Основы теории надежности. Учебное пособие

проверить гипотезу о виде распределения;

рассчитать плотность распределения, вероятность безотказной работы;

по результатам расчетов построить гистограмму и кривые эмпирической и теоретической плотности распределения вероятностей и вероятности безотказной работы.

Решение

Построение интервального вариационного ряда. Оптимальный интервал h вычисляется по формуле Стэрджеса [4]:

h (lmax lmin )(1 3,322lg N ) ,

где lmax = 312,5 тыс. км, lmin = 66,3 тыс. км – соответственно максимальное и минимальное значение ресурса (табл. 2.2); N = 66 – общее число наблюдений.

Тогда

h = (312,5 – 66,3) / (1 + 3,322 lg N) = 34,9 тыс. км.

Окончательно принимаем ближайшее целое число h = 35 тыс. км. За начало первого интервала принимаем величину

l1 lmin h2 = 66,3 – 35/2 = 48,8 тыс. км;

начало второго интервала совпадает с концом первого интервала и

Шкала интервалов и группировка результатов наблюдений приведены в табл. 2.2.

51

Определение параметров и характеристик нормального распре-

деления. Плотность вероятности имеет вид

Статистические характеристики теоретического распределения оцениваем по результатам испытаний:

математическое ожидание (для интервального вариационного ряда, табл. 2.2)

среднеквадратическое отклонение (для интервального вариационного ряда)

r

(lr ml )2 ni

52

значения эмпирической плотности распределения вероятностей fэ(lr ) по интервалам наработки (табл. 2.3):

нормированные и центрированные отклонения середины интервалов yr (см. табл. 2.3):

деления (см. табл. П2 приложения);по результатам расчета строятся гистограмма середины интерва-

лов fn (l), кривая распределения плотностей вероятностей fэ(lr ) и теоретическая кривая распределения fт(lr ) (рис. 2.5).

Проверка согласия между эмпирическим и теоретическим (нормальным) распределениями по критерию Пирсона. Как следует из анализа интервального вариационного ряда (см. табл. 2.2), для применения критерия Пирсона необходимо объединить интервалы 1 и 2, интервалы 7 и 8 с интервалом 6, так как в интервалах 1, 2, 7, 8 количество

53

12 Ф( 1,57) 12 Ф( 3,14)

12 Ф(3,14) 12 Ф(1,57) 0,4992 0,4418 0,0574,

где Ф(z) определяется по табл. П4 приложения. Аналогично получаем:

параметров распределения (ml , ) s = 2, число степеней свободы k = r – s – 1 = 5 – 2 – 1 = 2. В табл. П3 приложения для выбранного

уровня значимости 0,01 и k = 2 соответствует 22;0,01 9,2 .

В нашем случае 2,625 < 9,2, следовательно, нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальности распределения ресурса.

Вероятность безотказной работы детали. Рассчитаем вероят-

ность безотказной работы детали по интервалам наработки (см. табл. 2.2) по формуле

55

тыс. км

Рис. 2.6.

На рис. 2.6 построена кривая вероятности безотказной работы детали P(l) в зависимости от наработки l.

56

3.ПОТОКИ ОТКАЗОВ И ВОССТАНОВЛЕНИЙ

ВТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ

3.1.Характеристики потоков отказов

ивосстановлений

Влюбой момент времени t объект может находиться в одном из двух состояний: отказа и работоспособности. Обозначим:

Z (t) – неизвестное текущее состояние объекта в момент времени t; Z*– состояние отказа; Z – состояние работоспособности.

Впростейшем случае процесс функционирования объекта можно представить чередующейся последовательностью случайных величин

ξ1, η1, ξ2, η2, … ξi, ηi (рис. 3.1), где ξi, ηi – длительность i-го по счету периода работоспособности и периода отказа соответственно. Поэтому в теории надежности принято пользоваться понятием потока событий.

Рис. 3.1

Под потоком событий понимается такая последовательность событий, при которой они происходят одно за другим в случайные моменты времени.

Основными потоками событий в теории надежности являются потоки отказов и восстановлений. По своему характеру они могут быть различными. Наибольшее применение в теории надежности получили простейший поток и потоки Эрланга [5]. Наиболее важными характеристиками потоков отказов и восстановлений являются математическое ожидание числа отказов (восстановлений) Ω(t) на интервале (0, t), интенсивность λ(t) или μ(t) и ω(t) – параметр потока отказов.

Под интенсивностью потока отказов (восстановлений) понимает-

ся математическое ожидание числа отказов (восстановлений) в единицу времени.

Простейший поток. Простейшим потоком событий называется поток, обладающий свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последействия. Название «простейший» обусловлено тем, что

57

математическое описание событий, связанных с простейшими потоками, оказывается наиболее простым.

Стационарность потока отказов – вероятность появления опреде-

ленного числа отказов в течение определенного промежутка времени длительностью t не зависит от того, где располагается на оси времени t этот интервал, а зависит только от длительности интервала, т.е. плотность потока появления отказов постоянна во времени. Иначе говоря, вероятность возникновения фиксированного числа отказов на заданном интервале времени не зависит от выбора начала отсчета времени. Потоки отказов многих объектов в период нормальной эксплуатации близки к стационарному потоку. В период приработки и старения объектов потоки отказов являются нестационарными.

Ординарность – вероятность возникновения на элементарном отрезке времени t двух или более отказов пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью возникновения одного отказа. Применительно к описанию надёжности ординарность означает, что одновременное возникновение двух разных отказов, например у автомобиля, практически маловероятно.

58

В реальных условиях производства обычно фиксируют значение t,

например, 1 ч, 1 смена, 1 неделя и так далее, т. е. t = 1, а t 0 a – среднее число отказов, возникающих за время t. В этом случае

Pk ak e a . k!

Так, поступление автомобиля в зону ремонта для устранения неисправности принято называть требованием. В реальных условиях требование может включать комбинацию неисправностей агрегатов и автомобилей. Используя последнюю формулу, можно установить вероятность появления определенного числа требований Pk при известном значении а. Например, при значении а = 3 вероятность отсутствия

требований Pk 0 30 e 3 0,05 , или 5 %; вероятность появления одно- 0!

го требования 0,15; двух 0,22; трех тоже 0,22; четырех 0,16 и т. д. (рис. 3.2). Таким образом, загрузка постов и оборудования носит вероятностный характер: 22 % от всех смен будет иметь фактическое число требований, совпадающее со средним, у 42 % – (5 + 15 + 22) загрузка будет меньше, а в 36 % имеем (100 – 22 – 42) случаев больше средней.

Следовательно, расчет производственных помещений, оборудования, штата рабочих (иначе, пропускной способности предприятия, участка, поста) с ориентацией на среднюю потребность может соответствовать:

неполной загрузке зон и участков;

необходимости ожидания момента обслуживания, т.е. образованию очереди требований.

В зависимости от стоимости простоя автомобилей в ожидании ре-

монта (Са), а также оборудования и рабочих в ожидании автомобилей

(Со.р), требующих ремонта, определяют оптимальную пропускную

способность зон, участков, постов ТО и ремонта. Эта задача решается с использованием теории массового обслуживания [1, 8], и из условия минимизации выражения, называемого целевой функцией,

u = Са + Со.р.

Характерным признаком закона Пуассона является равенство дисперсии среднему значению, поэтому коэффициент вариации потока

требований υ а 0,5 . Это означает, что с увеличением программы работы вариация ее фактического значения сокращается.

59

Средняя программа Коэффициент вариации

1…………………………………1

2…………………………………0,71

3…………………………………0,58

4…………………………………0,50

5…………………………………0,45

9…………………………………0,30

25…………………………………0,20

Закон распределения становится более симметричным с увеличением программы (рис. 3.2, при а = 6), что благоприятно сказывается на организации технологического процесса технического обслуживания (ТО) и ремонта. Поэтому укрупнение предприятий, централизация и кооперирование ТО и ремонта, приводящие к увеличению программы работы, являются одним из направлений совершенствования технической эксплуатации автомобилей.

Еще одним важным свойством простейшего потока является то, что промежуток времени между двумя соседними событиями (отказами) подчиняется экспоненциальному закону распределения, для которого

x 1/ , x , υ 1 .

Потоки отказов элементов сложных систем часто являются нестационарными. Поток, обладающий только свойствами ординарности и отсутствием последействия, называется нестационарным пуассоновским, и тогда за смену число отказов за интервал (t, t ) определяется

следующим образом:

t

a (t)dt .

t

Такие потоки наблюдаются в процессе приработки системы и в случае, если элементы сложной системы работают неодновременно. Они также имеют место при отказах резервированных систем с постоянно включенным резервом, если поток отказов основной и для всех резервных систем является простейшим.

Потоки Эрланга. Нарушение свойств стационарности или наличие последействия приводит к тому, что поток становится непростейшим. К непростейшим потокам относятся потоки Эрланга, которые возникают «просеиванием» простейшего потока отказов.

60