Основы теории надежности. Учебное пособие

Параметр потока отказов (t) – показатель надёжности восста-

навливаемых изделий, равный отношению математического ожидания числа отказов восстанавливаемого объекта за достаточно малую его наработку к значению этой наработки

(t) d (t) / dt 1/ Tср ,

где функция (t) – среднее число отказов (математическое ожидание

числа отказов) за время t; Тср – наработка на отказ: отношение суммарной наработки (длительности работы) восстанавливаемого объекта к математическому ожиданию числа его отказов в течение этой наработки (т. е. средняя продолжительность безотказной работы изделия).

1.5.2. Показатели долговечности

Гамма-процентный ресурс Тpγ – суммарная наработка, в течение которой объект не достиг предельного состояния с вероятностью γ, выраженной в процентах. Обычно γ принимает значения, равные 80; 85; 90; 95 %.

Другими словами, гамма-процентный ресурс показывает, что γ процентов объектов данной модификации должны иметь наработку до

предельного состояния не ниже величины Тpγ. Величина γ является регламентированной вероятностью

P(Тpγ) = γ/100.

Ресурс – суммарная наработка объекта от начала его эксплуатации или ее возобновления после ремонта до перехода в предельное состояние.

Срок службы – календарная продолжительность эксплуатации от начала эксплуатации объекта или ее возобновления после ремонта до перехода в предельное состояние.

Средний ресурс Тp – математическое ожидание ресурса, т. е. средняя величина наработки или срока службы до предельного состояния объекта.

Гамма-процентный срок службы Тсл γ – календарная продолжи-

тельность эксплуатации объекта, в течение которой он не достиг предельного состояния с вероятностью γ, выраженной в процентах.

Средний срок службы Тсл – математическое ожидание срока службы.

31

1.5.3. Показатели ремонтопригодности

Вероятность восстановления Pв(t) – вероятность того, что факти-

ческое время восстановления работоспособного состояния объекта tвф

не превысит заданного (нормативного) значения tвн, регламентированного нормативными документами:

Pв(t) P tвф tвн .

Данная величина характеризует приспособленность объекта к проведению текущего ремонта.

Среднее время восстановления Тв – математическое ожидание времени восстановления работоспособного состояния объекта после отказа. Данный показатель характеризует продолжительность вынужденного простоя объекта, необходимого для поиска и устранения одного отказа.

Средняя трудоемкость восстановления – математическое ожида-

ние трудоемкости восстановления объекта после отказа.

1.5.4. Показатели сохраняемости

Показатели сохраняемости характеризуют свойство объекта сохранять показатели безотказности, долговечности и ремонтопригодности в установленных пределах в процессе длительного хранения и транспортирования. Эти показатели применяются, например:

для автомобилей – при длительном хранении (консервации) и транспортировании,

для материалов (масел, жидкостей, красок) и некоторых видов изделий (шин, аккумуляторных батарей и др.) – при хранении.

Средний срок сохраняемости Тс – математическое ожидание срока сохраняемости.

Срок сохраняемости – календарная продолжительность хранения и (или) транспортирования объекта, в течение которой сохраняются в заданных пределах значения параметров, характеризующих способность объекта выполнять заданные функции.

Гамма-процентный срок сохраняемости Тсγ – срок сохраняемо-

сти, достигаемый объектом с заданной вероятностью γ, выраженной в процентах.

32

2.СТОХАСТИЧЕСКИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ

ВТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ

2.1. Аналитические зависимости между показателями надежности

Между основными показателями надежности существуют аналитические зависимости. Приведем некоторые из них [5].

Зависимость между вероятностью безотказной работы и средней наработкой до отказа. Средняя наработка до отказа (см. разд. 1)

Tср tf (t)dt .

0

Так как f (t) = dQ(t)/dt и Q(t) = 1 – P (t), то после интегрирования по частям получаем

Tср P(t)dt ,

0

т. е. средняя наработка до отказа равна площади под кривой вероятности безотказной работы объекта.

Связь между вероятностью безотказной работы и интенсивно-

стью отказов. Число объектов, работоспособных к моменту времени t, в среднем равно

Nр(t) = NP(t),

где N – число объектов, поставленных на испытания. К моменту t + t их число будет равно

Nр(t + t) = NP(t + t).

34

Тогда число отказавших объектов n( t) определяется как разность

n( t) N р – N р(t t) N P(t) – P(t t) .

Подставив значения n( t) в выражение для интенсивности отказов,

(t) n( t) ,

Nр(t) t

получим

(t) N P(t) P(t t) .

При стремлении t → 0 и переходе к пределу получим

(t) P (t) f (t) .

P(t) P(t)

После интегрирования имеем

Связь между вероятностью безотказной работы, интенсивностью отказов и средней наработкой до отказа. Среднюю наработку до отказа можно вычислить через интенсивность отказов. Если

Для нормального периода эксплуатации λ(t) = const, поэтому

Tср =const e t dt 1 . 0

35

Таким образом, при постоянной интенсивности отказов объекта его средняя наработка до отказа есть величина, обратная интенсивности отказов. В этом случае вероятность безотказной работы можно записать в виде

P(t) e t e t /Tср .

Плотность вероятности f (t) имеет вид

f (t) = λ(t) P(t) = λe−λt.

Зависимость между плотностью вероятности времени безотказной работы и параметром потока отказов. Приведем готовое урав-

нение, известное под названием уравнения Вольтерра (вывод см. [5]):

t

(t) f (t) ( ) f (t )d .

0

Решение уравнения показывает (независимо от вида функции f (t), т. е. независимо от закона распределения времени безотказной работы), что параметр потока отказов объектов стремится к постоянной ве-

личине – обратной средней наработке на отказ Т0:

lim (t) 1 T0 .

t

2.2. Законы распределения случайной величины

Основным понятием теории надежности является понятие «отказ», заключающийся в нарушении работоспособного состояния объекта. Несмотря на то что сам факт отказа объекта – явление детерминированное, однако неполнота сведений об объекте и протекающих в нем и окружающей среде процессов приводит к вероятностному характеру отказов, т.е. отказ может быть вызван разными причинами и иметь различный характер и природу. Так как время появления отказа – величина случайная, вероятность этого события может быть вычислена с применение разнообразных подходов. Наиболее обоснованным из них является применение в теории надежности методов теории вероятности, математической статистики и теории случайных процессов. Основные характеристики случайных величин были рассмотрены ранее в разд. 1. Далее рассмотрим наиболее часто используемые в теории

36

надежности законы распределения случайной величины в приложении

кавтомобильному транспорту.

1.Экспоненциальный закон распределения используется чаще всего при описании внезапных отказов, характерных для периода нормальной эксплуатации. В этот период постепенные отказы еще не проявляются и надёжность характеризуется внезапными отказами. Эти отказы вызываются неблагоприятным стечением многих обстоятельств и

боты и одинакова за любой одинаковый промежуток времени в период нормальной эксплуатации:

Плотность распределения (в общем случае) f (t) dP(t) / dt e t .

При экспоненциальном законе распределения коэффициент вариации υ=1.

Экспоненциальным законом распределения можно аппроксимировать время безотказной работы широкого круга объектов (изделий): особо ответственных машин, эксплуатируемых в период после окончания приработки и до существенного проявления постепенных отказов; машин с последовательной заменой отказавших деталей; машин вместе с электро- и гидрооборудованием и системами управления и др.; сложных объектов, состоящих из многих элементов (при этом время безотказной работы каждого может не быть распределено по

37

экспоненциальному закону; нужно только, чтобы отказы одного элемента, не подчиняющегося этому закону, не доминировали над другими).

Существенное достоинство экспоненциального распределения – его простота: оно имеет только один параметр.

Если, как обычно, t 0,1 , то формула для вероятности безотказ-

ной работы упрощается в результате разложения в ряд и отбрасывания малых членов:

P(t) 1 t ( t)2 / 2! ( t)3 / 3! ... 1 t .

Приведем значения вероятности безотказной работы в зависимости от (t)t t / mt :

Так как при t / mt 1 вероятность P(t) 0,37 , то 63 % отказов возникает за время t mt и только 37 % позднее. Из приведенных значе-

ний следует, что для обеспечения требуемой вероятности безотказной работы 0,9 или 0,99 можно использовать только малую долю среднего срока службы (соответственно 0,1 и 0,01).

На основе экспоненциального закона распределения, можно определить среднее число изделий n, которые выйдут из строя к заданному моменту времени, и среднее число изделий Nр, которые останутся работоспособными. При t 0,1

n N t; Np N (1 t) .

Пример 2.1. Оценить вероятность P(t) отсутствия внезапных отказов механизма в течение t = 10 000 ч, если интенсивность отказов составляет λ = 10−8 ч−1.

Решение. Так как t 10 8 104 10 4 0,1 , то используем приближенную зависимость

P(t) 1 t 1 10 4 0,9999 .

Расчет по точной зависимости P(t) e t в пределах четырех знаков после запятой дает точное совпадение.

38

2. Нормальный закон распределения. Нормальное распределе-

ние является наиболее универсальным, удобным и широко применя-

Распределение имеет два независимых параметра: математическое ожидание mt и среднее квадратическое отклонение . Значения этих

параметров оценивают по результатам испытаний по формулам

где t , – оценки математического ожидания и среднего квадратиче-

ского отклонения. Сближение параметров и их оценок увеличивается с увеличением числа испытаний.

Математическое ожидание определяет на графике положение петли, а среднее квадратическое отклонение – ширину петли. Кривая плотности распределения тем острее и выше, чем меньше . Она начинается

от t и распространяется до t . Практически рассеяние нормально распределенной величины заключено на участке mt 3 . Ве-

роятность того, что случайная величина не попадет за этот участок, очень мала и равна 0,0027, т. е. это событие может произойти лишь в трех случаях из 1000. Такие события можно считать практически

39

невозможными. Наибольшая ордината кривой плотности распределения равна 0,399 / σ.

t

Интегральная функция распределения имеет вид F(t) f (t)dt .

Вероятность отказа и вероятность безотказной работы соответственно

Q(t) = F (t), P(t) 1 Q(t) .

Вычисление интегралов заменяют использованием таблиц. Таблицы для нормального распределения в функции (t mt ) и были бы гро-

моздкими, так как имели бы два независимых параметра. Можно обойтись небольшими таблицами для нормального распределения, у которо-

го mx 0 и 1 . Плотность распределения с параметрами mx 0 ,

1 называют нормированной плотностью, а ее график – нормирован-

ной нормальной кривой. Для этого распределения функция плотности f0 (x) 12 e x22

имеет одну переменную х. Величина х является центрированной, так как mx 0 , и нормированной, так как 1 . Функция плотности рас-

пределения записывается в относительных координатах с началом на оси симметрии петли.

Функция распределения – интеграл от плотности распределения

x

F0 (x) f0 (x) dx . Из этого уравнения следует, что

F0 (x) F0 ( x) 1 → F0 ( x) 1 F0 (x) .

Для использования таблиц следует применять подстановку x (t mt ) ; при этом х называется квантилью нормированного нор-

мального распределения и обычно обозначается uр .

Плотность распределения, вероятность отказа и вероятность безотказной работы соответственно

где f0 (x) и f0 (x) берутся по таблицам [Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики.– М.,1965]. Например:

40