Основы теории надежности. Учебное пособие

чении скорости ветра до 10…12 м/с темп охлаждения масел и жидкостей основных агрегатов неподвижного автомобиля увеличивается по сравнению с безветрием в 2,5…3 раза.

 Сезонные условия связаны с колебаниями температуры окружающего воздуха, изменением дорожных условий по времени года, с появлением ряда дополнительных факторов, влияющих на интенсивность изменения параметров технического состояния автомобилей, например, пыли летом, влаги и грязи осенью и весной (табл. 1.7).

Таблица 1.7

Средние значения показателей надёжности городских автобусов большого класса по сезонам в умеренном климатическом районе, %

* 100 % – условное значение

 Агрессивность окружающей среды связана с повышенной коррозионной активностью воздуха, свойственной ряду прибрежных морских районов. Такие условия вызывают интенсивную коррозию деталей автомобиля, увеличивая потребность в запасных частях около 10 %. При этом ресурс автомобиля и периодичность ТО также сокращаются. Агрессивной окружающей средой является для автомобиля и химический груз.

1.4. Случайные величины и их характеристики

Основные причины, определяющие надёжность изделия, связаны, как правило, со случайными явлениями, для описания которых применяется математический аппарат теории вероятностей. Так, отказ – это случайное событие, срок службы или наработка до отказа – случайная величина и процесс, приводящий к потере работоспособности (например, износ), – случайная функция. Поэтому в расчетах надёжности многие параметры должны рассматриваться случайными величинами,

21

т. е. такими, которые могут принять то или иное значение, неизвестное заранее.

Срок службы – календарная продолжительность эксплуатации от начала эксплуатации объекта или ее возобновления после ремонта до перехода в предельное состояние.

Наработка до отказа – наработка объекта от начала эксплуатации до возникновения первого отказа.

Случайные события. Событие называют возможным, или случайным, если в результате опыта оно может произойти или не произойти.

Вероятность события есть численная мера степени объективной возможности появления этого события. Вероятность события А обозначается Р(А).

Достоверным называется событие U, которое обязательно произойдет в условиях данного опыта; Р(U) = 1.

Невозможным называется событие V, которое не может произойти в условиях данного опыта; Р(V) = 0.

Частота события – статистическая вероятность события – отношение числа появления данного события к числу всех произведенных опытов.

Характерным признаком случайного события является то, что оно принадлежит к категории массовых явлений (существует возможность неоднократного повторения опыта в заданных условиях). Примерами случайных событий, которые используются в прикладной теории надёжности, являются:

а) событие, заключающееся в том, что на интервале времени от 0 до t изделие непрерывно находится в работоспособном состоянии. Вероятность такого события обозначается P(t);

б) событие, заключающееся в том, что на интервале времени от 0 до t изделие может перейти в отказовое состояние. Вероятность такого события обозначается Q(t);

в) событие, заключающееся в том, что работоспособное к моменту времени t изделие перейдет за время t из состояния работоспособного (состояние 1) в состояние отказа (состояние 2). Вероятность тако-

го события P(t t) P(t)P1 2 ( t) .

Группа событий А, …, В называется полной, если в результате опыта обязательно появится одно из событий. Например, событие А (изделие находится в работоспособном состоянии) и событие В (изделие находится в неработоспособном состоянии) составляют полную груп-

22

пу событий. Для полной группы событий сумма вероятностей всех возможных событий равна единице:

P(A) P(B) 1,

т. е. для изделия, которое может находиться в двух состояниях (А или В), вероятность появления хотя бы одного из состояний – событие достоверное.

Потоком событий называется последовательность событий, наступающих одно за другим в случайные моменты времени. Например, отказы и восстановления в восстанавливаемом изделии образуют поток отказов и поток восстановлений.

Случайные величины. Случайной величиной называется величи-

на, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, не известно заранее, какое именно. В отличие от случайного события, являющегося качественной характеристикой случайного результата испытания, случайная величина характеризует результат испытания количественно.

Дискретной (прерывной) случайной величиной называется случайная величина, принимающая отделенные друг от друга значения, которые можно перенумеровать (число отказов за время t, число отказавших изделий при испытаниях заданного объёма и т. д.).

Непрерывной случайной величиной называется случайная величина, возможные значения которой непрерывно заполняют какой-то промежуток (время работы изделия до отказа, время восстановления работоспособности).

Закон распределения. Представление о случайной величине дает закон распределения случайной величины.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Закон распределения может иметь разные формы.

1. Функция распределения случайной величины Х – функция F(х), выражающая вероятность того, что Х примет значение, меньшее, чем х:

F(x) Р(X x) .

Функция F(х) есть неубывающая функция (монотонно возрастающая для непрерывных процессов и ступенчато возрастающая для дискретных процессов); F (– ∞) = 0, F (+ ∞) =1.

23

2. Плотность распределения случайной величины – это функция f (x) dF(x) / dx .

Плотность распределения любой случайной величины неотрицательна, f x 0 , и обладает свойством

График плотности f (x) называется кривой распределения. Функция f (x) характеризует частость повторений данного значения случайной величины. В задачах надёжности она широко используется как плот-

ность вероятности.

Параметры закона распределения

Параметрами закона распределения называются величины, определяющие характер распределения случайной величины (смещение центра группирования, рассеяние относительно центра группирования и др.).

Распределение случайной величины в ряде случаев достаточно характеризуют следующие параметры:

математическое ожидание (среднее значение), мода и медиана,

характеризующие положение центров группирования случайных величин по числовой оси (рис. 1.3: 1– медиана; 2 – f(х)

мода; 3 – математическое ожидание);

теристика случайной величины Х. Значение математического ожидания, определяемое по результатам наблюдений как для дискретных, так и для непрерывных величин, называют оценкой математического ожидания (или оценкой среднего значения) x :

24

x 1 N xi ,

N i 1

где N – общее число наблюдений; xi – значение случайной величины. Черта над обозначением случайной величины означает среднее значение. При достаточно большом числе наблюдений (испытаний) полага-

ют, что mx x . В вероятностных задачах математическое ожидание определяют в зависимости от плотности распределения f(x) (для не-

квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания. Слово «дисперсия» означает рассеяние и характеризует разброс случайной величины. Оценка дисперсии случайной величины – среднее значение квадрата разности между значениями случайной величины и её средним значением:

N 1 i 1

Для случайных непрерывных величин:

Dx (x mx )2 f (x)dx.

Для случайных дискретных величин:

N

Dx (xi mx )2 pi .

i 1

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины. Так как удобнее пользоваться характеристикой рассеяния, имеющей ту же размерность, что и случайная величина, была введена характеристика –

25

среднее квадратическое отклонение, представляющее собой корень квадратный из дисперсии, т. е.

x Dx .

Для оценки рассеяния с помощью безразмерной (относительной) величины используют коэффициент вариации, равный отношению среднего квадратического отклонения к математическому ожиданию, т. е.

υx x / mx .

Квантилью называют значение случайной величины, соответствующее заданной вероятности.

Квантиль, соответствующая вероятности 0,5, называется медианой. Медиана характеризует расположение центра группирования случайной величины. Площадь под графиком функции плотности распределения делится медианой пополам.

Модой случайной величины называется ее наиболее вероятное значение или то ее значение, при котором плотность вероятности максимальна.

Для симметричного модального (т. е. имеющего один максимум) распределения математическое ожидание, мода и медиана совпадают.

1.5. Показатели надежности

Показатель надежности – количественная характеристика одного или нескольких свойств, составляющих надежность объекта.

Значения показателей надежности могут быть нормативными и фактическими. Они определяются расчетным методом (расчетный показатель надежности), по данным испытаний (экспериментальный показатель), по данным эксплуатации (эксплуатационный показатель) или путем экстраполирования (экстраполированный показатель).

Для показателей надежности используются две формы представления: вероятностная и статистическая. Вероятностная форма используется при аналитических расчетах надежности, статистическая – при экспериментальном исследовании надежности объектов.

Нормативные значения показателей надежности приводятся в технической документации. Они являются детерминированными величинами. Так, автомобиль должен быть спроектирован и изготовлен так,

26

чтобы при установленных режимах эксплуатации фактические значения показателей надежности были не хуже нормативных. Фактические

значения показателей надежности являются величинами случайными. Номенклатура основных показателей надежности приведена в табл. 1.8 [11]. Единичные показатели характеризуют одно из свойств надежности, а комплексные показатели характеризуют одновременно несколь-

ко свойств.

27

1.5.1. Показатели безотказности изделия

Вероятность безотказной работы P(t) – вероятность того, что в пределах заданной наработки отказ объекта не возникнет, т. е. объект не откажет в течение времени t или что время ξ работы до отказа объекта больше времени его функционирования t:

P(t) = P(ξ > t).

Вероятность безотказной работы наиболее полно определяет надежность объекта, является монотонно убывающей функцией и имеет следующие свойства

1) 0 ≤ P(t) ≤ 1; 2) P(0) = 1, P(+∞) = 0.

График функции P(t) показан на рис. 1.4.

Так как безотказная работа и отказ – взаимно противоположные события, то вероятность безотказной работы P(t) связана с вероятностью

лий, но для отдельных циклов работы: до первого отказа, между первым и вторым отказом и т. д.

Распределение отказов по времени характеризуется функцией плотности распределения f(t) наработки до отказа, которая связана с вероятностью безотказной работы соотношением

f (t) dQdt(t) dPdt(t) .

Наработка до отказа – наработка объекта от начала его эксплуатации до возникновения первого отказа.

28

По данным об отказах, полученным из испытания (эксперимента) или эксплуатации, определяется статистическая оценка функции P(t). При достаточно большом количестве испытаний оценка принимается за истинную характеристику надежности. В дальнейшем, когда необходимо подчеркивать отличие оценки вероятности от истинного значения вероятности, оценка будет дополнительно снабжаться знаком звездочки. Тогда статистическая оценка функции P(t) запишется в виде

P (t) NNр 1 Nn ,

где N – общее число элементов, находящихся на испытании; Nр – число работоспособных (неотказавших) элементов; n – число отказавших элементов.

Средняя наработка до отказа Тср (среднее время безотказной работы) – математическое ожидание наработки объекта от начала эксплуатации до первого отказа:

Tср t f (t)dt ;

0

статистическая средняя наработка до отказа однотипных объектов равна

где t j – время исправной работы j-го объекта.

Средняя наработка на отказ (наработка на отказ) Т0 – отношение суммарной наработки восстанавливаемого объекта к математическому ожиданию числа его отказов в течение этой наработки:

Интенсивность отказов λ(t) – показатель надёжности невосстанавливаемых изделий, равный отношению среднего числа отказавших в единицу времени (или наработки в других единицах) объектов к числу объектов, оставшихся работоспособными. Соответственно в статистической трактовке

29

(t) n

Nр t

и в вероятностной трактовке, учитывая, что Nр / N P(t) ,

(t) Pf ((tt)) .

Выражение для вероятности безотказной работы в зависимости от интенсивности отказов имеет вид

t

(t)dt

Интенсивность отказов часто называют λ-характеристикой, она показывает, какая часть объектов выходит из строя в единицу времени по отношению к среднему числу исправно работающих объектов. Характерная кривая интенсивности отказов объектов показана на рис. 1.5.

Кривая интенсивности имеет три участка: период приработки (0 – t1), период нормальной эксплуатации (t1 – t2), период интенсивного износа

и старения (t2 и далее). В период приработки выявляются отказы, обусловленные ошибками при проектировании, дефектами производства, монтажа и наладки. Здесь имеют место внезапные отказы объектов. Период нормальной эксплуатации характерен наименьшим количеством отказов, интенсивность отказов остается практически постоянной. Третий период характеризуется возрастанием интенсивности отказов из-за износа, старения и других причин, связанных с длительной эксплуатацией.

λ(t)

Период

нормальной

эксплуатации

30