фиксируется. Средняя наработка на отказ

T0 1 N ti . N i 1

Среднеквадратическое отклонение σ (T0) относительно его среднего значения

	N
	(ti T0 )2	(t) .
(T )	i 1		(5.6)
(T )			(5.6)
0	(N 1)N	N
	(N 1)N	N

При числе N = 8 и более и при ti, подчиняющихся экспоненциальному закону, распределение случайной величины T с достаточной для практики точностью приближается к нормальному распределению.

Поэтому число испытываемых объектов можно определять из выраже-

ния (5.6).

Испытания по плану [NUM] требуют значительного времени и количества объектов. Сократить продолжительность испытаний можно путем увеличения числа испытуемых изделий или снижением требований к точности результатов.

Проведение испытаний по плану [NRr] уменьшает число испытываемых объектов N за счет их восстановления, но удлиняет время испытаний. Увеличение числа испытываемых объектов при испытаниях по плану [NUM] повышает точность результатов испытаний, а при проведении испытаний по плану [NUr] сокращает время испытаний.

5.3. Контрольные испытания на надежность

Контрольные испытания не предназначены для определения количественного значения показателя надежности. Они являются средством контроля надежности по некоторому косвенному признаку. Такими признаками могут быть, например, отсутствие отказов при испытаниях на протяжении заданного времени, предельные числа допустимых и недопустимых отказов для последовательных интервалов времени. В первом случае испытания называют испытаниями, основанными на числе отказов, равном нулю, во втором случае – испытаниями, основанными на последовательном анализе.

Контрольные испытания на надежность проводят для контроля соответствия показателей надежности установленным требованиям. В результате проведения контрольных испытаний можно лишь утверждать, что уровень надежности данного объекта не ниже заданного; контрольные испытания на надежность сложных систем обычно не рассматриваются.

Так как задача контроля надежности значительно проще задачи определительных испытаний, то методы планирования, проведения и обработки результатов контрольных испытаний достаточно хорошо разработаны. Здесь можно сослаться на работы А.Н. Колмогорова, А. Вальда, Б.В. Гнеденко, Ю.К. Беляева, Д. Коудена, Ю.Г. Заренина, Я.Б. Шора и др.

Для более подробного изучения испытаний на надежность в рамках учебного курса можно рекомендовать учебную литературу [5–7].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Атапин В.Г. Основы работоспособности технических систем. Автомобильный транспорт. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2007. – 316 с. (Серия «Учебники НГТУ»).

2.ГОСТ 27.002 – 89. Надёжность в технике. Основные понятия. Термины

иопределения. – М.: Изд-во стандартов, 1990. – 18 с.

3.Гуськов А.В. Надежность технических систем и техногенный риск / А.В. Гуськов, К.Е. Милевский . – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2012. – 427 с.

(Серия «Учебники НГТУ»).

4.Математическая статистика / В.М. Иванова, В.Н. Калинина, Л.А. Нешумова и др. – М.: Высшая школа, 1981. – 371 с.

5.Острейковский В.А. Теория надежности. – М.: Высшая школа, 2003. –

463с.

6.Решетов Д.Н. Надёжность машин / Д.Н. Решетов, А.С. Иванов,

В.З. Фадеев. – М.: Высшая школа, 1988. – 238 с.

7.Северцев Н.А. Надёжность сложных систем в эксплуатации и отработке. – М.: Высшая школа, 1989. – 432 с.

8.Смирнов Н.В. Курс теории вероятностей и математической статистики /

Н.В. Смирнов, И.В. Дунин-Барковский. – М.: Наука, 1969. – 436 с.

9. Техническая эксплуатация автомобилей / Е.С. Кузнецов [и др.]. – М.:

Наука, 2004. – 535 с.

10.Чебоксаров А.Н. Основы теории надежности и диагностика: курс лекций. – Омск: СибАДИ, 2012. – 76 с.

11.Яхьяев Н.Я. Основы теории надежности и диагностика / Н.Я. Яхьяев, А.В. Кораблин. – М.: Издательский центр «Академия», 2009. – 256 с.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Таблица П1

					Показательная функция ех
		0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	0,00	1,0000	1,0101	1,0202	1,0305	1,0408	1,0513	1,0618	1,0725	1,0833	1,0942
	0,10	1,1052	1,1163	1,1275	1,1388	1,1503	1,1618	1,1735	1,1853	1,1972	1,2092
	0,20	1,2214	1,2337	1,2461	1,2586	1,2712	1,2840	1,2969	1,3100	1,3231	1,3364
	0,30	1,3499	1,3634	1,3771	1,3910	1,4049	1,4191	1,4333	1,4477	1,4623	1,4770
	0,40	1,4918	1,5068	1,5220	1,5373	1,5527	1,5683	1,5841	1,6000	1,6161	1,6323
	0,50	1,6487	1,6653	1,6820	1,6989	1,7160	1,7333	1,7507	1,7683	1,7860	1,8040
	0,60	1,8221	1,8404	1,8589	1,8776	1,8965	1,9155	1,9348	1,9542	1,9739	1,9937
86	0,70	2,0138	2,0340	2,0544	2,0751	2,0959	2,1170	2,1383	2,1598	2,1815	2,2034
86	0,80	2,2255	2,2479	2,2705	2,2933	2,3164	2,3396	2,3632	2,3869	2,4109	2,4351
	0,80	2,2255	2,2479	2,2705	2,2933	2,3164	2,3396	2,3632	2,3869	2,4109	2,4351
	0,90	2,4596	2,4843	2,5093	2,5345	2,5600	2,5857	2,6117	2,6379	2,6645	2,6912
	1,00	2,7183	2,7456	2,7732	2,8011	2,8292	2,8577	2,8864	2,9154	2,9447	2,9743
	1,10	3,0042	3,0344	3,0649	3,0957	3,1268	3,1582	3,1899	3,2220	3,2544	3,2871
	1,20	3,3201	3,3535	3,3872	3,4212	3,4556	3,4903	3,5254	3,5609	3,5966	3,6328
	1,30	3,6693	3,7062	3,7434	3,7810	3,8190	3,8574	3,8962	3,9354	3,9749	4,0149
	1,40	4,0552	4,0960	4,1371	4,1787	4,2207	4,2631	4,3060	4,3492	4,3929	4,4371
	1,50	4,4817	4,5267	4,5722	4,6182	4,6646	4,7115	4,7588	4,8066	4,8550	4,9037
	1,60	4,9530	5,0028	5,0531	5,1039	5,1552	5,2070	5,2593	5,3122	5,3656	5,4195
	1,70	5,4739	5,5290	5,5845	5,6407	5,6973	5,7546	5,8124	5,8709	5,9299	5,9895
	1,80	6,0496	6,1104	6,1719	6,2339	6,2965	6,3598	6,4237	6,4883	6,5535	6,6194
	1,90	6,6859	6,7531	6,8210	6,8895	6,9588	7,0287	7,0993	7,1707	7,2427	7,3155
	2,00	7,3891	7,4633	7,5383	7,6141	7,6906	7,7679	7,8460	7,9248	8,0045	8,0849
	2,10	8,1662	8,2482	8,3311	8,4149	8,4994	8,5849	8,6711	8,7583	8,8463	8,9352

									Окончание		табл. П1

		0	1	2	3	4	5	6	7	8		9
	2,20	9,0250	9,1157	9,2073	9,2999	9,3933	9,4877	9,5831	9,6794	9,7767		9,8749
	2,30	9,9742	10,074	10,176	10,278	10,381	10,486	10,591	10,697	10,805		10,913
	2,40	11,023	11,134	11,246	11,359	11,473	11,588	11,705	11,822	11,941		12,061
	2,50	12,182	12,305	12,429	12,554	12,680	12,807	12,936	13,066	13,197		13,330
	2,60	13,464	13,599	13,736	13,874	14,013	14,154	14,296	14,440	14,585		14,732
	2,70	14,880	15,029	15,180	15,333	15,487	15,643	15,800	15,959	16,119		16,281
	2,80	16,445	16,610	16,777	16,945	17,116	17,288	17,462	17,637	17,814		17,993
	2,90	18,174	18,357	18,541	18,728	18,916	19,106	19,298	19,492	19,688		19,886
	3,00	20,086	20,287	20,491	20,697	20,905	21,115	21,328	21,542	21,758		21,977
	3,10	22,198	22,421	22,646	22,874	23,104	23,336	23,571	23,807	24,047		24,288
	3,20	24,533	24,779	25,028	25,280	25,534	25,790	26,050	26,311	26,576		26,843
87	3,30	27,113	27,385	27,660	27,938	28,219	28,503	28,789	29,079	29,371		29,666
	3,40	29,964	30,265	30,569	30,877	31,187	31,500	31,817	32,137	32,460		32,786
	3,50	33,115	33,448	33,784	34,124	34,467	34,813	35,163	35,517	35,874		36,234
	3,60	36,598	36,966	37,338	37,713	38,092	38,475	38,861	39,252	39,646		40,045
	3,70	40,447	40,854	41,264	41,679	42,098	42,521	42,948	43,380	43,816		44,256
	3,80	44,701	45,150	45,604	46,063	46,525	46,993	47,465	47,942	48,424		48,911
	3,9	49,402	49,899	50,400	50,907	51,419	51,935	52,457	52,985	53,517		54,055
	4,0	54,598	60,340	66,686	73,700	81,451	90,017	99,484	109,95	121,51		134,29
	6,0	403,43	445,86	492,75	544,57	601,85	665,14	735,10	812,41	897,85		992,27
	7,0	1096,6	1212,0	1339,4	1480,3	1636,0	1808,0	1998,2	2208,3	2440,6		2697,3
	8,0	2981,0	3294,5	3641,0	4023,9	4447,1	4914,8	5431,7	6002,9	6634,2		7332,0
	9,0	8103,1	8955,3	9897,1	10938	12088	13360	14765	16318	18034		19930
	10,0	22026

Таблица П2

Плотность вероятности нормального распределения

					f (t )	1		e t 2 2
					f (t )		2	e t 2 2
							2

	t	0	1	2	3	4			5	6	7	8	9
	0,0	0,3989	3989	3989	3988	3986			3984	3982	3980	3977	3973
	0,1	3970	3965	3961	3956	3951			3945	3939	3932	3925	3918
	0,2	3910	3902	3894	3885	3876			3867	3857	3847	3936	3825
	0,3	3814	3802	3790	3778	3765			3752	3739	3726	3712	3697
	0,4	3683	3668	3653	3637	3621			3605	3589	3572	3555	3538
	0,5	3521	3503	3485	3467	3448			3429	3410	3391	3372	3352
	0,6	3332	3312	3292	3271	3251			3230	3209	3188	3166	3144
	0,7	3123	3101	3079	3056	3034			3011	2989	2966	2943	2920
88	0,8	2897	2874	2850	2827	2803			2780	2756	2732	2709	2685
	0,9	2661	2637	2613	2589	2565			2541	2516	2492	2468	2444
	1,0	0,2420	2396	2371	2347	2323			2299	2275	2251	2227	2203
	1,1	2179	2155	2131	2107	2083			2059	2036	2012	1989	1965
	1,2	1942	1919	1895	1872	1849			1826	1804	1781	1758	1736
	1,3	1714	1691	1669	1647	1626			1604	1582	1561	1539	1518
	1,4	1497	1476	1456	1435	1415			1394	1374	1354	1334	1315
	1,5	1295	1276	1257	1238	1219			1200	1182	1163	1145	1127
	1,6	1109	1092	1074	1057	1040			1023	1006	0989	0973	0957
	1,7	0940	0925	0909	0893	0878			0863	0848	0833	0818	0804
	1,8	0790	0775	0761	0748	0734			0721	0707	0694	0681	0669
	1,9	0656	0644	0632	0620	0608			0596	0584	0573	0562	0551
	2,0	0,0540	0529	0519	0508	0498			0488	0478	0468	0459	0449
	2,1	0440	0431	0422	0413	0404			0396	0387	0379	0371	0363

									Окончание		табл. П2

	t	0	1	2	3	4	5	6	7	8		9
	2,2	0355	0347	0339	0332	0325	0317	0310	0303	0297		0290
	2,3	0283	0277	0270	0264	0258	0252	0246	0241	0235		0229
	2,4	0224	0219	0213	0208	0203	0198	0194	0189	0184		0180
	2,5	0175	0171	0167	0163	0158	0154	0151	0147	0143		0139
	2,6	0136	0132	0129	0126	0122	0119	0116	0113	0110		0107
	2,7	0104	0101	0099	0096	0093	0091	0088	0086	0084		0081
	2,8	0079	0077	0075	0073	0071	0069	0067	0065	0063		0061
	2,9	0060	0058	0056	0055	0053	0051	0050	0048	0047		0046
	3,1	0033	0032	0031	0030	0029	0028	0027	0026	0025		0025
	3,2	0024	0023	0022	0022	0021	0020	0020	0019	0018		0018
	3,3	0017	0017	0016	0016	0015	0015	0014	0014	0013		0013
89	3,4	0012	0012	0012	0011	0011	0010	0010	0010	0009		0009
	3,5	0009	0008	0008	0008	0008	0007	0007	0007	0007		0006
	3,6	006	0006	0006	0005	0005	0005	0005	0005	0005		0004
	3,7	004	0004	0004	0004	0004	0004	0003	0003	0003		0003
	3,8	003	0003	0003	0003	0003	0002	0002	0002	0002		0002
	3,9	002	0002	0002	0002	0002	0002	0002	0002	0001		0001

Таблица П3

				Значения			2	в зависимости от вероятности					P	2	2
				Значения				в зависимости от вероятности					P
								и числа степеней свободы k

	k
		0,99	0,98	0,95	0,90	0,80			0,70	0,50	0,30	0,20	0,10			0,05	0,02	0,01	0,001
	1	0,00016	0,001	0,004	0,016	0,064			0,148	0,455	1,074	1,642	2,71			3,84	5,41	6,64	10,83
	2	0,020	0,040	0,103	0,211	0,446			0,713	1,386	2,41	3,22	4,60			5,99	7,82	9,21	13,82
	3	0,115	0,185	0,352	0,584	1,005			1,424	2,366	3,66	4,64	6,25			7,82	9,84	11,34	16,27
	4	0,297	0,429	0,711	1,064	1,649			2,20	3,36	4,88	5,99	7,78			9,49	11,67	13,28	18,46
	5	0,554	0,752	1,145	1,610	2,34			3,00	4,35	6,06	7,29	9,24			11,07	13,39	15,09	20,5
	6	0,872	1,134	1,635	2,20	3,07			3,83	5,35	7,23	8,56	10,64			12,59	15,03	16,81	22,5
	7	1,239	1,564	2,17	2,83	3,82			4,67	6,35	8,38	9,80	12,02			14,07	16,62	18,48	24,3
90	8	1,646	2,03	2,73	3,49	4,59			5,53	7,34	9,52	11,03	13,36			15,51	18,17	20,1	26,1
	9	2,09	2,53	3,32	4,17	5,38			6,39	8,34	10,66	12,24	14,68			16,92	1968	21,7	27,9
	10	2,56	3,06	3,94	4,86	6,18			7,27	9,34	11,78	13,44	15,99			18,31	21,2	23,2	29,6
	11	3,05	3,61	4,58	5,58	6,99			8,15	10,34	12,90	14,63	17,28			19,68	22,6	24,7	31,3
	12	3,57	4,18	5,23	6,30	7,81			9,03	11,34	14,01	15,81	18,55			21,0	24,1	26,2	32,9
	13	4,11	4,76	5,89	7,04	8,63			9,93	12,34	15,12	16,98	18,81			22,4	25,5	27,7	34,6
	14	4,66	5,37	6,57	7,79	9,47			10,82	13,34	16,22	18,15	21,1			23,7	26,9	29,1	36,1
	15	5,23	5,98	7,26	8,55	10,31			11,72	14,34	17,32	19,31	22,3			25,0	28,3	30,6	37,7
	16	5,81	6,61	7,96	9,31	11,15			12,62	15,34	18,42	20,5	23,5			26,3	29,6	32,0	39,3
	17	6,41	7,26	8,67	10,08	12,00			13,53	16,34	19,51	21,6	24,8			27,6	31,0	33,4	40,8
	18	7,02	7,91	9,39	10,86	12,86			14,44	17,34	20,6	22,8	26,0			28,9	32,3	34,8	42,3
	19	7,63	8,57	10,11	11,65	13,72			15,35	18,34	21,7	23,9	27,2			30,1	33,7	36,2	43,8
	20	8,26	9,24	10,85	12,44	14,58			16,27	19,34	22,8	25,0	28,4			31,4	35,0	37,6	45,3

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 109 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]