Основы теории надежности. Учебное пособие

4. НАДЕЖНОСТЬ СИСТЕМ

4.1. Общие сведения

Большинство изделий в технике являются системами. Сложные системы делятся на подсистемы.

С позиции надежности различают системы с последовательным,

параллельным и комбинированным соединением элементов.

В задачах надежности к системам с последовательным соединением элементов относят системы, в которых отказ элемента приводит к отказу системы. Например, систему подшипников механических передач рассматривают как последовательную, хотя подшипники каждого вала работают параллельно.

Примерами систем с параллельным соединением элементов являются энергетические системы из электрических машин, работающих на общую сеть, многомоторные самолеты, суда с двумя машинами и резервированные системы.

Примеры комбинированных систем – частично резервированные системы.

4.2. Расчет надежности при основном соединении элементов

В этом случае вероятность безотказной работы системы, состоящей из N элементов при условии, что отказы элементов независимы, равна

N

P(t) P1(t)P2 (t)...Pn (t) Pi (t) ,

i 1

где Pi (t) – вероятность безотказной работы i-го элемента. Таким обра-

зом, вероятность безотказной работы системы равна произведению вероятностей безотказной работы отдельных элементов. Здесь использо-

вана известная теорема умножения вероятностей: вероятность про-

71

изведения, т. е. совместного проявления независимых событий, равна произведению вероятностей этих событий.

При одинаковой надежности элементов P1(t) = P2(t) =…= Pn(t)

P(t) P1n (t) .

Поэтому надежность сложных систем получается низкой. Так, если система состоит из 10 элементов с вероятностью безотказной работы 0,9 (как в подшипниках качения), то общая вероятность получа-

ется 0,910 ≈ 0,35.

При расчете надежности систем с основным соединением элементов и учетом лишь внезапных отказов обычно принимают допущение о простейшем характере потока отказов. Так как поток отказов принимается стационарным, то

Вычисление других количественных характеристик безотказности системы в этом случае производится по следующим формулам:

интенсивность отказов

N

i ,

i 1

средняя наработка до отказа

плотность распределения времени безотказной работы

72

4.3. Расчет надежности резервированных систем

Для повышения надежности сложных систем применяют резервирование. Резервирование позволяет уменьшить вероятность отказа на несколько порядков. Здесь рассматривается структурное резервирование, осуществляемое введением в систему резервных составляющих, избыточных по отношению к минимально необходимой структуре объекта и выполняющих те же функции, что и основные.

Применяют: 1) постоянное резервирование с нагруженным или горячим резервом; 2) резервирование замещением с ненагруженным или холодным резервом; 3) резервирование с резервом, работающим в облегченном режиме.

Резервирование наиболее широко применяется в радиоэлектронной аппаратуре, в которой резервные элементы имеют малые габариты и легко переключаются. В транспортных машинах, в частности в автомобилях, применяют двойную или тройную систему тормозов; в грузовых автомашинах – двойные шины на задних колесах. В пассажирских самолетах применяют 3–4 двигателя и несколько электрических

машин. Выход из строя одной или даже нескольких машин, кроме последней, не приводит к аварии самолета. В морских судах – по две машины. Число эскалаторов, паровых котлов выбирают с учетом возможности отказа и

……необходимости ремонта. Применение запасных деталей на

Вероятность отказа всех элементов (основного и резервных) по теореме умножения вероятностей

N

Q(t) Q1(t) Q2 (t)...Qn (t) Qi (t) ,

i 1

где Qi (t) – вероятность отказа i-го элемента.

Вероятность безотказной работы P(t) = 1 – Q (t). Если элементы одинаковы, то

Q(t) Q1n (t) иP(t) 1 – Q1n (t).

73

Например, если Q1(t) = 0,01 и n = 2 (дублирование), то P(t) = 0,9999.

Если Q1 (t) = 0,01 и n = 3 (двойное резервирование), то P(t) = 0,999999. Таким образом, в системах с последовательным соединением элементов определяют вероятность безотказной работы перемножением вероятностей безотказной работы элементов, а в системах с параллельным соединением – вероятность отказа перемножением вероятно-

стей отказа элементов.

Если в системе (рис. 4.3, частично зарезервированная система) a элементов не дублированы, а b элементов дублированы, то надежность системы

причем все элементы постоянно включены, работают параллельно и вероятность их безотказной работы P подчиняется экспоненциальному закону, то вероятность безотказной работы системы может быть определена по таблице [6].

При резервировании замещением резервные элементы включаются только при отказе основных элементов. Это включение может производиться автоматически или вручную.

Для основного случая экспоненциального распределения отказов при малых значениях λt, т. е. при достаточно высокой надежности элементов, вероятность отказа системы (рис. 4.2) равна

74

Если элементы одинаковы, то

Q(t) ( t)n . n!

Формулы справедливы при условии, что переключение абсолютно надежно. При этом вероятность отказа в n! раз меньше, чем при постоянном резервировании, так как меньшее количество элементов находится под нагрузкой. Если переключение недостаточно надежно, то выигрыш может быть утерян.

Для поддержания высокой надежности резервированных систем отказавшие элементы необходимо восстанавливать или заменять.

Применяют резервированные системы, в которых отказы (в пределах числа резервных элементов) устанавливают при периодических проверках, и системы, в которых отказы регистрируются при их появлении.

В первом случае система может начать работать с отказавшими элементами. Тогда расчет надежности ведут за период от последней проверки. Если предусмотрено немедленное обнаружение отказов и система продолжает работать во время замены элементов или восстановления их работоспособности, то отказы опасны за время до окончания ремонта и за это время ведут оценку надежности.

Рассмотрим надежность дублированных элементов в периоды восстановления отказавшего элемента пары.

Обозначим: λ – интенсивность отказов основного элемента, λр – ре-

зервного и Tв – среднее время восстановления работоспособного состояния (ремонта). Тогда вероятность безотказной работы

В автоматических линиях применяют накопители, которые разбивают линии на отдельные участки, причем отказ какого-либо элемента (станка) вызывает остановку не всей линии, а только одного участка. В это время другие участки продолжают работу, получая заготовки от накопителя или подавая заготовки в накопитель. При этом вероятность безотказной работы линии меньше этой вероятности для последнего

75

участка и приближается к ней при увеличении емкости накопителя. Вероятность длительной безотказной работы линии меньше вероятностей для лимитирующего участка.

Эффективность разных способов резервирования рассмотрим на си-

стеме из четырех последовательно соединенных элементов с вероят-

ностью безотказной работы каждого 0,9 (рис. 4.4) [6].

б

г

Н

Рис. 4.4

Вероятность безотказной работы системы без резервирования

(рис. 4.4, а)

P(t) P14 (t) 0,94 0,65 и Q(t) 0,35,

дублированной системы с постоянным резервом в виде такой же системы (рис. 4.4, б)

P(t) = 1 – Q2(t) = 1 – 0,352 ≈ 0,88,

дублированной системы с ненагруженным резервом и вполне надежным переключателем

P(t) 1 Q2 (t) 1 0,352 0,94 , 2! 2!

системы с независимым постоянным дублированием каждого элемента

(рис. 4.4, в)

P(t) 1 – Q12 (t) 4 (1 – 0,12 )4 0,96,

такой же системы с независимым ненагруженным дублированием

76

Если систему, например автоматическую линию, рассматривать как технологическую и поставить в середине накопитель высокой надежности (рис. 4.4, г), то вероятность безотказной работы поднимается с 0,65 до величины, несколько меньшей 0,81.

Пример наглядно показывает, что поэлементное резервирование эффективнее, чем общее, а резервирование замещением при совершенно надежном переключении эффективнее, чем постоянное.

Рассмотрим надежность при резервировании с постоянно подключенными резервными элементами, работающими до отказа основных элементов в облегченном режиме. Для случая резервирования высоконадежного элемента с экспоненциальным законом распределения и интенсивностью отказов λ элементами, работающими в облегченном ре-

жиме с интенсивностью отказов λ1, вероятность безотказной работы при одном резервном элементе

P(t) 1 ( 1) t; 2!

при двух резервных элементах

P(t) 1 ( 1)( 2 1) t; 3!

при m – 1 резервных элементах

P(t) 1 ( 1)... (m 1) 1 t . m!

77

5. ИСПЫТАНИЯ НА НАДЕЖНОСТЬ

5.1. Виды испытаний на надежность

Существующие методы испытаний на надежность можно квалифицировать в зависимости от [5]:

целей испытания – определительные и контрольные испытания на надежность;

режима испытаний – в нормальных условиях и ужесточенных режимах;

длительности испытаний – обычные испытания на надежность и ускоренные;

стадии создания объектов – испытания на этапе проектирования

иопытного производства; этапе серийного производства; этапе экс-

плуатации;

места проведения испытаний – в лабораторных условиях и в условиях эксплуатации;

используемого аппарата исследования – натурный эксперимент и моделирование;

объектов исследования – испытания комплектующих элементов; простых систем; сложных или больших систем.

Наличие разнообразных методов показывает, что задача определе-

ния количественных значений показателей надежности объектов относится к числу сложных задач.

Для проведения испытаний объектов на надежность используются разнообразные пути:

по отказам объектов при испытаниях (чисто статистическая оценка надежности);

по результатам наблюдений за изменением выходных параметров объектов при действии внутренних и внешних факторов;

по результатам изменений параметров физико-химических процессов, имеющих место в материале объектов;

по данным реальной эксплуатации объектов.

Врезультате испытаний на надежность должны быть получены фактические значения показателей надежности конкретного объекта.

При оценке показателей надежности по результатам испытаний решаются основные задачи математической статистики: оценка неизвестных параметров распределений и проверка различных статистических гипотез.

78

5.2. Определительные испытания на надежность

По результатам определительных испытаний получают количественные значения показателей надежности испытанных объектов. На рис. 5.1 дана классификация определительных испытаний на надежность [5].

Определительные испытания на надежность

Рис. 5.1

По характеру оценок. Среднее значение случайной величины дает достаточное для практических целей представление о надежности объекта, особенно тогда, когда необходимо провести сравнение объектов либо их конструктивных вариантов.

Для получения более подробной информации о надежности вводятся понятия доверительной вероятности и доверительного интервала. Доверительной вероятностью (достоверностью) называют вероятность того, что истинное значение оцениваемого параметра лежит в заданном интервале, называемом доверительным. Доверительный интервал для вероятности P ограничен нижней Pн и верхней Pв доверительными границами:

Вер (Pн ≤ P ≤ Pв) = β,

где символ «Вер» обозначает вероятность события, а β показывает значение двусторонней доверительной вероятности, т. е. вероятности по-

79

падания в интервал, ограниченный с двух сторон. На практике основной интерес представляет односторонняя вероятность, что числовая характеристика не меньше нижней или не выше верхней границы. Первое условие, в частности, относится к вероятности безотказной работы и средней наработки на отказ, второе – к среднему времени восстановления. Например, для вероятности безотказной работы условие имеет вид

Вер (Pн ≤ P) = ,

где – односторонняя доверительная вероятность нахождения числовой характеристики в интервале, ограниченном с одной стороны.

Обычно принимают = 0,7…0,8 на стадии испытаний опытных образ-

цов, = 0,9…0,95 на стадии передачи разработки в серийное производство.

Рассмотрим случай невосстанавливаемых изделий [6]. Наиболее характерна ситуация, когда объем выборки меньше 1/10 части генераль-

ной совокупности. Тогда для оценки нижней Pн и верхней Pв границ вероятности безотказной работы используют биномиальное распреде-

ление. При испытаниях n изделий доверительную вероятность 1 – выхода на каждую из границ принимают равной вероятности появления в одном случае не более m отказов, в другом случае не менее m отказов:

Пример 5.1. Оценить Pн при доверительной вероятности = 0,9, если испытано три изделия и отказало одно m = 1.

Решение. По формуле (5.1)

В итоге получаем Pн = 0,2.

80