Основы теории надежности. Учебное пособие

В табл. 2.1 приведены непосредственно значения Р(t) в зависимости от x uр (t mt ) в употребительном диапазоне.

В литературе по надёжности часто вместо интегральной функции распределения F0 (x) используют функцию Лапласа

где z uр (t mt ) . Значения функции Лапласа приведены в табл. П4

приложений. Функция Лапласа является нечетной функцией, т. е. Ф( z) Ф(z) . Для нормально распределенной случайной величины

F0 (x) 12 (12)Ф(z) .

Вероятность отказа и вероятность безотказной работы, выраженные через функцию Лапласа, имеют следующий вид:

Помимо задачи оценки вероятности безотказной работы за данное время или за данную наработку встречается обратная задача – определение времени или наработки, соответствующих заданной вероятности безотказной работы. Значения этой наработки (времени) определяют с помощью квантилей нормированного нормального распределения

t mt uр . Значения квантилей даются в таблицах в зависимости от

требуемой вероятности, в частности, от вероятности безотказной работы. Например:

Операции с нормальным распределением проще, чем с другими, поэтому им часто заменяют другие распределения. При малых коэффи-

циентах вариации υ / mх нормальное распределение хорошо заме-

няет логарифмически нормальное, биномиальное и пуассоново распределения.

41

42

Пример 2.2. Оценить вероятность безотказной работы P(t) в тече-

ние t 1,5 104 ч изнашиваемого подвижного сопряжения, если ресурс по износу подчиняется нормальному распределению с параметрами

mt 4 104 ч, 104 ч.

Решение. Находим квантиль

up 1,5 104 4 4 104 2,5 ; 10

по табл. 2.1 определяем, что P(t) = 0,9938.

Пример 2.3. Оценить 80 %-й ресурс t0,8 гусеницы трактора, если долговечность гусеницы ограничена по износу, ресурс подчиняется

нормальному распределению с параметрами mt 104 ч, 6 103 ч. Решение. По табл. 2.1 при P(t) = 0,8 имеем up = – 0,842. Тогда

t0,8 mt uр 104 0,842 6 103 5 103 ч .

Пример 2.4. Определить вероятность первой замены детали при работе автомобиля с начала эксплуатации до наработки 70 000 км. Распределение наработки до первого отказа подчиняется нормальному за-

кону с параметрами тх 95 000 км, 30 000 км. Решение. Находим нормированное отклонение

z (x тх) / (70 000 95 000) / 30 000 0,83.

По табл. П4 приложения находим значение функции Лапласа:

Ф(– 0,83) = – 0,5935.

Тогда вероятность отказа

Q(x) 1/ 2 (12)Ф( 0,83) 0,20 .

Таким образом, примерно 20 % автомобилей потребует замены деталей при пробеге с начала эксплуатации до 70 000 км.

Пример 2.5. Определить вероятность отказа той же детали (пример 2.4) в интервале пробега от х1 = 70 000 км до х2 = 125 000 км.

Вероятность отказа в интервале пробега (х1 – х2) определяется разностью

Q(x2) – Q(x1) = (1/2)Ф(z2) – (1/2)Ф(z1).

43

Решение. Определяем нормированные отклонения:

z1 = – 0,83; z2 = (125 000 – 95 000)/30 000 = 1.

По табл. П4 приложения находим:

Ф(– 0,83) = – 0,5935; Ф(1) = 0,6827.

В интервале пробега 70 000…125 000 км вероятность отказа детали составляет

(1/2)Ф(z2) – (1/2)Ф(z1) = 0,64,

т. е. у 64 % автомобилей в этом интервале пробега произойдет отказ детали и потребуется ее замена или ремонт.

3. Логарифмически нормальный закон распределения. В дан-

ном распределении логарифм случайной величины распределяется по нормальному закону. Как распределение положительных величин, оно несколько точнее, чем нормальное, описывает наработку до отказа деталей, в частности, по усталости. Его успешно применяют для описания наработки подшипников, электронных ламп и других изделий. В технической эксплуатации этот закон ( υ = 0,3…0,5) встречается при описании усталостных разрушений, коррозии, наработки до ослабления крепёжных соединений и в ряде других случаев.

Плотность распределения (рис. 2.3) описывается зависимостью

44

Вероятность безотказной работы можно определить по таблицам для нормального распределения (см. табл. 2.1) в зависимости от значе-

ния квантили up (ln t ) / .

При υt 0,3 полагают υt , при этом ошибка 1 % .

Часто применяют запись зависимостей для логарифмически нормального распределения в десятичных логарифмах. Соответственно плотность распределения

заменять нормальным законом с параметрами mt и t .

Вероятность безотказной работы можно находить с помощью специальных таблиц для этого распределения или таблиц для нормального распределения.

45

Пример 2.6. Оценить вероятность P(t) отсутствия усталостных повреждений вала в течение t = 104 ч, если ресурс распределен логариф-

По табл. 2.1 определяем, что Р(t) = 0,9772.

4. Распределение Вейбулла. Распределение довольно универсально, охватывает путем варьирования параметров широкий диапазон случаев изменения вероятностей. Наряду с логарифмически нормальным распределением оно удовлетворительно описывает наработку деталей по усталостным разрушениям. Используется для оценки надежности деталей и узлов машин, в частности, автомобилей, подъемнотранспортных и других машин.

Примером использования распределения Вейбулла является распределение ресурса подшипника качения, который ограничивается одним из элементов: шарик или ролик, конкретный участок сепаратора и т. д. По аналогичной схеме наступает предельное состояние тепловых

46

Распределение Вейбулла имеет два параметра: параметр формы

т > 0 и параметр масштаба t0 > 0.

Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение соответственно

где bm, cm – коэффициенты (см. табл. 2.1).

Характеристики распределения записываются иногда в других обозначениях. Так, вероятность безотказной работы

P(t) e ta b ,

где b = m, a = t1/0 m .

Для закона Вейбулла в практических задачах технической эксплуатации автомобилей коэффициент вариации υ = 0,4…0,6.

Пример 2.7. Оценить вероятность безотказной работы P(t) роликоподшипников в течение t = 104 ч, если ресурс подшипников описыва-

ется распределением Вейбулла с параметрами t0 = 107 ч, m = 1,5.

Решение

P(t) e tm /t0 e 104 1,5 /107 0,905 .

Кроме перечисленных законов распределения, встречаются и другие законы (например, гамма-распределения, Релея), сведения о которых можно получить из специальной литературы. Важно при этом подчеркнуть, что понимание процессов изменения технического состояния объекта, знание соответствующих законов распределения случайных величин существенно облегчает и делает более точными инженерные расчеты, а также позволяет предвидеть вероятность наступления тех или иных событий. Например, если известно, что закон распределения нормальный, расчеты характеристик надёжности сводятся

киспользованию нормированной функции. Для экспоненциального закона и закона Вейбулла также построены таблицы или простые линейные номограммы – «вероятностная бумага».

Умение оценивать случайные величины позволяет на практике:

1)перейти от ожидания появления событий (отказы изделия, требования на услуги технического обслуживания и ремонта, заправку и др.)

кматематическому описанию и прогнозированию их реализаций с

47

определенной вероятностью. Это позволяет подготовить производство

кэффективной работе;

2)рассматривать риск как объективную реальность, свойственную любой деятельности и не зависящую от субъективного подхода исследователя. Для успешной производственной деятельности важно не стремиться полностью исключить риск (что нереально для случайных процессов), а уметь его оценить и выбрать с учетом возможных последствий.

2.3. Основы оценивания надежности изделий по результатам эксплуатации

Эксплуатация машин и оборудования сложных систем является наиболее информативным видом испытаний на надежность. При эксплуатации машины и оборудования испытывают реальные внешние нагрузки, режимы работы и обслуживания, которые невозможно создать в искусственных условиях. Эксплуатационная информация обрабатывается с целью обеспечения возможности решения различных задач, в частности:

определение причин отказов, повреждений, дефектов;

выявление деталей, сборочных единиц и комплектующих изделий, лимитирующих надежность машин;

обоснования норм расхода запасных частей, совершенствование структуры технического обслуживания и ремонта;

выявление влияния условий и режимов эксплуатации на надежность машин;

разработка научно обоснованных требований к качеству и надежности машин на основе изучения причин отказов.

Процесс обработки эксплуатационной информации состоит из двух

этапов:

1) предварительная обработка, в основе которой лежит классификация нарушений работоспособности изделий – разделение информации на три группы: конструктивные, производственные и эксплуатационные отказы;

2) математическая обработка эксплуатационной информации для получения оценок показателей надежности.

Далее рассматриваются классические методы математической статистики для анализа эксплуатационной информации о надежности объектов.

48

Выборка. Случайными величинами, которые подвергаются обработке по эксплуатационной информации, являются наработка до отказа, наработка на отказ, наработка до предельного состояния, время восстановления, число отказов, число восстановлений, т. е. непрерывные и дискретные случайные величины [5]

Х = {х1, х2, …, хn},

где значения хi, i 1, n называются выборкой из генеральной совокупно-

сти N (n N) , или просто выборкой, каждое отдельное значение хi –

элементом выборки, а общее количество элементов n – объемом выборки.

Предполагается, что число членов N в генеральной совокупности велико, а объем выборки n ограничен (n << N). Обычно генеральная совокупность считается бесконечной (N → ∞). При этом точные (теоретические) характеристики случайной величины (закон распределения, математическое ожидание, дисперсия и др.), относящиеся к генеральной совокупности, отличаются от аналогичных им выборочных (статистических) характеристик (статистических оценок) из-за ограниченности объема выборки n. Если n неограниченно возрастает, то все выборочные характеристики приближаются (сходятся по вероятности) к соответствующим характеристикам генеральной совокупности. Выборочные характеристики в отличие от характеристик генеральной совокупности являются случайными величинами.

Первичный статистический материал при дальнейшей обработке обычно представляют в виде вариационного или статистического рядов. Вариационный ряд представляет собой совокупность упорядочен-

ных значений случайной величины вида x1 ≤ x2 ≤ x …≤ xn. Статистическим рядом (или гистограммой) называется таблица, в которой приведены интервалы в порядке их расположения на числовой оси и соответствующие им частоты (частости):

где mi – число значений случайной величины в i-м интервале.

Если выборка однородна и достаточно большая, то с помощью вариационного и статистического рядов определяются статистические оценки показателей надежности.

49

Определение законов распределения случайных величин по эксплуатационной информации. Для полной характеристики любой случайной величины необходимо знать ее закон распределения в виде функции распределения (в нашем случае вероятности отказа) или плотности вероятности. Определение закона распределения отказов (или восстановлений) по опытным данным, т. е. по выборке, осуществляется в три этапа:

1)выбор предполагаемого вида закона распределения;

2)проверка согласия выборки с принятым законом распределения, т. е. согласованности опытного распределения с теоретическим. На этом этапе часто используется критерий Пирсона (критерий χ2), а также критерии согласия Колмогорова, Фишера, Мизеса;

3)оценка параметров выбранного закона распределения. Рассмотрим на примере математическую обработку эксплуатацион-

ной информации.

Пример 2.8. В процессе эксплуатации автомобильных двигателей заменялись детали цилиндропоршневой группы (ЦПГ) (кольца, гильзы, поршни) при превышении допустимого износа рабочих поверхностей. В результате наблюдений зафиксировано N = 66 первых замен деталей ЦПГ при наработках, приведенных в таблице.

Вариационный ряд значений ресурса l, тыс. км

( значения расставлены по возрастанию)

12470, 2

Предполагая, что распределение ресурса деталей ЦПГ до первой замены подчиняется нормальному распределению, требуется:

определить параметры распределения;

50