Основы теории надежности. Учебное пособие

Потоком Эрланга k-го порядка называется поток, получающийся в результате сохранения каждого k-го события в простейшем потоке.

При k = 1 поток Эрланга – простейший. С увеличением числа k последействие возрастает. При k → ∞ поток приближается к регулярному потоку с постоянным интервалом между событиями

Tk = 1 / λk.

Дифференциальный закон распределения потока Эрланга

fk (t) ( t)k 1 e t ,

(k 1)!

где λ – интенсивность простейшего потока.

Интенсивность отказов при потоке Эрланга λk = λ / k, математическое ожидание времени между событиями mk(t) = Tk = 1/ λk, дисперсия

времени между событиями Dk (t) 1 k 2k .

3.2.Марковские случайные процессы

втеории надежности

При изучении сложных технологических, транспортных, АСУ и других систем используют математические модели, основанные нам марковских случайных процессах (в честь русского математика А.А. Маркова).

Определения. Если случайная величина изменяется в процессе опыта, то возникает случайная функция – функция, которая в результате опыта может принять тот или другой вид, заранее неизвестный.

Если аргументом случайной функции является время, то такая слу-

чайная функция называется вероятностным (случайным) процессом.

Потоком событий называется последовательность однородных событий, появляющихся одно за другим в случайные моменты времени. Примеры: поток вызовов на телефонной станции; поток машин, подъезжающих на заправочную станцию; поток заявок на ремонт, поступающих в ремонтную организацию и т.п. События, образующие поток, в общем случае могут быть и неоднородными, например, если в потоке автомашин, прибывающих на заправку, различать легковые и грузовые.

61

Понятия «поток событий» и «процесс» взаимосвязаны. Процесс смены состояний объекта, например, вызывается потоками отказов и потоками восстановлений.

Понятие марковского случайного процесса. Особенность этого процесса состоит в том, что вероятность любого состояния системы (например, автомобиля, группы автомобилей) в будущем зависит только от ее состояния в настоящее время и не зависит от того, когда и какими путями она пришла в это состояние.

Так, работоспособность автомобиля в будущем зависит только от фактического технического состояния, к которому автомобиль может прийти по-разному.

В теории технической эксплуатации наибольшее применение находят цепи Маркова. В цепях Маркова четко определены состояния си-

стемы S1, S2, …, Sn. Переход из состояния в состояние осуществляется

в дискретные моменты времени t1, t2, …, tk и определяется переходными вероятностями.

Цепи Маркова хорошо иллюстрируются графом состояния системы, на котором кружками или прямоугольниками отмечены сами состояния и стрелками направления переходов. Если на графе под стрелками указаны вероятности перехода, то он называется размеченным графом состояний (рис. 3.3).

Рис. 3.3

Марковский процесс с дискретным состоянием и непрерывным временем (непрерывные цепи Маркова) характеризует функционирование систем, у которых переход из состояния в состояние происходит в случайные моменты времени, а сами состояния дискретны, например, появление отказа, неисправности. Для этого процесса, который

62

также может быть изображен графом (рис. 3.3), рассматривают плотность вероятностей перехода ij , которая определяется как предел

отношения вероятности перехода системы за малый промежуток времени t из состояния Si в состояние Sj к длине промежутка t , стремящейся к нулю:

где Pij – вероятность того, что система, находившаяся в момент t в состоянии Si, за время t перейдет из него в состояние Sj (плотность вероятности перехода определяется только для j i ). При малом t ве-

роятность перехода Pij ( t) (с точностью до бесконечно малых высших порядков) равна ij t :

Pij ( t) ij t .

Если все плотности вероятностей перехода ij не зависят от t, то

марковский процесс называется однородным, а в противоположном случае – неоднородным.

Определение вероятностей состояний марковского процесса.

Имея данные по плотностям вероятностей перехода ij , можем рас-

считать вероятности всех состояний системы в разные моменты времени, т. е. определить вероятность первого состояния P1(t), второ-

го P2(t) и т. д. Эти вероятности определяются из системы дифференциальных уравнений А.Н. Колмогорова, которые строятся по следующему правилу:

в левой части уравнения помещается производная вероятности соответствующего состояния, например dP1/dt;

правая часть содержит столько членов, сколько стрелок связано

сданным состоянием;

каждый член правой части уравнения равен произведению плотности вероятностей перехода, соответствующей данной стрелке, на вероятность того состояния, из которого исходит стрелка;

если стрелка направлена из состояния, соответствующий член правой части имеет знак «минус»; если в состояние – знак «плюс».

63

Например, для размеченного графа состояний (рис. 3.3) записывается следующая система уравнений:

dP1 / dt 12 13 14 P1 21P2 41P4 ;

dP2 / dt 12 P1 32 P3 21P2 ; dP3 / dt 13P1 32 34 P3;

dP4 / dt 14 P1 34 P3 41P4.

В уравнениях для краткости опущены индексы t, т. е. вместо P1(t)

записано P1 и т. д.

Так называемые финальные (или предельные) состояния (при t ) определяются из приведенной системы уравнений, у которых

левые части приравниваются нулю, и нормировочного условия P1 + P2 + + P3 + P4 = 1. Эти финальные вероятности характеризуют среднее вре-

мя пребывания системы в соответствующих состояниях S1, S2, S3, S4. Одним из распространенных случаев марковского процесса с дис-

кретным состоянием и непрерывным временем являются простейшие процессы, или потоки, обладающие свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последействия.

Процесс «гибели и размножения»

1. Если в марковских процессах с непрерывным временем все дискретные состояния располагаются в последовательную цепь с переходами (рис. 3.4), то это так называемый «процесс гибели и размножения». Переход вправо связан с «размножением», а влево – с «гибелью». Очевидно:

для первого состояния имеется равновесие 12 P1 21P2 ;

для второго состояния 23P2 21P2 12 P1 32 P3 ,

но, учитывая равенство для первого состояния, получаем23P2 32 P3 , т. е. для данного процесса имеет место соотношение

k 1,k Pk 1 k,k 1Pk .

Используя это соотношение, а также нормировочное условие

Р1 + Р2 +…+Рn = 1,

64

определяем предельные вероятности:

Рис. 3.4

Пример 3.1. Система S представляет собой техническое устройство (ТУ), которое может находиться в одном из двух состояний: S1 –

ТУ исправно (работает); S2 – ТУ неисправно (находится в ремонте). На рис. 3.5 представлен граф состояний ТУ.

Написать уравнения Колмогорова для вероятностей состояний и

Подставляя выражение (б) в первое из уравнений (а) и отбрасывая второе, получим одно дифференциальное уравнение с одной неизвест-

ной функцией P1:

dP1 dt 12 21 P1 21 . (в)

65

Решая это линейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами известным в математике методом при начальном

условии Р1(0) = 1, получим

Частный случай. Пусть интенсивности 12 (t) , 21(t) не зависят от

Вместо общей формулы (г) проще решить линейное дифференци-

Графики зависимостей (д) и (е) показаны на рис. 3.6. Отметим, что при t в системе устанавливается стационарный режим, для кото-

66

S1 в S2 и обратно, но вероятности этих состояний уже не зависят от времени. Их можно истолковать как среднее относительное время пре-

бывания ТУ в соответствующих состояниях S1 и S2.

Пример 3.2. В автохозяйстве имеется n автомашин. Каждая из этих автомашин (независимо от других) может выходить из строя; интенсивность простейшего потока отказов автомашины равна . Отказав-

шая автомашина становится на стоянку и ожидает начала ремонта. Время ожидания начала ремонта автомашины распределено по показательному (экспоненциальному) закону с параметром . Время ремонта

автомашины распределено по показательному закону с параметром .

Для предельных вероятностей, приравнивая левые части уравнений (а) нулю, получаем

3

Заменяя последнее равенство на нормировочное условие Pi 1 ,

i 1

получим систему уравнений

Из первого уравнения системы (б) получаем P3 P1 . Запишем третье уравнение системы (б) в виде

67

Пример 3.3. На крупном АТП имеется компрессорная станция, состоящая из трех одинаковых компрессоров, средняя выработка на отказ каждого из которых составляет х . Поток отказов – простейший.

Среднее время ремонта равно tp . Определить среднюю производи-

тельность станции при условии, что производительность трех ком-

прессоров W1 = 100 %, двух W2 = 70 %, одного W3 = 35 %.

Решение. Поток отказов одного компрессора по условию является простейшим с экспоненциальным распределением наработки между отказами и параметром 1/ x .

Если работают все три компрессора (состояние S1), то потоки отказов возрастают в три раза, т. е. 12 3/ x (см. рис. 3.4).

При работе двух компрессоров (состояние S2) 23 2 / x , одного

(состояние S3) 34 1/ x .

При состоянии S4 все три компрессора ремонтируются.

В рассматриваемой модели учитывается не только интенсивность отказов, но и интенсивность восстановления , которая при экспонен-

циальном законе распределения продолжительности восстановления

68

Средняя производительность компрессорной станции в установившемся режиме

0,79W1 0,19 0,7 W1 0,015 0,35W1 0,93W1.

Если средняя наработка на отказ будет ниже, например 32 ч, то вероятности соответственно составят:

Р1 = 0,702; Р2 = 0,265; Р3 = 0,032; Р4 = 0,001,

а средняя производительность компрессорной станции сократится до 0,89W1.

2. Если в марковском процессе с непрерывным временем дис-

кретные состояния связаны между собой в одно кольцо и имеют односторонние переходы, то такой процесс называется циклическим.

Например, автомобиль последовательно (рис. 3.8) может быть исправным и работать (S1), ожидать ремонта (S2), ремонтироваться (S3), ожидать работы после ремонта (S4) и снова работать (S1). Плотности вероятности переходов будут соответственно 12 , 23 , 34 , 41.

41

Рис. 3.8

Для предельных вероятностей, т. е. dP/dt = 0, и при переходе из первого во второе состояние имеем

69

23P2 12P1 , далее 34 P3 23P2 ,

k 1,k Pk 1 k,k 1Pk ,

Так как рассматриваемый процесс – пуассоновский, среднее время пребывания системы в состоянии Si равно ti 1/ i,i 1 , откуда

i 1

Пример 3.4. Определить предельные вероятности для случая, рассмотренного на рис. 3.8, при условии, что t1 Tн , t2 0,3Tн , t3 0,19Tн ,

t4 0,8Tн , где Тн – среднее время нахождения автомобиля в наряде.

n

Решение. Используя формулу Pk tk / ti , получаем:

i 1

P1 = 1/2,29 = 0,44; P2 = 0,13; P3 = 0,08; P4 = 0,35.

70